- •II. Пределы и непрерывность
- •§ 4. Пределы функций
- •Предел дробно-рациональной функции в точке
- •3) , Тогда ;
- •Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями
- •Предел дробно-рациональной функции в бесконечности
- •3) , Тогда .
- •Пределы иррациональных функций
- •Примеры сопряжённых выражений
- •Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •§ 5. Непрерывность функций
- •Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность
- •Непрерывность дробно-рациональных функций
- •Непрерывность некоторых сложных функций
Тригонометрические пределы. Первый замечательный предел
ПР13. Найдите тригонометрические пределы простой подстановкой:
1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Пример 19. Легко видеть, что
а) ;
б) .
Предел помогает, если при вычислении тригонометрических функций получается неопределённость . Оказывается, если при функция , то выполнено приближённое равенство
,
и все 4 функции примерно равны собственному аргументу. Тем самым, если аргумент , указанные функции являются эквивалентными бесконечно малыми (предел их соотношения равен 1).
Так, , , поскольку . Как применить это при вычислении пределов, показано в примерах.
ПР14. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых величин:
1) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Пример 20. Если заменить функции собственным аргументом, то
а) ;
б) ;
в) .
ПР15. Раскройте неопределённость при помощи эквивалентных бесконечно малых и тождества :
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 21.
.
Пример 22.
(учли, что по смыслу задачи , иначе не существует).
При переходе к эквивалентным бесконечно малым следует проявлять осторожность, когда присутствует разность или сумма функций, тем более, если после упрощений получается 0 в числителе или знаменателе:
.
Попытка перейти в числителе к разности приведёт к ошибке: либо решим, что в числителе «чистый» 0, и потому ответ равен 0, либо вовсе зайдём в тупик.
Второй замечательный предел
Предел применяют для раскрытия неопределённостей вида , связанных с показательными функциями . Равносильное свойство:
Однако, как при вычислении любого предела, начинать следует с подстановки предельной точки. Если вместо точки указана бесконечность, пытаются упростить пример, найдя предел основания, степени и т.п. И только при возникновении неопределённости применяют замечательный предел.
Схема применения 2-го замечательного предела
Пусть при оказалось, что , а . Тогда .
Считаем, что , где при . Тогда
.
Поскольку , то .
Найдём предел , и если он равен числу A, то весь предел равен .
ПР16. Найдите пределы простой подстановкой:
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 23. .
ПР17. Найдите пределы, воспользовавшись свойствами показательной функции , а именно – её значениями при , когда или :
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) .
В задании 2 в каждом примере получаются 2 ответа – в зависимости от знака бесконечности.
Пояснение. Если , то и . Если , то и . При зависимость не является функцией (точнее, это функция, разрывная в каждой действительной точке).
Пример 24. Видно, что
.
Тогда, поскольку при величина обращается в 0,
.
Пример 25. Находим
.
Основание , а в этом случае . Поэтому
.
Пример 26. Здесь
.
Но функция – это то же, что . А эта функция стремится к 0 при и обращается в при . Тогда .
ПР18. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к бесконечности:
1) а) б) ; в) ; г) ;
2) а) б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) ;
5) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 27. .
Пример 28. Найдём . Представим основание так:
(а лучше сразу заметить, что ).
Тогда .
Но . Поэтому .
ПР19. При помощи 2-го замечательного предела раскройте неопределённость , когда аргумент стремится к 0:
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 29. Преобразовав степень, получаем
а) ;
б) .
ПР20. Найдите пределы
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 30. Найдём . Здесь
,
и тогда
.
В степени присутствует , но , поэтому
. Это и есть ответ.
Пример 31. Найдём . Представив , получаем, что .
Теперь находим . Преобразуем показатель степени так:
.
Тогда
Ответ: .