- •Предисловие
- •1. Электростатическое поле в вакууме
- •1.1. Электрический заряд. Закон Кулона
- •1.2. Напряженность электрического поля
- •1.3. Силовые линии электрического поля
- •1.4. Работа электрических сил при перемещении заряда в поле
- •1.5. Потенциал электрического поля
- •1.6. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
- •1.7. Теорема Остроградского - Гаусса
- •2. Электростатическое поле в веществе
- •2.1. Проводники в электростатическом поле
- •2.2. Диэлектрики в электростатическом поле
- •2.3. Электроемкость проводников
- •2.4. Энергия электростатического поля
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Задание №2
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •3.2. Потенциал поля макроскопических заряженных тел задание №3
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Задание №4
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •3.3. Энергия электрического поля задание № 5
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Задание № 6
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Задание № 7
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Задание № 8
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •Решение:
- •Задание № 11
- •Данные для разных вариантов:
- •Решение:
- •4. Тестовые задания для текущего контроля
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.2. Диэлектрики в электростатическом поле
Поляризация диэлектрика. Диэлектриком называют вещество, которое не проводит электрический ток, так как, в этом веществе отсутствуют свободные заряды (или их ничтожно мало). Тем не менее, в присутствии диэлектрика происходит ослабление электрического поля. Это свидетельствует о том, что при помещении диэлектрика в электрическое поле в объеме и на поверхности появляются макроскопические заряды. Указанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика – смещении связанных зарядов отдельных молекул или кристаллической решетки друг относительно друга. При поляризации средний дипольный момент молекул становится отличным от нуля, и возникает дипольный момент объема диэлектрика. Вне поля суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю.
Поляризованность. В общем случае любую молекулу можно рассматривать как электрический диполь (рис. 3). Степень поляризации в данной точке диэлектрика характеризуют поляризованностью Р, определенной как суммарный дипольный момент молекул в расчете на единицу объема:
Р = ∑ рi / ∆V = n ∙ < p >,
где n – концентрация молекул, < p > - средний дипольный момент. В СИ единицей измерения поляризованности служит Кл / м2.
Внешнее электрическое поле ориентирует диполь вдоль поля. При этом дипольный момент р стремится, чтобы его направление совпадало с направлением вектора напряженности Е внешнего поля. Во внешнем поле на диполь действует вращательный момент пары сил и момент электрических сил устанавливает дипольный момент по направлению внешнего поля (рис. 9):
М = [L, F] = [p, E].
Рис. 9
Энергия диполя. В ориентированном положении потенциальная энергия диполя Wп минимальна. В общем случае потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна Wп = - (p, Е), где знак «-» означает, что устойчивым равновесием является ориентация дипольного момента вдоль поля.
Механизмы поляризации. Различают три механизма поляризации диэлектриков.
1. Ориентационный механизм поляризации полярных диэлектриков. Молекулы полярного диэлектрика (полярные молекулы – жесткие диполи) обладают постоянным дипольным моментом р0 в отсутствие внешнего поля (Н2О, НСl, CO, NH и др.). В результате конкуренции ориентирующего действия внешнего поля и теплового движения возникает средний дипольный момент <p>, который в слабом поле пропорционален Е и убывает с ростом температуры.
2. Электронный (деформационный ) механизм поляризации неполярных диэлектриков. В отсутствие внешнего поля дипольный момент неполярной молекулы (симметричной молекулы) равен нулю (Н2, О2, N2 и т. д.), то есть центр отрицательного заряда (электронного облака) совпадает с центром положительного. При включении внешнего поля центры положительного и отрицательного зарядов смещаются и возникает квазиупругая сила, пропорциональная смещению L, стремящаяся вернуть их в положение равновесия:
F = - β ∙ L.
В положении равновесия, для которого q ∙ E = β ∙ L, возникающий под действием поля индуцированный дипольный момент (упругий диполь) p = q0 ∙ L оказывается пропорциональным напряженности поля:
р = α ∙ ε0 ∙ Е,
где α – поляризуемость молекулы.
3. Ионная поляризация в твердых диэлектриках, обладающих кристаллической решеткой. Под действием поля подрешетка положительных ионов смещается целиком в одну сторону, а подрешетка отрицательных ионов – в другую.
Поле в диэлектрике. Результирующее поле в диэлектрике Е является суперпозицией внешнего электростатического поля Е0 (или поля, создаваемого сторонними или свободными зарядами q в вакууме) и внутреннего поля Е’ (или поля связанных зарядов q’ в диэлектрике). Напряженность суммарного поля внутри диэлектрика равна Е = Е0 + Е’. Механизм образования макроскопических связанных зарядов проще всего представить в случае однородной поляризации изотропного диэлектрика, для которого Р = const (рис. 10).
Рис. 10
Поляризованность Р в данной точке однородного изотропного диэлектрика возникает под воздействием электростатического поля в диэлектрике и определяется его напряженностью Е. Для не очень сильных полей Р зависит от Е линейно, Р параллельно Е и равно:
Р = ε0 ∙ æ ∙ Е,
где ε0 – электрическая постоянная, æ (капа) – диэлектрическая восприимчивость вещества, зависящая от строения вещества и температуры, величина безразмерная (в СИ Р измеряется в Кл / м2, Е – в В / м, ε0 – в Ф / м или в Кл / В∙м). Диэлектрическая восприимчивость æ характеризует диэлектрические свойства вещества, так же как и относительная диэлектрическая проницаемость среды ε, с которой она связана соотношениями:
ε = 1 + æ (в СИ), ε = 1 + 4π ∙ æ (в СГС).
Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме Е0 больше, чем в диэлектрике Е:
ε = .
Диэлектрическая проницаемость вакуума равна единице
(ε = 1).
В результате поляризации на гранях диэлектрика, площадь которых, предположим, равна ∆S, заряды на концах молекулярных диполей оказываются нескомпенсированными соседними диполями, как это происходит внутри диэлектрика. Это приводит к тому, что на одной его поверхности создаются положительные связанные заряды (+q') с поверхностной плотностью (+σ'), а на другой – отрицательные (-q') с поверхностной плотностью (-σ'). Расстояние между зарядами пусть равно L. Эти электрические заряды называются связанными, так как принадлежат молекулам диэлектрика и не могут быть удалены с его поверхности. Выделенный объем диэлектрика можно рассматривать как макроскопический диполь, образованный зарядами:
(+q') = (+σ') ∙ ∆S и (-q') = (-σ') ∙ ∆S,
находящимися на расстоянии L, суммарный дипольный момент которого равен:
Р ∙ ∆V = q' ∙ L => Р ∙ L ∙ ∆S = σ' ∙ ∆S ∙ L => σ = P = ε0 ∙ æ ∙ Е.
В общем случае поверхностная плотность связанных зарядов σ' численно равна проекции поляризованности диэлектрика Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:
σ' = Pn = ε0 ∙ æ ∙ Еn.
Электрическое смещение. Расчет электрических полей при наличии в них диэлектрика затруднен, так как в результате поляризации диэлектрика появляется дополнительное поле связанных зарядов. На границах раздела двух сред, например, вакуум – диэлектрик – вакуум, вектор напряженности будет изменяться скачкообразно пропорционально относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика ε, то есть при переходе из вакуума в диэлектрик напряженность поля будет уменьшаться в ε раз, а при переходе из диэлектрика в вакуум – увеличиваться в ε раз. Аналогичным образом будет изменяться и поток вектора напряженности.
Теорема Остроградского – Гаусса относительно вектора Е применима только для электрического поля в вакууме. Скачкообразное изменение вектора электростатического поля на границе раздела двух сред создает трудности при расчете полей, поэтому вводится понятие электрического смещения:
D = ε ε0 E.
Единица измерения электрического смещения – (Кл / м2).
Электрическое смещение, создаваемое в данной точке поля электрических зарядов, равно геометрической сумме векторов электрического смещения, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности D = ∑ Di.
Поле вектора D графически изображается линиями электрического смещения так же, как поле Е изображается силовыми линиями. Линии электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения D. Линии вектора D в отличие от силовых линий вектора Е всюду непрерывны, что упрощает расчеты полей. При этом, если в какой-либо точке найден вектор D, то всегда можно определить вектор Е = D / (ε · ε0).
При рассмотрении входящей в теорему Остроградского – Гаусса замкнутой поверхности S, в которой заключен малый объем на границе раздела двух сред вакуум – диэлектрик, напряженность поля определяется как связанными q’, так и сторонними (свободными) зарядами q:
(Е ∙ dS) = + ,
где q и q’ - заряды, охваченные замкнутой поверхностью S, dS = n ∙ dS – вектор, направленный в сторону внешнего пространства по нормали n.
При поляризации в результате смещения на расстояние L, на которое смещаются относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике, через произвольную поверхность ∆S в объеме диэлектрика в направлении нормали к данной поверхности проходит заряд
∆q = n (∆S ∙ L ∙ cosφ) q0,
где n – концентрация молекул, q0 – величина противоположных зарядов в молекуле, (∆S ∙ L ∙ cosφ) – объем тонкого цилиндрического слоя диэлектрика, молекулы которого при поляризации пересекают эту поверхность. Можно упрощенно считать, что все молекулы имеют одинаковый дипольный момент < р > = Р / n = q0 ∙ L (рис. 11).
Рис. 11
Проинтегрировав по любой замкнутой поверхности, найдем полный связанный заряд, вышедший из объема, охваченного замкнутой поверхностью, что означает появление внутри объема связанного заряда со знаком «-» равного:
q’ = - Р ∙ dS
После подстановки и преобразований получается следующее соотношение:
ε0 ∙ Е ∙ dS = q - Р ∙ dS => q = ε0 ∙ Е ∙ dS + Р ∙ dS =>
q = (ε0 ∙ Е + Р)dS = D ∙ dS,
где D = ε0 ∙ Е + Р = ε ε0 E – вектор электрического смещения.
Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (для вектора электрического смещения D) формулируется следующим образом: поток вектора электрического смещения D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних (свободных) зарядов q, заключенных внутри этой поверхности
D ∙ dS = q.