Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
68.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
13.11.2022
Размер:
2.84 Mб
Скачать

Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Схема решения

  1. Составим характеристическое уравнение и найдём его дискриминант ;

  2. Если уравнение имеет 2 действительных корня , причём , и тогда, как доказано в теории, ;

  3. Если уравнение имеет 2 одинаковых корня , поскольку 2 раза делится на . В этом случае ;

  4. Если уравнение имеет комплексные корни. Находим параметры и , тогда .

  5. Для уравнения , где , в ситуации (4) получается , и тогда , где .

Во всех случаях – произвольные постоянные, и – общее решение.

Удобно воспользоваться обозначением мнимой единицы и считать, что при получаем комплексно-сопряжённые корни .

Для уравнений высокого порядка получается характеристическое уравнение , каким-либо способом находятся все его корни, решение составляется отдельно для каждого корня, и все решения суммируются. В экономике такие уравнения возникают редко.

Пример 1. Решим уравнение . Составляем характеристическое уравнение , его корни действительны и не совпадают. Общее решение , где – произвольные постоянные.

Пример 2. Для уравнения соответствующее характеристическое уравнение имеет 2 совпадающих корня . Получаем общее решение .

Пример 3. Уравнение приводит к характеристическому уравнению , или . Но , тогда .

Пример 4. Решая уравнение , из уравнения получаем корни .

В этом случае .

В практических задачах уравнение обычно дополняется условиями и (или и ), и тогда можно найти значения констант и получить частное решение.

Пример 5. Решим уравнение при условии . Составляем уравнение , находим , составляем общее решение .

Из условия получаем уравнение (поскольку ).

Чтобы учесть условие , находим и подставляем и : . Получили систему , из которой и . Частное решение , или .

Пример 6. Решим уравнение при начальном условии . Уравнение имеет 2 корня , поэтому общее решение .

Подставив и из условия , получаем, что , откуда . Затем находим

и подставляем и . Приходим к системе , из которой . Частное решение .

Пример 7. Чтобы решить уравнение с начальным условием и , решаем уравнение и по корням составляем общее решение .

Чтобы найти , нам понадобится производная

.

Подставим , и . Поскольку и , приходим к системе

Из неё следует, что и , и частное решение , или .

ПК1. Найдите общее решение уравнения . Найдите решение задачи Коши (частное решение при указанных начальных условиях):

1) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

2) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

3) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

4) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

5) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

6) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

7) ;

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

ПК2. Найдите общее решение уравнения и частное решение, соответствующее краевому условию:

1) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

2) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Пример 8. Пусть дано уравнение и условие .

Составляем уравнение и по стандартной схеме получаем общее решение .

Подставим и :

;

Подставим и :

.

Частное решение имеет вид , или .

В общем случае приходится решать систему относительно .

Пример 9. Решим уравнение при условии .

По характеристическому уравнению определяем, что

.

По условию, если , то , поэтому

;

Если же , то , и тогда

.

Умножив оба уравнения на 2, решаем алгебраическую систему

Можно выразить из 1-го уравнения и подставить во 2-е, тогда

.

Значит, .

Итак, частное решение: .

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

в общем случае решают методом вариации произвольных постоянных. При этом нередко получают интегралы, не берущиеся в элементарных функциях. Этот метод выходит за рамки пособия.

В простых случаях, когда правую часть уравнения можно представить в виде

,

где полиномы , а также числа a и b известны, применяют метод неопределённых коэффициентов.

Его идея в том, что решение неоднородного уравнения можно представить как сумму двух решений:

– общего решения соответствующего однородного уравнения;

– частного решения неоднородного уравнения.

При этом частное решение выглядит так же, как правая часть, но отличается только коэффициентами и, возможно, множителем .

Идею метода и некоторые важные моменты лучше разобрать на примерах.

Пример 10. Решим уравнение , где правая часть

а) ; б) ; в) ; г) .

Решаем однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня и , и общее решение однородного уравнения – функция .

а) правой части соответствует частное решение .

Когда правая часть – полином, смотрим, был ли среди корней 0. Такого корня нет, поэтому (иначе было бы , т.е. ).

Находим и . Подставим их в левую часть уравнения: .

Ищем , чтобы для всех x выполнялось . Это равносильно тому, что и (коэффициенты при одинаковых степенях переменной должны совпадать). Значит, и . Итак, в случае а) частное решение ;

б) по правой части строим частное решение . Проверяем, было ли среди корней число –2, стоящее перед переменной в показателе. Такого корня нет, поэтому без умножения на x.

Соответственно

;

.

Подставим в левую часть уравнения: .

Чтобы для всех x выполнялось , достаточно равенства , или . Итак, в случае б) имеем ;

в) когда справа , составляем и смотрим, есть ли среди корней –5. Такой корень есть: , поэтому умножаем на x: .

Поиск производных немного усложняется:

;

.

Подставим: . Должно выполняться , поэтому и . Получили, что ;

г) по правой части составим . Среди корней не было сопряжённой пары , и умножать на переменную x не надо.

Производные

;

подставляем в уравнение .

Получаем, что

или .

Тогда и , откуда и . Значит, .

Ответ: , где

а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 11. Решим уравнение , где правая часть

а) ; б) ; в) ; г) .

Однородное уравнение имеет вид . Характеристическое для него – это , и его корни – числа и . Общее решение однородного уравнения – функция , или .

а) по правой части составляем и ищем число 0 среди корней характеристического уравнения. Такой корень есть ( ), поэтому . Удобно раскрыть скобки: .

Производные и подставим в уравнение :

, или .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: и (справа отсутствует свободный коэффициент). Очевидно, , тогда . Значит, ;

б) когда справа , составляем , среди корней ищем число 2. Такого корня нет, и умножать на переменную x не надо.

Находим и , тогда

.

Но , поэтому , откуда и . Итак, ;

в) если , то . Но коэффициент –2 есть среди корней: , поэтому .

Дифференцируем:

,

,

и подставляем в левую часть уравнения:

.

Из тождества определяем, что . Тем самым ;

г) для составляем и ищем среди корней сопряжённую пару . Такой пары нет, и на переменную x не умножаем.

Дифференцируем:

,

,

Подставляем:

,

группируем: , приравниваем к :

.

Система имеет решение и . Поэтому

.

Ответ: , где

а) ; б) ; в) ; г) .

ПК 3. Найдите общее решение неоднородного уравнения.

1) , где

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

2) , где

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

3) , где

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]