- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Общая схема исследования функции
- •1) Элементарное исследование:
- •2) Монотонность и экстремум:
- •3) Выпуклость и перегиб:
- •Замечание о поиске 2-х производных
Замечание о поиске 2-х производных
Поиск 2-й производной от дробной функции можно упростить, разложив дробь на целую часть и правильную дробь (например, разделив уголком или методом неопределённых коэффициентов).
Пример 3. , Разложим и учтём, что :
,
тогда .
Очевидно, при и при .
Пример 4. , Применим формулу :
,
тогда .
Для выяснения знака замечаем, что не существует при , а также
,
тем самым ось надо разбить на интервалы точками и . Окажется, что при и при и при (проверьте).
Пример 5. , В числителе нужен фрагмент, делящийся на знаменатель:
.
Поиск проще, чем . Вначале находим
,
затем, вынося как можно больше множителей за скобки,
,
откуда, с учётом коэффициента –5 и того, что ,
.
Знаменатель положителен, а числитель даёт 3 точки, и знак чередуется, начиная с при .
Также можно упростить дифференцирование, если дробь правильная, но содержит квадрат или куб скобки, и т.п.
Пример 6. , . Учитывая, что
,
находим и затем
.
Получается, что при и при , причём .
Пример 7. , Разложим дробь так:
.
Теперь можно заметить, что , и поэтому
.
Тем самым , и тогда
а) ;
б) .
Для поиска корней вынесем за скобки :
,
откуда – точка разрыва, а и – корни числителя.