557_Obrabotka_informatsii_i_matematicheskoe_modelirovanie_2014_

T 2.0

3. План с наибольшим значением определителя информационного количества Фишера принять за начальный план и для него выполнить следующую процедуру:

3.1. Рассчитать значение градиента определителя информационной

	матрицы	Фишера				по			значениям	объясняющих	переменных:
		I		I		I
	grad det I		,		,...,			, k	количество уровней воздействия.
		x1		x2		xk

3.2.Идти по направлению градиента до тех пор, пока прирост

информационного количества будет больше некоторой наперед заданной величины .

3.2.1.В случае если значения ковариат на двух соседних интервалах наблюдения равны, объединить эти два интервала в один и уменьшить общее количество интервалов на 1.

3.3.На каждом временном отрезке ti ,ti 2 методом золотого сечения

подбираем оптимальный момент смены воздействия ti 1 .

3.4. Если в процессе оптимизации i-й интервал оказался меньше заранее заданной величины , уменьшить общее количество интервалов на 1, а i 1 -й

интервал, увеличить на величину .

3.5. Если после выполнения шагов 3.1 – 3.4 значение определителя информационного количества Фишера изменилось меньше чем на некоторую, наперед заданную величину , прекратить процесс оптимизации, иначе перейти на шаг 3.1.

Помимо этого в данной работе затрагиваются моменты, касающиеся устойчивости оптимальных планов относительно ошибок в значениях параметров, входящий в модель. В работе исследуются потери в значении критерия оптимальности при ошибке в значении параметра регрессии и параметра формы. Например, в таблице показаны подобные данные для экспоненциальной модели. Исследуется устойчивость оптимального плана эксперимента при фиксированном времени наблюдения.

Таблица – Потери информационного количества Фишера при ошибке в значении параметра регрессии для экспоненциальной модели с функцией от воздействия Аррениуса при времени наблюдения

			Ошибка в значении параметра регрессии (в процентах)
		10	20	30	40	50	60	70	80		90
1		2,34	4,99	10,67	18,49	27,85	38,14	48,57	58,13		64,38
1,1		2,34	4,99	10,67	18,49	27,85	38,14	48,57	58,15		64,75
1,2		2,34	4,99	10,67	18,49	27,85	38,14	48,57	58,15		65,02
1,3		2,34	4,99	10,67	18,49	27,85	38,14	48,57	58,15		65,23

21

Литература

1.Bagdonavicius, V. Models Of Accelerated Life: Modeling And Statistical Analysis V. Bagdonavicius, M. Nikulin. – New York : Chapman and Hall/CRC, 2002. – 360 с.

2.Lawless, J. F. Statistical Models And Methods For Lifetime Data / J. F. Lawless. – 2nd ed. – New Jersey : Wiley-Interscience, 2002. – 664 с. 7б

3.Nikulin, M. Flexible regression models for carcinogenesis studies / M. Nikulin, H.I. Wu // Journal of Mathematical Sciences. – New York, 2007. – Vol. 145, № 2. – С. 4880-4893. 1м

4.Федоров, В.В. Теория оптимального эксперимента : монография / В.В. Федоров. – М. : Наука, 1971. – 331 с.

ПЛАНИРОВАНИЕ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ И НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Берикет Е.А., Черникова О.С. НГТУ, Новосибирск

В связи с развитием информационных технологий и средств вычислительной техники значительно возрастает научный и практический интерес к методам построения математических моделей динамических систем. Первоначально методология построения динамических моделей развивалась в рамках пассивного подхода, при котором идентификация проводится в режиме нормальной эксплуатации исследуемой системы. Применение методов теории планирования эксперимента позволяет различными способами воздействовать на повышение точности оценивания неизвестных параметров и предоставляет исследователю дополнительные эффективные возможности в получении качественной модели.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой и идентифицируемой стохастической линейной дискретной системы в пространстве состояний:

		x k 1 (k)x k (k)u k (k)w k ,					(1.1)
y		k 1	H (k 1)x(k 1) v		k 1 , k 0,1,..., N	1,	(1.2)

где х(k) – n- вектор состояния; u(k) – r- вектор управления (входа); w(k) – p- вектор возмущения; y(k+1) – m- вектор измерения (выхода); v(k+1) – m- вектор ошибки измерения.

Предположим, что

случайные векторы w(k) и v(k+1) образуют стационарные белые гауссовские последовательности, для которых

22

(1.3)

– символ

w k		0, w k wT i		Q ki
				T	i
			k 1 w

,

v k 1 0, v k 1 vT i 1				R ki ,
0,	k,i 0,1,	, N 1;

(здесь и далее E – оператор математического ожидания, ki Кронекера);

начальное состояние		x 0 имеет нормальное распределение с параметрами
x 0		x 0 , x 0 x 0 x 0 x 0 T				0
и не коррелирует с w k и v k 1			при любых значениях переменной k;

неизвестные параметры сведены в вектор Θ=(θ1, θ2,…, θs), включающий в себя элементы матриц Ф,Ψ,Г,Н,Q, R,P (0) в различных комбинациях.

Необходимо для математической модели (1.1), (1.2) с учетом высказанных априорных предположений разработать алгоритмы и программы планирования А- и D- оптимальных входных сигналов и начальных условий.

2.ПЛАНИРОВАНИЕ ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ

ИНАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Под

непрерывным

нормированным

планом

будем

понимать

совокупность величин

,

2

,

,

q

1

q

,

pi 0 ,

p i 1 , i

,

i 1, 2,..., q ,

(2.1)

p1, p 2 ,

, p q

i 1

где

каждая

точка

плана

i

спектра

плана

, представляет

собой

T

ui

0 T

, ui 1 T ,...,

ui N 1 T

,

i 0

T

x

последовательность вида

i

.

Для

плана

(2.1)

нормированная

информационная

матрица

определяется соотношением

q

pi i ,

M i

i 1

где

–

информационные

матрицы

точек

спектра

плана

(ИМФ),

определяемые формулой

2

ln L

,

ij

,

, i, j 1, 2,..., s ,

Y

i j

алгоритм вычисления которых подробно описан в [1].

Задача совместного планирования входных сигналов и начальных условий заключается в решении оптимизационной задачи:

* arg min X[M ( )],

(2.2)

23

т.е. оптимальном определении точек спектра плана i и соответствующих весов p1, p2,..., pq , при котором некоторый предварительно выбранный функционал от

информационной матрицы X M		достигает своего экстремального значения.

Задачу (2.2) можно решать непосредственно с помощью общих методов численного поиска экстремума (например, методом последовательного квадратичного программирования), при этом проверяя в конце необходимые условия оптимальности планов [2]. Другой подход (его называют двойственным) основан на теореме эквивалентности [3].

Отметим также, что применение градиентов в процедурах планирования позволяет заметно повысить скорость решения задач и невозможно без вычисления производных ИМФ как по компонентам входного сигнала, так и по компонентам вектора начальных условий.

В работе в рамках программной системы MATLAB для моделей линейных дискретных систем вида (1.1), (1.2) с указанными априорными предположениями разработаны градиентные прямая и двойственная процедуры построение А- и D- оптимальных входных сигналов и начальных условий.

ПРИМЕР

Рассмотрим следующую математическую модель стохастической линейной дискретной системы:

1	1	3		1	0
x t 1	x t		u t		w t ,
2	0	4		0	1
y t 1 1	0 x t 1 v t 1 ,t 0,1,..., N 1;

причем справедливы априорные предположения, высказанные при постановке задачи. Будем считать1 0 120 ,02 ,1 , R 0.02 , истинные значения параметров

1		0.52, 2		0.01,		3		0.58, 4						0.57.
	Таблица – D-оптимальные планы (двойственная процедура)
		Q																			0
														*				X M				X M		*
		0.15	0		1		, 1, 1			2	, 1		,1 , 1 ,1, 1; 1				1	-12.0534				-16.7063
		0	0.15			3			2			3		3 3		2
				1 , 1 ,				1 , 1				;1				0.4020
					5	3 2				4		2
		1 0		1 ,		1		2	, 1 ,1, 1 ,1, 1; 1,1							0.1844		-8.4192				-11.4538
		0	1		2		2			3				6
				1		,1, 1,1, 1						,1 , 1,1;1				0.4136
					2					10		3		2

Проведенные численные исследования позволяют говорить о принципиальной возможности совместного планирования входных сигналов и начальных условий, свидетельствуют об эффективности разработанных алгоритмов планирования и целесообразности их дальнейшего использования в процедурах активной параметрической идентификации при построении моделей стохастических линейных дискретных систем.

1 Запись ak означает, что число a повторяется k раз; запись (a,b)k означает, что пара чисел (a,b) повторяется k раз.

24

Литература

1.Чубич В.М. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ, 2009. – №1(34). – С. 23-40.

2.Денисов В. И. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем: монография /В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова,

Д.И. Бобылева. –		Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. – 192 c.
3. Федоров	В.	В. Теория оптимального эксперимента (планирование

регрессионных экспериментов) / В.В. Федоров. – М.: Наука, 1971. – 312 с.

К ВОПРОСАМ ПРИМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ ПРОВЕРКИ СЛУЧАЙНОСТИ И ОТСУТСТВИЯ ТРЕНДА

Веретельникова И.В., Лемешко Б.Ю. НГТУ, Новосибирск

e-mail: [e-mail]

Существует множество критериев, предназначенных для проверки гипотез об отсутствии тренда или о случайности анализируемых выборок. Параметрические критерии, как правило, опираются на предположение о нормальном распределении шума, а в непараметрических критериях стараются использовать асимптотические распределения статистик. На практике гипотеза о нормальности шума оказывается справедливой далеко не всегда, а исследователь обычно имеет дело с ограниченными объемами выборок. Применение параметрических критериев при нарушений стандартных предположений, а непараметрических критериев в условиях асимптотические свойства не выполняются, может приводить к некорректным выводам. В ходе исследований, являющихся развитием [1,2], были рассмотрены следующие параметрические критерии: автокорреляции, его модификация (нормированная сумма коэффициентов корреляции первого и второго порядков), Люнга-Бокса, Морана, Дюффа-Роя, Вальда-Вольфовитца, Хсу и знаково-ранговый критерий Холлина.

Распределения статистик критериев автокорреляции, его модификации, Морана, Дюффа-Роя, Вальда-Вольфовитца, Хсу при выполнении предположения о нормальности входных данных подчиняются стандартному нормальному закону N(0,1). Методами статистического моделирования было показано, что при n>31 для критерия автокорреляции, при n >200 для его модификации, при n >40 для критерия Морана, при n >17 для критерия Дюффа-Роя, при n >20 для нормализованной статистики Вальда-Вольфовитца, при n >30 для критерия Хсу в стандартизированной форме гипотезы о согласии распределений статистик со стандартным нормальным законом не отвергается с достигаемым уровнем значимости выше 0.01. То есть, при таких объемах выборок стандартный нормальный закон можно использовать в

25

качестве распределений статистик этих критериев. В процессе анализа количество моделируемых значений статистик составляло 16600.

Использование стандартного нормального закона в качестве распределения статистики при объемах выборок n меньше указанных выше может приводить к существенной ошибке при определении достигаемого уровня значимости. Применение параметрических критериев в условиях нарушения предположений о принадлежности анализируемых выборок нормальному закону также будет приводить ошибке при принятии решения.

Предотвратить возможную некорректность выводов при использовании параметрических и непараметрических критериев в условиях нарушения стандартных предположений можно за счет использования при проверке гипотезы “истинного” распределения статистики, соответствующего справедливости проверяемой гипотезы в реальных условиях приложения (при заданном объеме выборки и при конкретном законе распределения входной случайной величины). Такое распределение может быть найдено методами статистического моделирования в процессе проверки соответствующей гипотезы (в интерактивном режиме). Такой режим для рассмотренных критериев реализован в развиваемой программной системе «Интервальная статистика для Windows» [3].

В процессе исследований были отмечены некоторые недостатки критериев, в частности, отмечена очень медленная сходимость к стандартному нормальному закону распределения статистики критерия Люнга-Бокса (см. рисунок 1). Гипотеза о согласии распределения статистики критерия ЛюнгаБокса со стандартным нормальным законом отклоняется даже при n =1000.

Рисунок 1 – Сходимость распределения статистики критерия Люнга-Бокса к N(0,1)

26

Статистики Люнга-Бокса, Морана и Дюффа-Роя предложены как нормализующие преобразования статистики автокорреляции. Исследования показали эквивалентность всех этих критериев. Распределение статистики критерия Дюффа-Роя быстрее всех сходится к N(0,1). Поэтому его применение этого критерия предпочтительней.

Распределения статистики критерия Холлина сильно зависят от объема выборки. Исследование распределений статистики этого критерия при нарушении предположения о нормальности показало, что если наблюдаемый закон симметричен, то распределения его статистики практически не отличаются от тех, которые оно имеет при нормальном законе.

Был рассмотрен ряд непараметрических критериев: ранговый и сериальный критерии Вальда-Вольфовитца, критерии инверсий, Бартелса, ФостераСтюарта, Кокса-Стюарта, кумулятивной суммы, Рамачандрана-Ранганатана.

Результаты моделирования показали, что распределение статистики рангового критерия Вальда-Вольфовитца смещено по отношению к предельному и очень медленно сходится к N(0,1). Даже при n=700 гипотеза о согласии с N(0,1) отвергается. Дискретностью же распределения статистики практически можно пренебречь.

Были рассмотрены критерий инверсий I, обратных инверсий T и критерий K-инверсий, где K=T – I, распределения которых сильно зависят от объема выборок. Исследование распределения нормализованной статистики инверсий I* показало, что при n>28 оно достаточно хорошо согласуется с N(0,1).

Исследование критериев Фостера-Стюарта показало, что даже при объемах выборок n=100, 200 дискретные распределения статистик существенно отличаются от t-распределения Стьюдента с n степенями свободы. Поэтому при проверке гипотез, и в данном случае, желательно использование истинного распределения статистики вместо t-распределения.

Распределение нормализованной статистики критерия Кокса-Стюарта, используемого для выявления тренда в средних, является дискретным и при малых n следует учитывать его отличие от N(0,1). При объемах выборок n>40 в качестве распределения статистики можно использовать N(0,1). В случае критерия Кокса-Стюарта, используемого для обнаружения тренда в дисперсиях, N(0,1) можно использовать в качестве распределения статистики критерия при n>155.

Распределений статистик критериев кумулятивной суммы и РамачандранаРанганатана методами существенно зависят от объема выборки. Применение этих критериев затруднительно без использования интерактивного режима для определения достигаемого уровня значимости по истинному распределению статистики.

Показано, что в качестве распределения статистики критерия Бартелса при n>10 можно спокойно использовать N(0,1).

При исследовании распределения нормированной статистики сериального критерия Вальда-Вольфовитца было показано, что даже при больших объемах

27

выборок (n=700) оно остается дискретным, в связи с чем желательно использование истинного распределения статистики.

Таким образом, проведенные исследования подчеркивают, что корректное применение множества критериев, используемых для проверки случайности и обнаружения тренда, требуют знания истинных распределений статистик, соответствующих реальным условиям применения критериев, и развитого программного обеспечения.

Литература

1.Лемешко Б.Ю., Комиссарова А.С., Щеглов А.Е. Применение некоторых критериев проверки гипотез случайности и отсутствия тренда // Метрология. 2010. № 12. – С.3-25.

2.Лемешко Б.Ю., Комиссарова А.С., Щеглов А.Е. Свойства и мощность некоторых критериев случайности и отсутствия тренда // Научный вестник НГТУ. 2012. – № 1(46). – С. 53-66.

3.ISW – Программная система статистического анализа одномерных слу-

чайных величин. URL: http://www.ami.nstu.ru/~headrd/ISW.htm (дата обращения 11.12.2013).

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СОГЛАСИИ С ПОЛУПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ УСКОРЕННЫХ ИСПЫТАНИЙ

Викторова М.М., Галанова Н.С. НГТУ, Новосибирск

e-mail: [e-mail], тел.: [phone]

Обозначим через длительность жизни (время наработки до отказа), которая является неотрицательной случайной величиной с абсолютно непрерывным законом распределения. Под функцией надежности понимается вероятность безотказной работы за некоторую наработку t :

S(t) P{ t}, t 0 .

В данной работе рассматриваются статистические модели надежности для данных, полученных в результате ускоренных испытаний. Если x0 –

нормальное воздействие, то под повышенным (ускоренным) воздействием x1 понимается любое воздействие, для которого выполняется

Sx0 (t) Sx1 (t), t 0.

В общем виде модель ускоренных испытаний выглядит следующим образом [3]:

Sx (t) S0 t (x, ) ,

где (x, ) – функция от воздействий.

28

В рамках данной работы рассматривается полупараметрический подход к построению регрессионных моделей ускоренных испытаний. При полупараметрическом подходе параметризуют только функцию от воздействий(x, ) , вид базовой функции надежности S0 t остается неизвестным. Для

проверки адекватности параметрических моделей ускоренных испытаний обычно анализируют выборку остатков {Zi } [1, 2]:

Zi Xi (x i , ˆ) ,

где x i – воздействие, при котором был получен момент отказа X i и ˆ –

оценка регрессионного параметра, полученная по методу максимального правдоподобия. Остатки, если модель верна, должны согласоваться с базовым законом распределения отказов. Однако для проверки согласия с полупараметрической моделью ускоренных испытаний мы не можем воспользоваться данным подходом, так как у нас нет базового распределения отказов. Так как базовым предположением о модели ускоренных испытаний является тот факт, что функция от воздействия входит в модель как масштаб, то если построенная модель верна, остатки должны представлять собой независимые, одинаково распределенные случайные величины. В данной работе рассмотрен подход к проверке адекватности построенной полупараметрической модели ускоренных испытаний, основанный на проверке однородности остатков. Данный подход был предложен в [4], но подробно не исследовался.

Алгоритм проверки адекватности полупараметрической модели ускоренных испытаний, основанный на однородности остатков:

1. По	выборке	отказов (в		общем		случае		цензурированной)
n	( X1, x1, i ), ... ,		( Xn , x n , n )		строим		полупараметрическую
модель ускоренных			испытаний.		Для	этого		находим оценки
регрессионных		параметров		ˆ	по		методу	максимального

правдоподобия.

2.Формируем выборки остатков. Количество выборок остатков будет совпадать с количеством различных воздействий в плане проведения эксперимента.

3.Для полученных выборок остатков проверяется гипотеза об однородности. Если гипотеза об однородности не отвергается, то будем считать, что полупараметрическая модель ускоренных испытаний хорошо описывает данные.

Вданной работе были рассмотрены следующие критерии однородности:

Критерий Гехана

Вкритерии Гехана каждое наблюдение из первой группы сравнивается со всеми наблюдения во второй группе, величина Uij отображает результат

сравнения:

29

1,если X

i

Y

или X Y

j

j

i

Ui

0,если Xi

Yj

или Xi Yj

или Yj Xi ,

j 1,..., n2 .

Yj

Yj

1,если Xi

или Xi

Далее вычисляются значения

n1

n

n1n2 Ui2

1

UW Ui и

SU

i 1

.

n1

n2 n1 n2 1

i 1

W

Статистика критерия Гехана имеет вид

S UW . SUW

При справедливости нулевой гипотезы статистика принадлежит стандартному нормальному закону распределения.

Логранговый критерий

Для вычисления статистики находится ожидаемое число отказавших объектов в первой группе в каждый момент времени, когда какой-либо объект отказывал хотя бы в одной группе:

E1t n1tnt dt ,

где n1t – число объектов в первой группе, которые не отказали и не выбыли к моменту времени; t , dt – общее количество отказов в данный момент времени и nt – число объектов в обеих группе, которые не отказали и не выбыли к моменту времени t . Далее вычисляются значения:

UL d1t E1t и SUL		n n	d (n d		)
		1t 2t	t	t t		,
			3
t R(t )	t		n
			t

где d1t – число отказавших в первой группе в момент времени t . Статистика логрангового критерия имеет вид

S U L . SUL

При справедливости нулевой гипотезы статистика логрангового критерия принадлежит стандартному нормальному закону распределения.

В данной работе было проведено исследование мощности критериев однородности Гехана и логрангового по выборкам остатков для полупараметричекой модели ускоренных испытаний при различных конкурирующих гипотезах с разной степенью близости.

30