Учебники 80361

поведения поля отдельно на каждой из его частот позволяет найти любой закон изменения во времени. Для этого достаточно воспользоваться методом интеграла Фурье.

1.3. Градиент электрического потенциала

Поверхность равного потенциала принято называть эквипотенциальной. Работа сил электрического поля вдоль такой поверхности равна нулю, так как разность потенциалов между любыми ее точками будет отсутствовать:

E d l E cos(E, d l)dl 0 ,

где dl – элементарный отрезок длины.

Поскольку Е	0 , dl 0 , а	0 , то cos(E, d l) 0
и вектор E всегда	перпендикулярен к	эквипотенциальной

поверхности. Известно, что вектор E направлен в сторону уменьшения потенциала.

Градиентом электрического потенциала называется вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности (рис.5) в сторону возрастания потенциала и равный по величине скорости изменения потенциала вдоль этой нормали, т.е.

grad		1n .
	n

Здесь и на рис.5 приняты обозначения: 1 , 2 - потенциалы эквипотенциальных поверхностей S1 и S2 ; n - нормаль к ним;

1n - единичный вектор.

Выражая 1n через его проекции в прямоугольной системе координат, получим

33

grad	cos(1n ,1x )1x cos(1n ,1y )1y cos(1n ,1z )1z		.
		n

Скорость изменения потенциала вдоль произвольного направления l (рис.6) равна

			cos(1n ,1l )
l		n

или, переходя от конечных к бесконечно малым приращениям n, и l, будем иметь

			cos(1n ,1l ) ,
l		n

где 1l - единичный вектор.

Рис.5 Рис.6

Так как направление l выбрано произвольно, то оно может совпадать с любой из координатных осей. Поэтому

x n cos(1n ,1x ) ,

y n cos(1n ,1y ) ,

z n cos(1n ,1z ) .

34

Следовательно,

grad		1x		1y		1z .
	x		y		z

Найдем функциональную связь между E и grad . Если

работа совершается силами электрического поля, то общий запас его энергии уменьшается и тогда

d E d l E cos(E, d l)dl

или

	d	E cos(1n ,1l )dl						Edn ,
	откуда
		E				grad
	или		n
		E		grad			,
	то есть векторы E	и grad				равны по величине и
	противоположны по направлению.

1.4. Оператор Гамильтона, векторные дифференциальные операции и их использование в теории электромагнитного поля

1.4.1. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции

Основные величины векторного анализа: градиент, дивергенцию и ротор, которые часто встречаются в электродинамике, удобно представлять с помощью

35

символического вектора ("набла - вектор"), введенного Гамильтоном и определяемого соотношением

1x

1y

1z

,

x

y

z

где

,

,

- проекции

в декартовой системе координат.

x

y

z

Перечислим правила действий с набла - вектором.

1. Произведение набла - вектора

на

скалярную

функцию

равно градиенту этой функции:

(1x

1y

1z

) 1x

1y

1z

grad .

x

y

z

x

y

z

2. Скалярное произведение набла - вектора на векторную функцию А равно дивергенции данной функции:

A (1x

1y

1z

)(Ax 1x Ay 1y Az 1z )

x

y

z

A

Ay

A

x

z

div A .

x

y

z

3. Векторное произведение вектора	на векторную
функцию A равно ротору этой функции:

36

		1x		1y		1z
A
		x		y		z
		Ax		Ay		Az

A

Ay

A

A

Ay

A

(

z

)1x

(

x

z

)1y

(

x

)1z

rot A .

y

z

z

x

x

y

Действия взятия градиента, дивергенции и ротора

являются

векторными

дифференциальными

операциями

первого порядка.

Кроме указанных, имеется еще пять векторных

дифференциальных

операций

второго

порядка:

divrot A, rotgrad , divgrad , graddivA, rotrot A .

Рассмотрим

их.

1. Определим выражение divrot A .

Образуя дивергенцию от rot A , будем иметь

A

Ay

A

A

Ay

A

divrot A

(

z

)

(

x

z

)

(

x

)

x

y

z

y

z

x

z x

y

2 A

2 Ay

2 A

2 A

2 Ay

2 A

z

x

z

x

0 .

y x

z x

z y

x y

x z

y z

Выражение divrot A можно записать и с помощью наблавектора:

37

divrot A

A

A 0 .

2. Вычислим rotgrad

rotgrad

0 .

3. Рассмотрим выражение divgrad

2

2

2

divgrad

div 1x

1y

1z

,

x

y

z

x2

y 2

z 2

2

2

2

где

- оператор Лапласа.

x2

y 2

z 2

Через

набла-

вектор

divgrad

можно

выразить

следующим образом:

divgrad

2

2	.

4. Приведем без доказательства еще одно тождество векторного анализа, используемое в теории электромагнитного поля:

graddivA rotrot A

2 A .

(1.48)

Это соотношение устанавливает связь между graddivA и

rotrot A .

Следовательно, оператор существенно упрощает математические операции.

38

1.4.2. Уравнения Гельмгольца и волновой характер электромагнитного поля

Самым важным результатом исследований Максвелла явилось доказательство им теоретическим путем волнового характера электромагнитных процессов, к особенностям которых относится то, что колебания одновременно происходят не в одной, а во всех точках пространства, где сосредоточено поле. Колебательное движение непрерывной среды называют волновым процессам.

Уравнения Максвелла могут быть преобразованы в уравнения, заведомо описывающие волновые процессы. Для упрощения математических выкладок будем считать, что объемная плотность зарядов и плотность сторонних токов

ст равны нулю. Воспользуемся первыми двумя уравнениями Максвелла в комплексной форме:

			rotH	j	a E ,		rotE	j	a H ,
					~
где	~		j /	-		комплексная			диэлектрическая
	a	a

проницаемость среды (вещества).

Применяя операцию ротора к обеим частям какоголибо из уравнений, например первого, и учитывая второе равенство, можно оба уравнения свести к одному:

	j	~	2 ~		2	(1.49)
rotrotH		a rotE	a	a H	H,

где ~a a - комплексная величина, которую называют

либо постоянной распространения электромагнитной волны, либо фазовой постоянной, или волновым числом.

Для H , принимая во внимание (1.48), запишем:

		2
graddivH	rotrotH	H .

Поскольку divH 0 , то

2 H rotrotH 0

39

или с учетом (1.49)

2	2	(1.50)
H	H 0 .

	Для		электрического поля при принятых	допущениях
(	0,	ст	0 ) справедливым будет точно такое же по форме
соотношение, что и (1.50):
		2	2	(1.51)
		E	E 0 .

Уравнения (1.50) и (1.51) называют уравнениями Гельмгольца, они описывают стационарные волновые процессы. Такие процессы характеризуются тем, что у них const . Следовательно, формулы (1.50) и (1.51) действительно подтверждают волновую природу электромагнитных полей.

Обратим внимание на то, что математический аппарат данного параграфа является хорошей иллюстрацией использования в электродинамике оператора Гамильтона и векторных дифференциальных операций первого и второго порядков.

Уравнения Гельмгольца могут быть представлены и в координатной форме. Так, для (1.50) будем иметь

2

2

2

(

)(H x 1x

H y 1y

H z 1z )

x 2

y 2

z 2

2

1x

1y

1z ) 0

(H x

H y

H z

или

40

	2			2				2
		H x					H x					H x	2
	x 2						y 2					z 2		H x	0 ,
	2			2				2
	H y						H y					H y	2
	x 2					y 2					z 2			H y	0 ,
	2					2		2
		H z					H z					H z	2
		x 2					y 2					z 2		H z	0 .

Решение полученной системы уравнений существенно упрощается, если поле не имеет составляющих или не изменяется вдоль какихлибо координатных осей [2].

Для электрического поля соотношения, подобные (1.52)- (1.54), приведем в виде одной обобщенной формулы

2		2		2
Ex, y,z		Ex, y,z		Ex, y,z 2
x2		y 2		z 2	Ex, y,z	0 .

1.5. Вектор Пойнтинга

Вектором Пойнтинга называют вектор плотности потока электромагнитной энергии. Его модуль равен энергии, переносимой за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распространения электромагнитной волны. В практической системе единиц СИ вектор Пойнтинга определяется соотношением

			EH .							(1.55)
Из	этого равенства видно, что								вектор		является
векторным	произведением E на H								и соответственно

направлен перпендикулярно к плоскости, в которой расположены векторы напряженностей электрического и магнитного полей.

Отметим, что при любой структуре электромагнитной волны и в любой точке пространства всегда будет

41

справедливым приведенное соотношение

между векторами

, E и H .

Направление вектора

устанавливается правилом Ампера

(правило "буравчика"), то есть вектор

должен быть

направлен так, чтобы можно было видеть из его конца

вращение от вектора E к вектору H по кратчайшему пути

(соответствующему углу в 900 ) против часовой стрелки.

Графически векторы

, E и H изображены на рис.7

Из (1.55) следует, что распространение электромагнитной энергии возможно лишь при наличии обеих составляющих электромагнитной волны - электрического и магнитного полей. Направление распространения волны в какойлибо точке пространства совпадает с направлением вектора .

.

Рис.7 На практике нередко требуется выражать составляющие

по координатным осям для одного вектора через составляющие двух других векторов, входящих в (1.55). В существующих литературных источниках такие формулы отсутствуют.

Выразим сначала	составляющие вектора						через
составляющие векторов	E и H в прямоугольной системе
координат:

42