5. Условия представимости функции интегралом Фурье

Если функция кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, абсолютно интегрируема на всей оси, то имеет место формула (20). Учитывая формулу

и введя обозначения

(21)

формулу (20) можно записать в виде

= . (22)

Равенство (22) аналогично разложению функции в тригонометрический ряд, а выражения (21) аналогичны формулам (16) для коэффициентов Фурье.

Если функция – четная, то формула

= , A(λ) = ,

называется косинус-преобразование Фурье.

Если функция – нечетная, то

= , B(λ) = ,

называется синус-преобразование Фурье.

1.6. Комплексная форма интеграла Фурье.

Преобразование Фурье

В комплексной форме интеграл Фурье имеет вид

(23)

Если перезаписать выражение (23) следующим образом

и обозначить

, (24)

то формула (23) примет вид

(1.25)

Функция , определенная формулой (25), называется образом Фурье или спектральной характеристикой функции . Переход от к называется преобразованием Фурье.

Восстановление ”оригинала” по образу по формуле (25) называется обратным преобразованием Фурье.

Если определена только на полуоси 0  х  , то ее можно продолжить на полуоси -  х  0 четно или нечетно. Тогда для получим два разных представления:

(26)

. (27)

По определению положим

(28)

Тогда согласно (26) имеем

(29)

Функция называется косинус - образом Фурье функции , заданной на полуоси 0  х , переход от к - косинус - преобразованием Фурье. Восстановление функции по с помощью (29) называется обратным косинус - преобразованием Фурье.

Аналогично, вместо (27) имеем

(30)

(31)

где называется синус - образом Фурье функции , заданной на полуоси 0  х  , переход от к по формуле (1.30) называется синус - преобразованием Фурье. Восстановление функции по с помощью (1.31) называется обратным синус - преобразованием Фурье.

Задачи для самостоятельного решения

1. Представить интегралом Фурье функции:

при 0 < x <  продолжив ее

а) четным образом;

б) нечетным образом.

2. Найти преобразование Фурье функции

3. Найти синус- и косинус- преобразования Фурье функции

Литература к п.1.4-1.5. 1, гл.17, §13-14], 2, гл.4. §4.12- 4.14], [4, гл.3, §9].

2. Преобразование лапласа

2.1. Определение преобразования Лапласа

В этой главе мы рассмотрим определение и основные свойства преобразования Лапласа, на базе которого в последующем будет строиться операционное исчисление.

Для этого нам понадобятся уже известные сведения из теории функций комплексного переменного. Именно применение этой теории и обеспечит сравнительную простоту изучения свойств преобразования Лапласа и использование этих свойств в таком важном разделе математики, как решение дифференциальных уравнений, и таком важном разделе электротехники, как изучение переходных процессов в электрических цепях.

Определение. Преобразованием Лапласа функции действительного переменного f(t) называется функция комплексного переменного F(р), определяемая формулой

(1)

Несобственный интеграл в правой части равенства, зависящий от комплексного параметра р, называется интегралом Лапласа. Свойства интегралов, зависящих от комплексного параметра, используемые в дальнейшем, аналогичны соответствующим свойствам интегралов, зависящих от действительного параметра.

Прежде всего установим, какие функции f(t) мы будем рассматривать и какие условия надо на них наложить, чтобы несобственный интеграл (1) сходился и действительно определял некоторую функцию F(р). Будем предполагать следующее:

1) Функция f(t)  кусочно-непрерывная при t 0; это значит, что она или непрерывна, или имеет точки разрыва только первого рода (в каждом конечном интервале число таких точек разрыва обязательно конечно).

2) Функция f(t) равна нулю при отрицательных значениях t

f(t) = 0 при t < 0. (2)

Так как в интеграле Лапласа значения функции f(t) при t < 0 вообще не участвуют, то не имеет значения, чему они равны. Как будет видно из дальнейшего, удобнее считать, что они равны нулю. При изучении многих физических процессов роль переменной t играет время и сказанное означает, что процесс начинается с некоторого момента времени (удобнее всего считать, что в момент t = 0).

3) При возрастании t модуль функции f(t) может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции, т.е.

|f(t)| , (3)

где М и  постоянные.

Последнее условие обеспечивает, как мы вскоре убедимся, сходимость интеграла Лапласа. Условию 3) удовлетворяют, конечно, все ограниченные функции (в частности, sin t и cos t); в этом случае можно положить равным нулю: |f(t)| M.

Ему удовлетворяют и все степенные функции t^k (k > 0), так как любая такая функция растет медленнее, чем показательная функция е^t . Применяя правило Лопиталя, легко проверить, что (При k < 0 соответствующие степенные функции имеют бесконечный разрыв при t = 0 и не

удовлетворяют первому условию). Если вспомнить, с какими функциями нам приходилось сталкиваться при изучении различных физических процессов, то легко установить, что почти для всех таких функций условие (3) выполняется. В качестве примера функции, для которой условие (3) не выполняется, можно указать

Любая функция f(t), удовлетворяющая сформулированным выше трем условиям, называется оригиналом; функцию F(р), определяемую формулой (1), будем называть изображением (для ясности иногда говорят изображением по Лапласу). Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(р) записывается в виде или .

Приведем пример. Пусть (t) – единичная функция

(t) = (4)

График ее приведен на рис. 2; ясно, что она является оригиналом. Для нее

,

Рис. 2

причем последнее заключение можно сделать только в том случае, когда e^-pt  0 при t  . Если р =  + is, то |e^-pt| = = Последнее выражение стремится к нулю при t  , если  > 0. Таким образом, интеграл Лапласа для единичной функции сходится при  = Re p > 0, и ее изображением является функция 1/р.

Так как мы условились, что всякий оригинал равен нулю при t < 0, то для простоты будем писать, что единичная функция (t) = 1, и тогда соответствие запишется так:

1  . (5)

Вообще, если речь идет о какой-то функции f(t), например, o sin t, cos t, e^t и т.д., то всегда подразумеваются следующие функции:

, ,

С помощью единичной функции (t) можно было бы записать ( ) sin , ( ) cos , (t) e^t, однако для сокращения записи множитель (t) мы будем опускать и просто писать sin , cos , e^t .

Совершенно не обязательно считать, что оригинал f(t) принимает только действительные значения. Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь вид f(t) = f₁(t) + i f₂(t), где f₁(t) и f₂(t)  соответственно действительная и мнимая части f(t). При этом каждая из функций f₁(t) и f₂(t) должна удовлетворять первому условию, наложенному на оригинал. Условия 2) и 3) формулируются совершенно одинаково для функций, принимающих как действительные значения, так и комплексные.

Покажем, что каждому оригиналу f(t) соответствует изображение F(р) и установим общие свойства изображений.

Рис. 3

Теорема. Пусть функция f(t) является оригиналом. Тогда интеграл Лапласа F(р)= сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной р, удовлетворяющих условию Re p >  , т.е. в полуплоскости Rе р >  , где   постоянная, участвующая в условии 3) (рис. 3).

В качестве примера найдем изображение функции , где а =  + i  любое комплексное число. Разумеется, согласно нашему условию, при t < 0 функция равна нулю. Условия 1) и 3), очевидно, выполняются, причем в силу равенства , можно положить М = 1 и  = .

Интегрируя, получим

,

если только e^-(p-а)t  0 при t  . Последнее же имеет место при Re (р а) = Re p   > 0, т.е. при Re p > . Таким образом,

(6)

и если а = 0, то мы снова получаем формулу (5): .

В дальнейшем нас, как правило, будет интересовать только само изображение F(p), а вовсе не та область, в которой оно выражается интегралом Лапласа. Мы должны быть всегда уверены только в одном: в какой-то полуплоскости (безразлично какой) интеграл Лапласа сходится абсолютно. Забегая вперед, укажем, что каждому изображению F(p) отвечает единственный оригинал f(t), если только не обращать внимания на значения функции f(t) в точках разрыва. Это означает также, что на изображение не влияют те значения оригинала, которые мы ему приписываем в точках разрыва.

Отметим еще поведение любого изображения F(р) в бесконечно удаленной точке. Можно показать, что

где а и М  постоянные из условия 3) и  = Re p. Поэтому, если p стремится к бесконечности так, что при этом (например, вдоль положительной части действительной оси), то F(p) стремится к нулю.

Перед тем как перейти к изучению основных свойств преобразования Лапласа, поясним основную идею его применения. Преобразование Лапласа устанавливает соответствие между оригиналами f(t) и их изображениями F(p): f(t)  F(p).

Оказывается, что определенным действиям, производимым над оригиналами, будут соответствовать некоторые действия, производимые над их изображениями, причем, как правило, действия над изображениями будут проще, чем над оригиналами (это будет показано в следующем пункте). В этом проявляется полная аналогия с основной идеей

применения логарифмов в элементарной математике. Роль оригиналов там играют числа, а роль изображений  их логарифмы. Действию умножения чисел соответствует сложение их логарифмов, действию возведения числа в степень соответствует умножение логарифма этого числа на показатель степени и т.д. Таким образом, более сложные действия над числами заменяются более простыми действиями над их логарифмами, и схема применения логарифмов выглядит примерно так. Чтобы, скажем, перемножить числа, мы сначала по таблице находим их логарифмы и складываем их. Найдя логарифм произведения, мы снова, пользуясь таблицами, возвращаемся к числу и получаем искомый результат. Все это, разумеется, хорошо известно, и мы повторили это только для того, чтобы более ясной стала рассматриваемая нами аналогия. Именно, если имеется некоторое сложное соотношение между оригиналами, то при помощи преобразования Лапласа мы будем получать значительно более простое соотношение между изображениями. Например, вместо дифференциального уравнения относительно оригинала будет получаться алгебраическое уравнение относительно изображения. Решив это последнее и перейдя затем от изображения назад к оригиналу, мы и получим решение исходного дифференциального уравнения.

Приведенную аналогию с логарифмами можно продолжить. Ведь главное при действиях с логарифмами  это хорошо знать свойства логарифмов и правила логарифмирования. Само же соответствие между числами и логарифмами устанавливается при помощи таблиц логарифмов, и можно превосходно владеть методами вычислений, совершенно не зная, как фактически составлялись логарифмические таблицы. Точно так же обстоит дело и здесь. После того как мы в следующем пункте установим основные правила действия над преобразованиями Лапласа и составим таблицу соответствия между оригиналами и изображениями (своего рода аналог таблицы логарифмов), нам уже не придется больше вычислять интеграл Лапласа для различных оригиналов f(t) и переход от оригинала к изображению и обратно  от изображения к оригиналу будет осуществляться при помощи этой таблицы. Таким образом, желательно с самого начала привыкнуть к тому, что интеграл Лапласа (1) нужен главным образом для установления основных свойств и правил преобразования Лапласа, или, как мы чаще будем говорить, свойств и правил операционного исчисления.

Вообще под операционным исчислением понимают методы решения задач, основанные на следующих этапах:

1) от искомых функций переходят к некоторым другим

функциям  их изображениям;

2) над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями (отсюда название  операционное исчисление);

3) произведя действия над изображениями и получив не

который результат, возвращаются к самим функциям.