матанал / 3_sem_211
.pdf271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
1
(1 z2)2
z
(1 z6)2
1
(1+z3)2
z
(1+z)3
1
(z+1)(z 2)
2z 5
z2 5z+6
2z 1
4z2 2z+1
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
1
1+z+z2
z3
(z2+1)(z 1)
z
(z2+1)(z2 4)
z3
(z2+1)(z 1)
z
(z2+1)(z2 4)
1
1+z+z2
2z 1
4z2 2z+1
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = z0 следующие функции:
285. |
|
z |
|
|
; z0 |
= 2 |
288. |
|
|
z+3 |
|
|
; z0 = 1 |
||
|
(z+1)(z2 |
+4z+5) |
|
(z+2)(z2 2z+5) |
|||||||||||
286. |
z+5 |
; z0 |
= 1 |
289. |
|
z2+1 |
; z0 |
= 2 |
|||||||
|
(z+1)(z |
2 |
2z+5) |
|
z |
2 |
4z+5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
287. |
2 z |
|
|
; z0 = 1 |
290. |
|
|
z2+5 |
|
|
; z0 |
= 1 |
|||
|
z3+2z2+5z |
|
z2 |
+7z+12 |
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 следующие функции:
291. |
sin2 z |
294. |
ez sin z |
292. |
cos3 z |
295. |
cos2 z + ch2 z |
293. |
sin4 z + cos4 z |
296. |
ch z cos z |
С помощью метода неопределенных коэффициентов найти первые три отличные от нуля члена разложения следующих функций в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 :
297. |
tg z |
300. |
ez sin z |
|
298. |
ez cos z |
301. |
eez |
|
299. |
|
z |
302. |
ez=1 z |
|
|
(1 z2) sin z |
31
6.3 Ряды Лорана. Особые точки. Вычеты и их применение
303. Опираясь на разложение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= zn; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
n=0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливое при jzj < 1; доказать равенства: |
||||||||||||||||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
z b |
= n= |
|
|
b n 1zn (jzj > jbj) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|||||
|
|
|
|
|
z2 b2 |
= n= |
|
|
|
b 2(n+1)z2n (jzj > jbj) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
3) |
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
X |
( 1)nb 2nz2n (jzj > jbj) |
||||||
|
|
|
|
z2 + b2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(n + 1)b n 2zn (jzj > jbj) |
||||
|
|
|
(z b)2 |
= n= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z b |
= n= |
|
(b a) n 1(z a)n (a 6= b; jz aj > jb aj) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Разложить данную функцию в ряд Лорана либо в указанном кольце, либо в окрестности указанной точки. В последнем случае надлежит определить область, в которой разложение имеет место.
304. |
1 |
в окрестности точек z = 0 è z = 1: |
|
|
z 2 |
||
305. |
1 |
|
в окрестности точек z = 0; z = 1; z = 1: |
|
z(1 z) |
32
306. |
z2 2z+5 |
в окрестности точки z = 2 |
и в кольце |
1 < jzj < 2: |
||
|
||||||
|
(z 2)(z2+1) |
|
||||
307. |
1 |
в окрестности точек z = i è z = 1: |
|
|||
|
(z2+1)2 |
|
||||
308. |
z4+1 |
|
в кольце 1 < jzj < 2: |
|
|
|
|
(z 1)(z+2) |
|
|
309.z2e1=z в окрестности точек z = 0 и z = 1:
310.e1=(z 1) в окрестности точек z = 1 и z = 1:
2 |
4 2 в окрестности точки |
z = 2: |
311. cos z |
||
|
z |
|
(z 2)
312.z2 sin z 1 1 в окрестности точки z = 1:
313.sin z sin z1 в области 0 < jzj < +1:
Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на бесконечности.
314.
315.
316.
317.
318.
1
z z3
z4
1+z4
z5
(1 z)2
1
z(z2+4)2
ez
1+z2
319. z2+1
ez
320.ze z
321.ez1 1 z1
322.ze1=z
323.ez=(1 z)
324.ez 1=z
325.1
sin z
326. cos z
z2
327.ctg z z1
328.ctg z1 z1
Найти вычеты указанных функций во всех изолированных особых точках и в бесконечности ( если она не является предельной для особых точек).
329.
330.
331.
332.
333.
1 |
|
|
334. |
|
ez |
|
|
|
339. |
|
z3 z5 |
|
|
z2(z2+9) |
|
|
|||||
z2 |
|
|
335. |
1 |
|
|
|
|
340. |
|
(z2+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin z |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
336. |
z3 cos |
|
|
1 |
341. |
||
|
|
|
|
|
||||||
z(1 z |
2 |
) |
|
|
|
|||||
z 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
342. |
z2+z 1 |
337. |
sin |
|
|
|
|
||||
z+1 |
|
|
||||||||
z (z 1) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin 2z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
343. |
|
|
|
338. |
sin z sin z |
|
||||||
(z+1)3 |
|
|
cos z
(z 1)2
1
sin z2
1
ez+1
1+z8
z6(z+2)
1+z10
z6(z2+4)
33
Вычислить интегралы
344. |
1+dzz4 ; |
|
D : jz 1j < 1: |
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
dz |
|
|
D : jz 1 ij < 2: |
|||||
345. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||
(z 1)2(z2+1) |
|||||||||||||
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
dz |
|
|
D : jzj < 2: |
|||||
346. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
(z 3)(z5 1) |
|||||||||||||
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
z3dz |
|
|
|
|
|
|
|
||||
347. |
|
|
|
|
; D : jzj < 1: |
||||||||
2z4+1 |
|||||||||||||
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
ezdz |
|
|
|
|
D : jzj < 1: |
||||||
348. |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||
z2(z2 9) |
|||||||||||||
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
349. |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
D : jzj < 2: |
|||
zz+1 ez dz; |
|
||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@D |
sin z+1z dz; |
D : jzj > 3: |
|||||||||||
350. |
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@D |
z sin zz+11 dz; |
D : jzj < 2: |
|||||||||||
351. |
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@D |
sin z 1 |
1 dz; |
D : jz 1j > 1: |
||||||||||
352. |
|||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
z dz |
|
|
|
|
|
|
D : jzj > 4: |
||||
ez2 |
|
1 dz; |
|||||||||||
353. |
|
|
@D
6.4 Конформные отображения
354.Найти образы множеств E при отображении указываемыми функциями:
1) |
E : Im z = 1; w = z 1 |
|
||||
|
|
|
z+1 |
|
||
2) |
E : jz + 1j = 1; w = z1 |
|
||||
3) |
E : jzj = 2; w = |
z |
|
|
|
|
z+1 |
|
|||||
4) |
E : Re z = 1; w = |
|
z |
|
|
|
z+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
i+z |
|
|||
5) |
E : jzj = 1; w = i z |
; w = z2 |
||||
6) |
E : jzj = 1; 0 arg z 4 |
34
7)E : Re z = 1; w = z2
8)E : Im z = 1; w = z2
9)E : jzj = 2; w = 12 z + z1
10)E : jzj = 12 ; w = 12 z + z1
11)E : arg z = 4 ; w = 12 z + z1
355.Найти образ круга jz 1j < 2 при следующих отображениях:
1) |
w = 1 2iz |
3) |
w = |
||
2) |
w = |
2iz |
|
4) |
w = |
|
|||||
|
z+3 |
|
|
z+1 z 2
z 1 2z 6
356.Найти образ полуплоскости Re z < 1 при следующих отображениях:
1) w = (1 + i)z + 1
2) w = z
z 1+i
357.Найти образы при отображении
1)Im z > 0
2)< arg z < 32
3)Im z < 1
4)jzj < 2; 0 < arg z < 2
358.Найти образы при отображении
1)jzj > 2
2)jzj < 12
3)4 < arg z < 34
4)4 < arg z < 34 ; z 2= [0; i]
5)jzj < 1; z 2= [0; 1]
3)w = z z 2
4)w = z4+1z
w = z2 следующих областей:
5)Re z > 0
6)jzj < 1; 54 < arg z < 32
7)jzj > 12 ; Re z > 0
8)Re z > 1
w= 12 (z + z1 ) следующих областей:
6)jzj > 1; z 2= [ 2; 1]; z 2=
[1; +1]
7)jzj < 1; 0 < arg z < 2
8)jzj < 1; 34 < arg z < 4
359.Найти образы следующих областей D при отображении указываемыми функциями:
35
1) D : < Im z < 0 ; w = ez
2)D : jIm zj < ; w = ez
3)D : jIm zj < 2 ; w = ez
5) |
D : |
0 < Im z < 2 ; Re z > 0 |
; w = e2z |
|
||||||||
4) |
D : |
0 < Im z < 2 ; Re z > 0 |
; w = ez |
|
||||||||
6) |
D : |
0 < Re z < ; Im z > 0 ; w = eiz |
|
|||||||||
7) |
D : |
|
Im z |
j |
< 4 ; w = th z |
|
|
|
|
|||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8) |
D : |
0 < Re z < ; w = tg z |
|
|
|
|
||||||
10) |
D : |
0 |
< Re z < 2 |
; w = cos z |
w = cos z |
|||||||
9) |
D : |
0 |
< Re z < ; Im z > 0 |
|
; |
|||||||
|
D : |
0 |
< Re z < 2 |
|
0 |
|
= sin |
|
||||
11) |
D : |
Im z < ; Re z > 0 ; |
|
= sh |
|
z |
||||||
12) |
|
j |
|
|
j |
|
|
w |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36