Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии у от нейтрального слоя. Длина этого волокна после деформации (длина дуги m-m) равна (ρ+y)dΘ. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину dz, получаем, что удлинение рассматриваемого волокна

(dz) ( y)d dz

следовательно, его деформация (ε), равная отношению удлинения к первоначальной длине,

(dz) ( y)d dz dz dz

Очевидно, dz= d , так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое, при деформации не изменилась. Следовательно,

(dz) ( y)d d dz d

	откуда		y

Для перехода от деформаций к напряжениям применим закон Гука (как везде, полагаем, что возникающие напряжения не превышают предела пропорциональности): E (3)

	E	y	(4)

Возможность применения закона Гука в форме зависимости (3) обусловлена принятым допущением о не надавливании волокон балки друг на друга, т. е. предположением, что каждое из них находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия. В противном случае следовало бы применить обобщенный закон Гука.

Выражение (4) показывает, что нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорционально ее расстоянию у от нейтральной оси, т. е. по высоте сечения нормальные напряжения изменяются по линейному закону. По ширине сечения они распределены равномерно (не зависят от координаты х).

Нормальные напряжения в торцовых поперечных сечениях выделенного элемента показаны на рис. 11. Там же показано его поперечное сечение, совмещенное с плоскостью чертежа, и дана эпюра нормальных напряжений. Растягивающие напряжения считаем положительными (знак плюс на эпюре), а сжимающие — отрицательными.

Условность этой и ей подобных эпюр, заключается в том, что ее ординаты, выражающие величины нормальных напряжений в соответствующих точках поперечного сечения, лежат в плоскости сечения, в то время как сами напряжения перпендикулярны этой плоскости. Большей наглядностью обладают пространственные эпюры, для бруса прямоугольного сечения такая пространственная эпюра показана на рис. 12.

Рис.12

Нейтральная ось (она принята за координатную ось Ох) делит поперечное сечение бруса на две части (рис.11), в одной из которых (в нашем случае в нижней), возникают растягивающие, а в другой — сжимающие напряжения. В точках, лежащих на самой нейтральной оси, нормальные напряжения равны нулю. Исходя из этого нейтральной оси можно дать следующее определение:

нейтральной осью, или нулевой линией, называется геометрическое место точек поперечного сечения бруса, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Положение нейтральной оси определим из условия, что при изгибе продольная сила в поперечном сечении равна нулю. Зависимость между продольной силой и нормальными напряжениями записывается так: N dF

F

Подставляя вместо его значение по выражению (4) и приравнивая продольную силу нулю, получаем

N E ydF 0

F

N E ydF 0

F

ydF 0

F

Но, как известно, этот интеграл представляет собой статический момент сечения относительно оси Ох (нейтральной оси), и он равен нулю, в случае, если эта ось центральная.

Для определения радиуса кривизны нейтрального слоя используем зависимость между изгибающим моментом и нормальными напряжениями.

Элементарная нормальная сила равна dF, ее момент относительно нейтральной оси dMx= ( dF)у

суммируя эти элементарные моменты по всей
площади сечения, имеем	M x ydF
	F

Подставляя сюда значение по выражению (4), получаем

E

2

E

2

M x ydF

y

dF

y

dF

F

F

F

Учитывая, что

2

получаем M x

EIx

y dF Ix

F

или

1

M x

(5)

EIx