557_Obrabotka_informatsii_i_matematicheskoe_modelirovanie_2014_

температуре и проценте превышения сопротивления 2% резисторы проработают 8760 часов (что эквивалентно двухлетнему сроку службы).

Литература

1.Nikulin, M. Accelerated Life Models: Modeling and Statistical Analisys / M. Nikulin,V.Bagdonavicius.– Boca Raton : Chapman & Hall/CRC, 2001. – 334 с.

2.Chimitova E. Alternatives for Wiener and gamma degradation models: method of selection / E. Chimitova, E. Chetvertakova // AMSA’2013, Novosibirsk, 25–27 Sept. 2013 : proc. of the intern. workshop. – Novosibirsk : NSTU publ., 2013. – P. 77-82

3.Meeker, W.Q. Statistical Methods for Reliability Data / W.Q. Meeker, L.A. Escobar. – New York : John Wiley and Sons, 1998. – 680 с.

51

A

Au f

Секция 1.2 СибГУТИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ GPU УСКОРИТЕЛЕЙ

Архипов Д.А., Болячев Р.Ю., Шурина Э.П. ИНГГ СО РАН, НГТУ, Новосибирск

e-mail: [e-mail], тел.: [phone]

Поведение трехмерного электрического поля при гармонической

зависимости от времени ( ei t ) описывается векторным уравнением Гельмгольца [4]

rot 1rotE k 2E i J	s ,	(1)

E n 0

Где k 2 i 2 , E – напряженность электрического поля, комплексная векторная функция, – циклическая частота (Гц), – диэлектрическая проницаемость (Ф/м), – магнитная проницаемость (Гн/м), – электрическая

проводимость (См/м), i – мнимая единица, – область моделирования, – граница области , Js – вектор плотности тока, Js [L2 ( )]3 и удовлетворяет условию divJs 0 .

Выполнение закона сохранения заряда обеспечивается выполнением скачка нормальной компоненты напряженности электрического поля на

границах между подобластями Гij с различными			электрофизическими
характеристиками
[n ( i )E]		0 .	(2)
		Гij

Следовательно, вычислительные схемы решения уравнения Гельмгольца, должны конструироваться таким образом, чтобы условие (2) выполнялось с заданной точностью. Векторный метод конечных элементов позволяет выполнить эти требования, если векторные базисные функции имеют второй и более полный порядок [3, 6].

В результате построения дискретного аналога уравнения (1) получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размерности (n n) имеет вид

(3)

Конечноэлементная матрица является симметричной знаконеопределенной, так как rotrot оператор обладает ядром большой размерности (примерно равного числу узлов в сетке) [2]. Использование классических методов на подпространствах Крылова с предобусловливанием неполного LU-разложения, различных его вариаций или диагонального масштабирования не позволяет эффективно решать СЛАУ (3). Эти методы

52

будут либо очень медленно сходиться к решению, либо вообще расходиться. Для решения такого класса задач применяются алгебраические многоуровневые методы, позволяющие учитывать особенности задачи [1, 6].

Итерационные методы на подпространствах Крылова быстро подавляют высокочастотную составляющую ошибки, после этого начинается период медленной сходимости метода (подавление низкочастотной составляющей ошибки). Подавление низкочастотной составляющей обеспечивается использованием коррекции решения на ядре rotrot оператора.

Основной процедурой итерационных методов решения СЛАУ является умножение матрицы на вектор в разреженнострочном формате, поэтому в настоящее время разрабатываются схемы ускорения этой процедуры. Существует два подхода:

1.Вариационные схемы, имеющие естественную параллельную структуру (методы декомпозиции области, многомасштабные, разрывный Галеркин и др.)

2.Распараллеливание процедуры умножения матрицы на вектор с помощью технологий OpenMPI или использование GPU ускорителей.

Вданной работе будет использован GPU ускоритель для матричновекторных умножений в итерационных методах решения СЛАУ.

Общая картина, с которой сталкивается программист при использовании CUDA: на самом высоком уровне абстракции он получает параллельную вычислительную систему с архитектурой SIMT (Single-Instruction, MultipleThread) – одна команда параллельно выполняется множеством более-менее независимых потоков (threads). Совокупность всех этих потоков, запущенных

врамках одной задачи (см. рисунок 1), носит название grid [7].

Рисунок 1 – Иерархия потоков и доступ к частям памяти

53

Для перемножения матрицы на вектор мы воспользовались данной архитектурой и создали grid: каждый элемент результирующего вектора вычисляется в отдельном блоке (в каждом блоке умножаем строку на вектор в разреженном строчном формате). Работа с глобальной памятью лучше осуществлять транзакциями (варпами читаем за 4 такта 128 байт памяти), для этого нити должны обращаться к элементам памяти последовательно, каждой следующей нити должно соответствовать следующее слово в памяти (некоторые нити могут вообще не обращаться к соответствующим словам). Считав из глобальной памяти в регистры каждой нити данные, выполняем перемножение для каждого элемента строки в соответствующей нити и затем записываем результат обратно в глобальную память. Теоретически должны получить ускорение k*n*p - i, где k – количество нитей в блоке, n – количество блоков обрабатываемых мультипроцессором на девайсе, p – количество мультипроцессоров на девайсе, i – издержки времени на передачу данных и запуска ядра на девайсе.

Литература

1.М.И. Эпов, Э.П. Шурина, Д.А. Архипов. Параллельные конечноэлементные вычислительные схемы в задачах геоэлектрики. Вычислительные технологии. Том 18, №2, 2013. стр. 95-112.

2.Нечаев О.В., Шурина Э.П. Многосеточный алгоритм решения векторным методом конечных элементов трехмерного уравнения Гельмгольца// Математическое моделирование. 2005. Т.~17, №~6. стр.92-102.

3.Webb J.P. Edge elements and what they can do for you//IEEE Transaction on magnetic, 1993, № 2, p.1460-1465.

4.Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3. - In: Numer. Math., №3 ,1980, p. 315 -

5.Schwarzbach C. Stability of Finite Element Solutions to Maxwell's Equations in Frequency Domain: Dis. Dr. rer. nat.Gorlitz. 2009. v. 171.

6.Hiptmair R. Multigrid methods for Maxwell's equations // SIAM J. Numer. Anal.,

1998, №1, p. 204-225.

7.http://docs.nvidia.com/

ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК И МОЩНОСТИ КРИТЕРИЯ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ О СОГЛАСИИ НА ОСНОВЕ ОЦЕНКИ ИНФОРМАЦИОННОГО КОЛИЧЕСТВА ФИШЕРА

Казакова А.А., Семёнова М.А.

При решении практических задач в анализе выживаемости, теории надежности, контроле качества и других областях необходимо построение некоторой модели, достаточно хорошо описывающей данные, а также – проверка гипотезы о принадлежности выборки данной модели. Гипотеза о согласии вида H0 : Fn (t) {F(t; ), } называется сложной, если в качестве

54

неизвестного параметра используется его оценка ˆ , вычисленная по той же выборке, по которой проверяется гипотеза о согласии.

Универсальными критериями проверки адекватности параметрических моделей являются непараметрические критерии Колмогорова, 2 Крамера-

Мизеса-Смирнова и 2 Андерсона-Дарлинга. Исследование распределений статистик и мощности данных критериев подробно описано в [3], [4]. Однако получение корректного результата проверки сложной гипотезы о согласии данными критериями связано не только с необходимостью моделирования распределений статистик, но с малой мощностью. Поэтому актуально исследование альтернативных критериев проверки сложной гипотезы о согласии, в том числе по цензурированным данным.

В [1] и [2] описан критерий согласия, основанный на оценке информационного количества Фишера (для краткости, в работе будем называть данный критерий критерием Уайта).

Статистика критерия имеет вид:

ˆ ˆ ˆ

Cn(θ) | An(θ) Bn(θ)|,

							2	ln f(ti	ˆ
		ˆ	1		n				,θ)
где	A (θ)										,
	n							θ2
			n i1

n

ln

f(t

ˆ

ˆ

ˆ

1

,θ)

ln f(t ,θ)

i

i

B (θ)

.

n

n

θ

θ

i1

В случае верной гипотезы H0 при достаточно большом объеме выборки наблюдений An ( ) приблизительно равно Bn ( ) , а их разница Сn ( ) будет близка к нулю: n , An ( ) Bn ( ) Сn ( ) 0.

В случае, когда оцениваемый параметр один, статистика n ˆ – скаляр.

C (θ)

ˆ ˆ

Если же количество неизвестных параметров m > 1, то An(θ) и Bn(θ) – матрицы размером m×m, вида:

ˆ

Bn(θ)

2

ˆ

ln f(ti ,θ)

2

1

n

θ1

ˆ

An(θ)

n i 1

2

ˆ

ln f(ti ,θ)

θ m

1

ˆ

ˆ

ln f(ti ,θ)

ln f(ti ,θ)

θ1

θ1

1

n

n i 1

ˆ

ˆ

ln f(ti ,θ)

ln f(ti ,θ)

θm

θ1

	2	ln f(t	ˆ
			,θ)
		i
		θ1 m
	2 ln f(t
			,θ)ˆ
		i
		2
		θm

	ˆ		ln	ˆ
	ln f(ti ,θ)			f(ti ,θ)
	θ1		θm
	ˆ		ln	ˆ
	ln f(ti ,θ)			f(ti ,θ)
	θm		θm

55

Статистика Сn ( ) , в таком случае, будет также матрицей размера m×m, каждый элемент которой есть разность между соответствующими элементами

матриц n ˆ и n ˆ . При верности нулевой гипотезы, значения элементов

A (θ) B (θ)

матрицы Сn ( ) стремятся к нулю, следовательно, для получения скалярной статистики будем использовать норму матрицы. В данной работе рассматриваются p-нормы ( p 1..5) :

p		ˆ			p		ˆ		p
Cn		Cn ( )		p			cij ( )
					i, j

где cij ( ) – элементы матрицы Сn ( ) .

В работе исследуется зависимость распределений статистик критерия согласия, основанного на оценке информационного количества Фишера от объемов выборок наблюдений и при разных степенях цензурирования. При проверке сложной гипотезы относительно распределений Вейбулла и экспоненциального показано, что распределения статистик критерия Уайта зависят от объема выборок, степени цензурирования и распределения, с которым проверяется согласие. При проверке гипотез относительно законов с несколькими неизвестными параметрами на основе оценок информационного количества Фишера могут быть построены критерии с разными статистиками или нормами.

Исследование мощности критериев с различными статистиками проводилось для следующих пар конкурирующих гипотез:

1) Н0: Экспоненциальный закон с параметром масштаба 1 1; Н1: Закон Вейбулла с параметром масштаба 1 1 и параметрами формы 2 {0.8, 0.9, 1.1, 1.2}.

2)Н0: закон Вейбулла с параметром масштаба 1 2 и параметром формы 2 2 ;

Н1:	Гамма распределение с параметрами {0, 0.5577, 3.1215};
Н2:	Логарифмически	нормальное	распределение	с
параметрами {0, 1.5013, 0.6424};

Н3: Обобщённый закон Вейбулла с параметрами {0, 2, 2, 0.9}.

В таблице представлены полученные значения мощности критерия Уайта с разными нормами и мощности непараметрических критериев Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга.

56

Таблица – Мощность (1- критериев проверки сложной гипотезы о согласии с законом Вейбулла, n=50

	Критерий	Гамма	Логарифмически		Обобщенное
			нормальное		Вейбулла
	Колмогорова	0.1799		0.4948	0.0961
	2	0.225		0.6726	0.0968
	2	0.2065		0.6044	0.0997
	C1	0.2139		0.5211	0.1524
	n
	C 2	0.2272		0.5589	0.144
	n
	C3	0.2997		0.6736	0.0879
	n
	C 4	0.2612		0.5945	0.1184
	n
	Таким образом, в случае альтернативы Н1: Гамма распределение,
наиболее мощным оказывается критерий Cn3 ,				в случае Н3: Обобщённый закон

Вейбулла, критерий Cn1 оказался более мощным.

В работе показано, что с ростом степени цензурирования при данных конкурирующих гипотезах мощность критериев Уайта в отличие от непараметрических критериев резко падает, однакопри альтернативе

Н3:обобщённый закон Вейбулла, критерий Cn1 оказался более мощным, чем

непараметрические критерии.

В дальнейшем планируется модифицировать используемые статистики с учетом выявленных недостаткови разработать критерий проверки адекватности полупараметрической модели пропорциональных интенсивностей Кокса на основе оценки информационного количества Фишера.

Литература

1.Lin D. Y. Goodness-of-fittestsforthegeneralCoxregressionmodel/ D. Y. Lin, L. J. Wei; University of Washington and University of Wisconsin. StatisticaSinica 1991

№1.–17 p.

2.White H. Maximum likelihood estimation of misspecified models / Halbert White; Econometrica, January, 1982. – 25 p.

3.Лемешко Б.Ю. Статистический анализ данных, моделирование и исследование вероятностных закономерностей. Компьютерный подход : монография / Б.Ю. Лемешко, С.Б. Лемешко, С.Н. Постовалов, Е.В. Чимитова. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 888 с. (серия «Монографии НГТУ»)

4. Лемешко Б.Ю., Чимитова Е.В., Ведерникова М.А. Модифицированные критерии согласия Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и АндерсонаДарлинга для случайно цензурированных выборок. //Научный вестник НГТУ. – 2012. – № 4(49). – С. 12-19.

57

МОДЕЛЬ НАПОЛНЕНИЯ КУПОЛА-СЕПАРАТОРА НЕФТЬЮ

Кильдибаева С.Р. СФ Баш ГУ, Стерлитамак

e-mail: [e-mail], тел.: [phone]

Загрязнение окружающей среды зачастую тесно связано с разработкой залежей полезных ископаемых. К примеру, разлив нефти, произошедший в Мексиканском заливе в 2010 году, продемонстрировал масштабность проблемы, потенциально возникающей при некорректном использовании или поломке нефтедобывающего оборудования. В результате разлива в залив вытекло более 5 миллионов баррелей нефти, что привело к серьезным экологическим последствиям.

Одним из методов устранения аварий в шельфе является установка куполасепаратора, который устанавливается непосредственно над местом утечки, производит сбор и транспортировку нефти.

Рисунок 1 – Схема купола-сепаратора

Форма купола приведена на рисунке 1, размеры купола, в зависимости от объемного расхода вытекающей нефти, могут варьироваться. При термобарических условиях, характерных для глубин, где ведется разработка шельфа, высока вероятность образования газовых гидратов. Попадая в купол, гидраты могут придать конструкции нежелательную плавучесть. Для предупреждения гидратообразования внутрь купола закачивается теплый спирт Ta0 60 C . Плотность спирта больше плотности гидратов, что не позволяет

гидратам попадать внутрь купола. Будем полагать, что купол зафиксирован на высоте h* 8 м , а нефть, вытекающая из скважины, полностью накапливается в куполе, при этом спирт «вытесняется» нефтью:

dMo	m ,	dMa	m , m V o	,
dt	o	dt	out out 0 a
			58

где V0o – объемный расход поступающей нефти, mo , mout – массовый расход нефти и «вытесняемого» спирта a – плотность спирта.

Купол заполняется поэтапно. На первом этапе решается задача о всплытии капель нефти внутри купола через слой теплого спирта. Уравнение сохранения энергии для капли нефти, которая попадает в купол, имеет вид:

dQodr

Sodr Ta Todr ,

Qodr comodrTodr ,

dt

где

Nu

2a

,

Nu 2 0, 6 Re0,5 Pr0,33

–

число

Нуссельта,

Pr

–

число

a

o

Прандтля,

S dr

–

площадь

поверхности капли

нефти,

–

коэффициент

o

a

температуропроводности спирта, a – коэффициент теплопроводности,

a –

кинематическая вязкость спирта.

Уравнение сохранения энергии для слоя спирта имеет вид:

dQa mout

сaTa no o Sodr Ta Todr qaw Saw

2 r

1 r 2 qsadz qsa R12 ,

(1)

H

dt

h3

где

Q c M T ,

n

V0o t

,

V

dr

4

a

3

,

q

a

p

T T

,

T T

s

q

aw

Nu

a a

a a

o

Vdr

3

o

s

a

w

aw

aw

aw a

w

Первое слагаемое в (1) – поток тепла от капель нефти, которые всплывают

в слое спирта;

qaw

– поток тепла от спирта в воду через нижнее основание

купола; qsa

– поток из слоя спирта через боковые стенки и верхнее основание

купола; Sodr

– площадь капли нефти; Saw – площадь границы раздела слоев нефти

испирта; Ta – температура спирта; no – количество капель нефти в слое спирта

p – коэффициент теплопроводности для полиуретана, s – толщина стенки

купола, aw – усредненное значение коэффициента теплопроводности, aw 2R2 , Nuaw – число Нуссельта, определяющееся на основании [1]:

Re0,5

1 0, 00197h1,75 Re0,24o

Pr0,24

2 h 6, Nuaw 0, 935

o

0,11

Nuaw

h 0,5

6

16, Nuaw 3, 06

Reo

1 0, 0157

0,66 Re0,24o

Pr0,4

h

h

0,77

h

где Reo wo D ; wo – скорость смеси нефти и газа на срезе скважины; D – диаметр

скважины; – вязкость воды; h Dh , h – расстояние от устья скважины до дна

купола.

После достижения капель верхнего основания, начинает накапливаться слой нефти, с этого момента начинается второй этап. Третий этап связан с подключением к куполу трубки для откачки нефти и стационарной работой купола-сепаратора.

59

Литература 1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М..: Высш. школа, 1966 – 600 с.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА УТИЛИЗАЦИИ ПАРНИКОВЫХ ГАЗОВ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ ЧЕРЕЗ ГИДРАТООБРАЗОВАНИЕ

Кильдибаева С.Р., Хасанов М.К. СФ Баш ГУ, Стерлитамак

e-mail: [e-mail], [e-mail], тел.: [phone]

В настоящее время рост выбросов в атмосферу в результате сжигания ископаемого топлива является серьезной проблемой для развитых и развивающихся стран, учитывая роль, которую данные выбросы играют в парниковом эффекте и, следовательно, в глобальном изменении климата. В 2006 году группой голландских исследователей в связи с угрозой глобального потепления была предложена идея подземной газогидратная консервация парниковых газов, которая обеспечивает высокий уровень безопасности хранения и не требует больших энергетических затрат [1]. Очевидно, что любые технологические идеи использования газогидратов должны быть подкреплены соответствующими расчетами, основанными на обоснованных теоретических моделях.

Газовые гидраты – твердые кристаллические соединения, образующиеся при определенных термодинамических условиях и имеющие в своей основе газ, который связан на молекулярном уровне с водой [2]. Одним из важных свойств газогидратов является то, что при одинаковых условиях в единице объема в гидратном состоянии содержится значительно больше газа, чем в свободном состоянии [3].

К настоящему моменту отсутствует полное понимание картины физических процессов, сопровождающих образование газовых гидратов в пористой среде и необходимое для технологического использования газогидратов. Это в первую очередь объясняется значительными трудностями, которые возникают как при математическом моделировании данных процессов, так и их экспериментальном исследовании. Как показывают эксперименты по получению гидрата в лабораторных условиях, технологическое производство гидрата, сталкивается со значительными трудностями, и, в первую очередь, с чрезвычайно большими временными масштабами протекания процесса. Это обусловлено тем, что в самом начале процесса образования гидрата, на поверхности воды возникает гидратная корка, которая, как правило, имеет крайне низкую проницаемость для газа. Одним из перспективных способов решения данной проблемы, предлагаемых в настоящей работе, является синтез газогидрата в пористой среде, поскольку в такой среде за счет огромной поверхности контакта газа и воды достигается малая толщина водогидратного слоя.

60