4 4

... cos msin (M ) ...

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Наведені формули забезпечують точність обчислень 1 10-4 м в віддалі s і 1 10-4 секунди в при будь-

яких віддалях на земному еліпсоїді.

Перейдемо до обчислення інтегралу (4.85). Перед інтегруванням необхідно так перетворити підінтегральний вираз, щоб аргумент підінтегральної функції і змінна інтегрування були би одною і тією величиною.

Попередньо розкладемо підінтегральну функцію в ряд за формулою бінома Ньютона і проінтегруємо перший член отриманого ряду

Q2

Q2 2

e

4

6

l (1 e2 cos2 u)1/ 2 d

e

cos2 u

e

cos4 u

... cos2 u d

(4.98)

Q1

Q1 2

8

16

В підінтегральному виразі перейдемо від змінних u і до змінної . Згідно першого з рівнянь (4.76)

d cosu d sin A,

а згідно (4.86), для поточної точки дуги великого кола Q 'Q '

cosu

sin m

.

1

3

sin A

Перемноживши останні вирази, отримуємо

cos2 ud sin md .

(4.99)

З врахуванням (3.89) і (3.99) рівність (3.98) представимо в вигляді

l sin m

0

e2					e4			e6		e4
									...
	2			8			16				8
			2	m sin			2	(M )
cos
e6
	16

	e6
		...
8

d

Як і в попередньому, степеневі функції змінної замінимо функціями кратних аргументів на основі співвідношень (3.92) і згрупуємо сталі коефіцієнти при кожній функції з однаковими аргументами. Отримаємо

						e2						e4			e6			e				4				e6				2
																...											... cos				m
								2													8					8
											8			16
l sin m									3e6
					0
													... cos4 m ...
									128
e4				e6						2										e6								4
					... cos						m cos 2(M )															... cos			m cos 2(M )
	16	16																				32
	e6						4
			... cos					m cos 4(M ) ...													d
	128

Введемо позначення

sin m cosu1 sin A1 k;

A' 1 e2 1e4 1 e6 1 e4 1 e6 (1 k2 ) 3 e6 (1 k2 )2 ,

	2						8				16		16			16					128
	1					4	1				6		2	1			2		2
B'					e					e		(1 k		)		(1 k		)		,	(4.100)
	16						16							32
C'		1			e6 (1 k2 )2 ,
	256

після чого

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

l k A' B'cos2(M ) 2C'cos4(M ) ... d .	(4.101)
0
В результаті інтегрування (4.101) з врахуванням зауважень (4.95), отримуємо
l k A'` B'sin cos(2M ) C'sin2 cos(4M 2 ) ... ,	(4.102)

Формулою (4.102) забезпечується точність обчислення різниці довгот в 0.0001" при будь-яких віддалях.

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі для обчислення , коли задана різниця довгот

l L2 L1 , виникає необхідність застосування методу наближень, оскільки інші величини у формулі (4.102)

залежать від шуканої величини .

Отже, нами отримані всі співвідношення, які необхідні для взаємного переходу з еліпсоїда на сферу при роз’язуванні головних геодезичних задач. Вкажемо також, що при розв’язуванні цих задач використовуються також формули сферичної тригонометрії для розв’язування прямої і оберненої геодезичних задач на сфері (див.

п. 4.4.2.а).

4.6.4. Числові методи розв'язування головних геодезичних задач

Аналітичні методи обчислень не згубили свого значення і в теперішній час, проте область їх застосування змінилась в зв'язку з широким використанням ЕОМ в різних галузях, в тому числі і в геодезичній практиці. Якщо майже єдиною базою для наближених представлень складних функцій, з котрою виходила геодезія, особливо сфероїдна її частина, був розклад функцій в ряди Тейлора, то тепер на перший план вийшли різноманітні числові способи розв'язування диференційних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Відомо,

що еліптичні інтеграли і походжені від них еліптичні функції в диференційних рівняннях, котрі мають квадратні корені із многочленів вищих степенів, є основним математичним апаратом поверхні еліпсоїда.

Числові методи, що використовуються при розв’язуванні головних геодезичних задач, можна розділити на дві групи:

а) обчислення еліптичних інтегралів (4.29) методами чисельного інтегрування;

б) числове інтегрування диференційних рівнянь (4.27) і (4.28).

Відзначимо, що обчислення еліптичних інтегралів методами числового інтегрування (формули трапецій,

Сімпсона, Чебишева, Гаусса, Грегорі тощо) не є оптимальним розв'язком головних геодезичних задач. Справа в тому, що квадратурні формули, наприклад, Гаусса хоча і вимагають досить мало машинної пам’яті, проте у практичному застосуванні приводять до ускладнення програм. В період малопотужних ЕОМ дані методи мали певне практичне застосування.

В даний час оптимальним методом в розумінні точності і ефективності розв'язування головних геодезичних задач, як вже було підкреслено в п.4.4.2.б є метод числового інтегрування диференційних рівнянь,

названий на честь авторів методом Рунге-Кутта. Відомі також його модифікації: Рунге-Кутта- Інгланда,

Рунге-Кутта - Мерсона.

Характерні риси даного методу:

простота програмування (декілька десятків операторів для будь-якої мови програмування);

висока точність розв'язування на відстані до 20 тис.км;

універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях;

можливість оцінки точності інтегрувння на одному кроці.

Практично єдиний недолік даного методу - наявність порівняно потужної ЕОМ - на даний час не є принциповим.

У першому розділі розглянуто в загальних рисах метод Рунге-Кутта 4-го порядку для розв'язування диференційних рівнянь. Тут ми зупинимось на застосуванні цього методу для розв’язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Розв'язування прямої геодезичної задачі методом Рунге-Кутта 4-го порядку

Запишемо вихідну систему диференційних рівнянь (4.27) і (4.28) у вигляді

dB

ds

f1 (B, A),

	dL		f2 (B, A),	(4.103)
	ds
	dA		f3 (B, A).
	ds
При розв'язуванні прямої геодезичної задачі виникає задача Коші з початковими умовами:

B

S 0 B1 ;

L

S 0 L1 ;

A

S 0 A1 ,

а формули Рунге-Кутта 4-го порядку для даної задачі, враховуючи (1.14) та (1.13), будуть мати вигляд:

B

B

1

(k

(1)

2k

(1) 2k

(1)

k

(1) ),

i 1

i

6

1

2

3

4

L

L

1

(k

(2)

2k

(2)

2k

(2)

k

(2) ),

i 1

i

6

1

2

3

4

A

A

1

(k

(3)

2k

(3)

2k

(3)

k

(3) ),

i 1

i

6

1

2

3

4

k

( j)

h f

i

(B , A );

(4.104)

1

i

i

i

k

( j)

h f

i

(B

k1

(1)

, A

k1

(3)

);

2

i

i

2

i

2

k

( j)

h f

i

(B

k2

(1)

, A

k2

(3)

);

3

i

i

2

i

2

k

( j)

h f

i

(B

k

3

(1)

, A

k

(3) ).

4

i

i

i

3

де

h - крок інтегрування ;

i - 0,1,3, . . ., m-1 ;

j - 1,2,3;

m - кількість частин,

на які ділиться весь відрізок

інтегрування [0, s].

Якщо величина кроку інтегрування, що дає результати

необхідної точності наперед невідома,

то

інтегрування виконується декілька раз,

зменшуючи кожен раз

крок вдвоє.

Дана процедура повторюється до

тих пір, поки результати повторного інтегрування відрізняються від попереднього на недопустиму величину.

Точність чисельного розв'язування прямої геодезичної задачі характеризується похибками кінцевих

результатів інтегрування. Ці похибки одержуються в результаті накопичення похибок окремих кроків

ін-

тегрування.

Для визначення похибок B", L", A" і-го

кроку

звернемось до формул

(4.104). Ці формули тотожні

розкладам широти, довготи і азимута в ряди Тейлора до членів, що мають похідні четвертого порядку.

Так, для широти, це буде

dB

d 2 B

h2

d 3B

h3

d 4 B

h4

B

B

h

.

dh

2!

3!

4!

i 1

i

dh

2

dh3

dh4

1

1

i

i

Тому похибка інтегрування на і-му кроці рівна членам п'ятого порядку:

B

h 5

d5B

i

,

5

i 1

5!

dh

L

h 5

d 5L

i

,

(4.105)

5

i 1

5!

dh

A

h 5

d 5 A

i

.

5

i 1

5!

dh

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Підставивши значення похідних пятого порядку (4.34), (4.35), (4.36) отримаємо:

B

h 5

sin4 Ai

cos Ai (1 30ti

2 45ti

4 )

i

,

120R5

A cos3

A (8 60t

60t

1

sin2

2

4 )

/

i

i

i

cos4

A sin A (2 15t

2

15t

4 )

5

i

i

i

i

L

8hi

sin3 A cos2

A (1 20t

2

30t

4 ) ,

1

120R5 cos B

/

i

i

i

i

sin5 A (t 2

3t 4 )

i i

i

cos4 A sin A (61t

i

180t

3

120t

5 )

5

i

i

i

i

A

hi

sin3 A cos2

A (58t

280t

3 240t

5 ) ,

120R5

1

sin5

/

i

i

i

i

A (t

20t 3

24t 5 )

i i

i

i

ti tgBi .

Для різних відстаней (кроків інтегрування) отримаємо похибки на одному кроці інтегрування, які наведені у табл. 4.2.

Таблиця 4.2. Оцінка точності методу Рунге-Кутта

а) при R=6380 км, B=450 , A=450

Значення	h=50 км	h=100 км
величин
B"	-8 10-8	-2 10-6
L"	-2 10-7	-8 10-6
A"	-3 10-7	-8 10-6
б) при R=6380 км, B=750 , A=450
Значення	h=50 км	h=100 км
величин
B"	-5 10-6	-2 10-4
L"	-1 10-4	-4 10-3
A"	-2 10-4	-7 10-3

Отже, числовий метод розв'язування прямої геодезичної задачі можна застосовувати практично на будь-

яку відстань, за винятком тих випадків, коли геодезична лінія розташовується біля полюса, оскільки tgB

прямує до нескінченності. В цьому випадку ефективним може виявитись процедура зменшення кроку інтегрування. Так, із зменшенням кроку інтегрування вдвоє, точність інтегрування збільшується в 25. Проте в результаті заокруглень на кожному кроці може проходити поступове накопичення похибок із збільшенням числа кроків. Практичні розрахунки на комп’ютері показують, що при подвійній точності обчислень (16

значущих цифр) цей фактор суттєво не впливає на точність визначення координат і азимута напряму.

Розв'язування оберненої геодезичної задачі із застосуванням методу Рунге-Кутта 4-го порядку

При розв’язуванні оберненої геодезичної задачі практично в будь-яких відомих способах за основу приймається алгоритм розв'язування прямої геодезичної задачі.

У випадку розв’язування оберненої геодезичної задачі виникає краєва задача з граничними умовами:

B

s 0 B1 ;

L

s 0 L1;

B

s S B2 ;

L

s S L2 .

Розв'язування краєвої задачі для системи диференційних рівнянь (4.103) можна виконати за методом проб. Суть цього методу, в нашому випадку, полягає в тому, що багато раз приходиться розв’язувати пряму геодезичну задачу за наближеними значеннями відстані s' та азимута A1' , котрі кожен раз деяким чином уточнюються.

Тема 4. Розв'язування геодезичних задач

Для визначення початкових значень s' та A1' необхідно розв'язати обернену геодезичну задачу

наближеним способом. Краще всього це можна зробити, застосувавши алгоритм розв'язування оберненої геодезичної задачі на сфері (див. п. 4.4.2.а).

Уточнення значень відстані s' та азимута A1' проводять на основі диференційних формул для

геодезичної лінії (див. п. 4.5), аргументами яких служать відхилення отриманих із розв'язування прямої

геодезичної задачі координат B2’,L2’ від заданих B2,L2, тобто B B2					' B2 ; L L2	' L2 :
s (M 2 cos A2 ' B N2 cos B2 sin A2 ' L),						(4.106)
A	M 2	sin A ' B	N2	cos B cos A ' L.
1	m	2	m	2	2
де m - приведена довжина геодезичної лінії.
Після уточнення відстані s' та азимута A1'
s'i 1 s'i S;				A1i 1 A1 'i A,

знову переходять до розв'язування прямої геодезичної задачі. Процес повторюють до тих пір, поки розходження координат B і L не будуть меншими за задані наперед величини.

Тема 5. Плоскі прямокутні координати в геодезії

5.1. Плоскі координати в геодезії.

Система координат і математична обробка матеріалів обмежених за територією геодезичних мереж, що прокладаються для геодезичного забезпечення інженерно-технічних,

сільськогосподарських чи будь-яких інших видів робіт, повинні бути	найбільш простими.
Для інженерно-геодезичних робіт не є доцільним застосування	системи геодезичних

координат, не зважаючи на те, що вона є єдиною для всієї поверхні земного еліпсоїда, поскільки її координати отримуються шляхом досить складних обчислень і до того в дуговій мірі, а лінійні значення дугових одиниць змінюються зі зміною широти місця. Не кращий варіант є застосування для вказаних цілей просторових прямокутних координат. Найбільш простою є прямокутна система координат на площині, яка, однак, з поверхнею земного еліпсоїда безпосередньо не зв’язана. Як відомо, тільки досить незначні ділянки земної поверхні (радіусом 5-15 км) можна приймати за площину, а для більших територій застосування плоских прямокутних координат можливе лише через проектування частин поверхні земного еліпсоїда на площину. Тому вибір проекції для перенесення геодезичних побудов з еліпсоїда на площину становить теоретично і практично важливу задачу для геодезії.

Проекції земного еліпсоїда на площині, що приймаються для перенесення і опрацювання результатів геодезичних вимірювань, називаються г е о д е з и ч н и м и п р о е к ц і я м и.

5.2 Загальні відомості про геодезичні проекції.

На відміну від картографічних проекцій, при яких головна задача полягає в зображенні земної поверхні на папері (площині) в виді карт, геодезичні проекції дають методи точного перенесення елементів поверхні еліпсоїда (ліній, кутів) на площину, тобто між поверхнею еліпсоїда та площиною встановлюється такого роду відповідність, коли кожній точці поверхні еліпсоїда відповідає одна і тільки одна точка площини, причому при неперервному русі точки по поверхні еліпсоїда відповідна їй точка на площині переміщується теж неперервно.

Загальні формули цього роду відповідності між поверхнею еліпсоїда та площиною або загальні формули геодезичних проекцій можуть бути написані в наступному виді

x f1( B,L ),

y f2 ( B,L ),

(5.1)

де B і L - геодезичні координати, широта і довгота, що визначають положення точки на поверхні еліпсоїда, x та y - декартові (прямокутні) координати точки на площині, а f1 і f2 -

довільні функції, неперервні в області l (l L Lo - довгота, яка відрахована від деякого меридіана ( Lo ), прийнятого за початковий).

Очевидно, що формули (5.1) є загальними формулами переходу від геодезичних координат до прямокутних плоских. На практиці до функцій f1 і f2 ставлять вимоги, щоб при будь-яких значеннях B і L в заданій області поверхні еліпсоїда l мати цілком визначені як за знаком так і за величиною числа для x та для y .

Поверхня еліпсоїда не відноситься до числа тих поверхонь, які зображуються на площині без спотворень. Тому і проекція еліпсоїда на площину, що описується рівняннями (5.1) буде мати спотворення кутів та ліній. Існують проекції, що зберігають кути, але спотворюють довжини ліній і площі (фігури), проекції, що зберігають площі, але спотворюють довжини ліній і кути, і проекції, що спотворюють і довжини ліній, і кути, і

115

площі. Розподіл спотворень залежить від виду функцій	f1 і f2 . Величина спотворень
визначається розмірами тієї області поверхні еліпсоїда l ,	яка зображується на площині,

причому в деяких випадках спотворення можуть бути і дуже значними. Поскільки мова йде про геодезичні проекції, то такі випадки не розглядаються.

Геодезичні побудови, як правило, створюються шляхом виміру кутів геометричних фігур, а лінійні виміри виконуються, наприклад, в тріангуляції тільки щоб задати масштаб мережі.

Якщо координати опорних геодезичних пунктів задані в проекції, то графічні матеріали знімань виходять теж в проекції і тільки їх числові дані в виді безпосередньо виміряних довжин сторін і кутів знімальних ходів треба виправляти за перехід до проекції.

Викладеним і обгрунтовується умова: кути (при перенесенні їх з еліпсоїда на площину проекції) повинні зберігати свої величини, а враховуватись повинні лише спотворення довжин ліній.

Такі проекції, в яких відсутні кутові спотворення, називаються конформними (рівнокутними).

Неминучі спотворення фігур при переході з еліпсоїда на площину в будь-якій проекції будуть зростати із збільшенням розмірів частини поверхні еліпсоїда, що зображується на площині. В геодезичних роботах, що проводяться переважно на значних територіях і з високою точністю, виникає необхідність враховувати ці спотворення.

Відсутність кутових спотворень не є головною перевагою конформних проекцій перед неконформними, адже геодезичні лінії еліпсоїда, що зображуються на площині, мають вигляд кривих, які в практиці геодезичних робіт використати досить трудно. Тому зображення геодезичної лінії на площині замінюють прямою лінією - хордою, яка з’єднує кінцеві точки цього зображення. Звідси виникає додаткова задача в конформних проекціях - визначення кута між зображенням геодезичної лінії та хорди, який називають поправкою за кривину зображення геодезичної лінії на площині.

Границя відношення довжини відрізка S на площині до довжини відповідного йому відрізка s на еліпсоїді, коли довжина останнього стрімко наближається до нуля, називається масштабом зображення. Його можна визначити як відношення нескінчено малого

переміщення	точки на еліпсоїді до відповідного переміщення точки на площині (див. рис.
5.1):	m dS .
		(5.2)
	ds
	еліпсоїд	площина
	B+dB	x+dx=const
	ds	dS
	y=const	x=const
		y+dy=const
	B
L	L+dL

Рис.5.1

Масштаб m , в загальному випадку, буде величиною, яка змінюється як при переході від однієї точки до другої, так і при зміні напряму в одній і тій же точці. Іншими словами, в

116