матанал / 3_sem_211
.pdf201. |
RR |
(x + y + z)dS; где S - часть плоскости x + 2y + 4z = 4; x 0; y |
||||||||||||||
S |
||||||||||||||||
|
0; |
z |
|
0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
202. |
RR |
(x + y + z)dS; где S - часть сферы x2 + y2 + z2 = 1; z 0: |
||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
203. |
RR |
(x2 + y2 + z)dS; где S - часть сферы x2 + y2 + z2 = a2; z 0: |
||||||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
204. |
RR |
(x2 + y2)dS; где S - сфера x2 + y2 + z2 = R2: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
205. |
S |
(x2 + y2)dS; где S - поверхность конуса x2 + y2 z 1: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206. |
RR |
(x2 + y2 + z2)dS; где S - сфера x2 + y2 + z2 = R2: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
207. |
RR |
(x2 + y2 + z2)dS; где S - полная поверхность цилиндра x2 + y2 |
||||||||||||||
S |
||||||||||||||||
|
r2; |
0 |
z |
|
H: |
|
|
|
|
|
||||||
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
208. |
xyzdS; где S - часть параболоида z = x2 + y2; z 1: |
|
|
|
|
|
||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
209. |
RR |
jxyjzdS; где S - часть параболоида z = x2 + y2; z 1: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
210. |
S |
(x2+y2)dS; где S - часть конической поверхности z = |
|
x2 + y2; z |
||||||||||||
|
1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
||||
211. |
S |
|
|
x2 + y2dS; где S - часть конической поверхности z = |
|
x2 + y2; z |
||||||||||
|
1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2Поверхностные интегралы второго рода.
Вычислить интегралы.
RR
212.(2z x)dydz + (x + 2z)dzdx + 3zdxdy; где S - верхняя сторона
S
треугольника x + 4y + z = 4; x 0; y 0; z 0:
RR
213. ydzdx; где S - внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2:
S
21
RR |
x2dydz; где S - внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2: |
|||||||||||||
214. |
||||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR |
(x5 +z)dydz; где S - внутренняя сторона полусферы x2 +y2 +z2 = |
|||||||||||||
215. |
||||||||||||||
S |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2; z |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2y2zdxdy; где S - внутренняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = |
||||||||||||||
216. |
||||||||||||||
S |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2; z |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2dydz + z2dxdy; где S - внешняя сторона части сферы x2 + y2 + |
||||||||||||||
217. |
||||||||||||||
S |
|
R2; x |
|
; y |
|
: |
|
|
||||||
z2 |
= |
|
|
|
|
|||||||||
RR |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
r ; y |
; |
z r: |
||
218. |
yz2dzdx; где S - внутренняя сторона части цилиндрической по- |
|||||||||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
верхности 2 |
+ |
|
= |
0 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RR
219.yzdxdy + zxdydz + xydzdx; где S - внешняя сторона части ци-
S
линдрической поверхности x2 + y2 = r2; x 0; y 0; 0 z H:
220. RR x2dydz +y2dzdx+z2dxdy; где S - внутренняя сторона полусферы
S
x2 + y2 + z2 = R2; z 0:
221. RR (z2 y2)dydz + (x2 z2)dzdx + (y2 x2)dxdy; где S - внешняя
S
сторона полусферы x2 + y2 + z2 = R2; z 0:
222. RR x2ydydz + xy2dzdx + xyzdxdy; где S - внутренняя сторона части
S
сферы x2 + y2 + z2 = R2; x 0; y 0; z 0:
223. RR x2ydydz xy2dzdx+(x2 +y2)dxdy; где S - внешняя сторона части
S
цилиндрической поверхности x2 + y2 = R2; 0 z H:
Используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы.
RR
224.(1 + 2x)dydz + (2x + 3y)dzdx + (3y + 4z)dxdy; где S - внешняя
S
сторона пирамиды x=a + y=b + z=c 1; x 0; y 0; z 0:
RR
225.(1 + 2x)dydz + (2x + 3y)dzdx + (3y + 4z)dxdy; где S - внутренняя
S
сторона поверхности jx y + zj + jy z + xj + jz x + yj = a:
22
RR
226.zdxdy+(5x+y)dydz; где S - внешняя сторона полной поверхности
S
конуса x2 + y2 z2; 0 z 4:
RR
227.zdxdy + (5x + y)dydz; где S - внутренняя сторона эллипсоида
S
x2=4 + y2=9 + z2 = 1:
RR
228.zdxdy + (5x + y)dydz; где S - внешняя сторона границы области
S
1 < x2 + y2 + z2 < 4:
229.RR x2dydz+y2dzdx+z2dxdy; где S - внутренняя сторона поверхности
S
параллелепипеда 0 x a; 0 y b; 0 z c:
RR |
|
|
x + y + z a; x |
0; y |
0; z |
0: |
||
230. |
x3dydz + y3dzdx + z3dxdy; где S - внешняя сторона поверхности |
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
тетраэдра |
|
|
||||||
RR |
+ |
+ x |
|
= R : |
|
|
|
|
231. |
x3dydz + y3dzdx + z3dxdy; где S - внутренняя сторона сферы |
|||||||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Используя формулу Стокса, вычислить интегралы.
232. R y2dx + z2dy + x2dz; где L - граница треугольникв с вершинами
L
в точках (a; 0; 0); (0; a; 0); (0; 0; a); ориентированная положительно относительно вектора (0; 1; 0):
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0; 0; 1): |
233. |
|
ydx+zdy+xdz; где L - окружность x2 +y2 +z2 = R2; x+y+z = 0; |
|||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ориентированная положительно относительно вектора |
|
|||||||||
234. |
R |
2 |
|
2 |
+ zdz; где L - окружность x2 + y2 + z2 = R2; x + y + z = 0; |
||||||
|
xdy |
ydx |
|
|
|
(0; 0; 1): |
|||||
|
x +y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ориентированная положительно относительно вектора |
|
|||||||||
|
R |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
235. |
L (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz; где L - окружность x2 + y2 + z2 = |
||||||||||
|
R2; x |
|
|
y; ориентированная положительно относительно вектора |
|||||||
|
(1; 0; 0): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
236. |
L (x + z)dx + (x y)dy + xdz; где L - эллипс |
x2 |
+ |
y2 |
; z = c; ориен- |
||||||
a2 |
b2 |
||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
(0; 0; 1): |
|||
|
тированный отрицательно относительно вектора |
|
|
|
|
23
5Ряды Фурье.
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на указанном промежутке
и нарисовать график суммы ряда.
237.f(x) = x + signx на интервале ( ; ):
238.f(x) = x на интервале ( 1; 1):
239.f(x) = x на интервале (2; 4):
240.f(x) = jxj на интервале ( 2; 2):
241. (
f(x) = ax; < x < 0; bx; 0 x < :
242. (
0; < x < 0;
f(x) =
sin x; 0 x < :
243.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) = j sin xj:
244.Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) = j cos xj:
245.Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 2x; 0 < x < ; продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать график суммы ряда.
246.Разложить в ряд Фурье функцию
(
f(x) = x; 0 x =2;=2; =2 x < ;
продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать график суммы ряда.
247. Разложить в ряд Фурье функцию
(
f(x) = x; 0 x =2;=2; =2 x < ;
24
продолжив ее на промежуток ( ; 0) нечетным образом, и нарисовать график суммы ряда.
248.Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 2x; 0 < x < ; продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать график суммы ряда.
249.Разложить функцию f(x) = x; 0 x ; в ряд Фурье по косинусам.
250.Разложить функцию f(x) = cos 2x; 0 x ; в ряд Фурье по синусам.
251.Разложить в ряд Фурье на (0; ) по косинусам функцию
(
f(x) = =2 x; 0 x =2; 0; =2 x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
252.Разложить в ряд Фурье на (0; ) по синусам функцию
(
sin x; 0 x =2;
f(x) =
0; =2 x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
253.Разложить в ряд Фурье на (0; 2) по косинусам функцию
(
f(x) = x; 0 < x 1;
2 x; 1 < x < 2;
и нарисовать график суммы ряда.
254.Разложить в ряд Фурье на (0; 2) по синусам функцию
(
f(x) = x; 0 < x 1;
2 x; 1 < x < 2;
и нарисовать график суммы ряда.
25
255. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
(
1; 0 < x < ;
f(x) =
0; =2 < x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
256.Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
(
1; 0 < x < ;
f(x) =
0; =2 < x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
26
6 Основы теории функций комплексного переменного
6.1 Комплексные числа.
257.Выполнить указанные действия:
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) |
2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
( i195+2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1+i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
2 |
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3i |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+i)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
7) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(1 + i |
|
|
3) |
|
; |
|
(1 i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3+ip |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4) |
1+i |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
8) |
|
|
|
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
258. Найти модули и аргументы комплексных чисел: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
1+1 ii |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
1 i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 + i123; |
|
|
|
(1 ip |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
|
7) |
3)3; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) |
2 + i |
|
|
; |
|
8) |
cos |
|
|
|
|
+ i sin |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
7 |
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
259. Найти все значения корней и построить их: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1) |
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
p6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
p6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
p3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3) |
|
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2i; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
p6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + ip |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4) |
8; |
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
3 |
: |
|
|
260.Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям:
1) |
Re z > 0; |
4) |
0 < Im z < 1; |
2) |
Im z 1; |
5) |
jzj < 1; |
3) |
jRe zj < 1; |
6) |
jz ij > 2; |
27
7)1 < jz + ij < 2;
8)0 < arg z < 4 ;
9)j arg zj < 4 ;
10)jz ij + jz + ij < 4;
11)j1 + zj < j1 zj;
12)Rez1 < 12 ;
13)0 < arg(z + i) < 2 ;
14)jz 2j jz + 2j < 2:
15)jzj = Re z + 1;
16)Re z + Im z < 1;
17)2Re z > jzj 1;
18)j2zj > jz2 + 1j:
6.2 Функции комплексного переменного. Степенные ряды. Ряды Тейлора
261. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции:
1) |
Re z; |
4) |
x2 + iy2; |
2) |
x2y2 (z = x + iy); |
5) |
zRe z; |
3) |
jzj2; |
6) |
2xy i(x2 y2); |
262. С помощью интегральной формулы Коши вычислить интегралы:
|
|
|
|
sin z |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
cos z |
dz |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jzjR=4 z2 2 |
|
|
|
|||||
1) |
jz+Rij=3dz |
z+i ; |
|
|
|
4) |
|
; |
|
|
|||||||||
2) |
jzjR=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
; |
|||
z |
2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
jz+1j=1 (z+1)(z 1) |
|||||||||||||
|
|
+1 ; |
|
|
|
|
|
|
R |
dz |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) jzjR=2 |
e |
dz; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
263. Найти радиус сходимости степенного ряда: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
zn |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
X |
|
; |
|
|
|
|
|
X |
5nz3n; |
||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n2 |
|
|
|
|
|
n=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(1 + i)n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
zn; |
|
|
|
|
X |
nnzn; |
|||
|
|
|
|
n=1 |
|
n2n |
|
|
|
|
n=0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
5) |
|
z |
|
|
|
7) |
2nz4n |
|||
1 |
|
|
n |
|
1 |
|||||
X |
p |
|
|
|
; |
X |
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|||
n=0 |
|
n |
|
|
|
n=1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
z |
|
|
|
8) |
(n!)2 |
||
1 |
|
n |
|
1 |
||||
X |
|
|
|
|
X |
|
zn; |
|
n! |
|
|
|
|
; |
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
n=0 |
(2n)! |
||
|
|
|
|
|
|
|
264. Запишите в алгебраической форме указанные комплексные числа:
1) |
sin( |
+ i ln 2) |
5) |
cos(2 + i) |
||
|
2 |
|
|
|
||
2) |
cos( i ln 2) |
6) |
sin 2i |
|||
3) |
sh |
i |
|
|
7) |
ctg( 4 i ln 2) |
2 |
|
|||||
4) |
ctg i |
|
8) |
tg(2 i) |
265. Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел:
1) |
e2+i |
4) |
e 3 4i |
|
||||
2) |
e2 3i |
5) |
sin( + i ln 2) |
|||||
3) |
e3+4i |
6) |
i ei |
|
||||
266. Вычислить значения Ln z и ln z в точках: |
|
|||||||
1) |
z = i |
5) |
z = 1 i |
|||||
2) |
z = 1 i |
6) |
z = 4 |
|
||||
3) |
z = i |
7) |
z = 2 3i |
|||||
4) |
z = 4 + 3i |
8) |
z = 2 + 3i |
|||||
267. Найти все значения следующих степеней: |
|
|||||||
|
1p |
|
|
|
|
|
|
|
1) |
2 |
5) |
ii |
|
||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
1+i |
2) |
|
|
2 |
6) |
(3 4i) |
|||
( 2) |
|
|||||||
3) |
2i |
7) |
( 3 + 4i)1+i |
|||||
4) |
1 i |
8) |
1i |
|
29
268. Найти все значения следующих выражений:
1) |
Arcsin1 |
|
|
|
|
|
5) |
ii |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 4i)1+i |
2) |
Arccos2 |
|
|
|
|
|
6) |
|||||||
3) |
Arcsin i |
|
|
|
|
|
7) |
( 3 + 4i)1+i |
||||||
4) |
Arctg(1 + 2i) |
|
|
|
|
|
8) |
1i |
||||||
269. Решите следующие уравнения: |
|
|||||||||||||
1) |
e2z + 5ez 6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
4) ch z + 1 = 0 |
||||||
2) |
ez + i = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
ln(z + i) = 0 |
|
|
|
|
|
5) |
sin z = i |
||||||
270. Опираясь на разложение |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= zn; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
справедливое при jzj < 1; доказать равенства: |
||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
(1 |
|
z)2 = |
|
||||||||||
|
|
|
(n + 1)zn (jzj < 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
2) |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
X |
( 1)n(n + 1)(n + 2)zn (jzj < 1) |
||||||
|
|
|
(1 + z)3 |
n=0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|||
|
|
z2 + a2 |
= |
|
( 1)na 2n 2z2n (jzj < jaj; a 6= 0) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 следующие функции:
30