- •Введение
- •1 Основные понятия
- •2 Арифметический, геометрический и гармонический ряды
- •3 Необходимый признак сходимости ряда
- •4 Основные свойства сходящихся рядов
- •5 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •6 Положительные ряды
- •7 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •8 Знакопеременные ряды
- •9 Упражнения и вопросы для самопроверки
- •Библиографический список
- •Алфавитно-предметный указатель
сти частичных сумм) удаётся установить, сходится данный ряд или расходится. Другой задачей является нахождение точной суммы ряда, если он сходится. Отыскание точной суммы сходящегося ряда является трудной задачей, которая решается только в отдельных (частных) случаях (см. пример 5). Однако сумму сходящегося ряда всегда можно найти приближённо, увеличивая число слагаемых в частичной сумме (7).
2 Арифметический, геометрический и гармонический ряды
Рассмотрим ряд
a (n 1)d , |
(9) |
n 1
членами которого являются члены арифметической прогрессии. Его можно назвать числовым арифметическим рядом. Из (1) следует, что
lim Sn |
. Следовательно, ряд (9) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический ряд – это ряд вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
aq |
aq2 |
|
aqn |
1 |
|
|
|
aqn |
1 a |
|
0, q |
0 , |
|
(10) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
составленный из членов геометрической прогрессии. |
Сумма первых n |
|||||||||||||||||||||||||
членов геометрической прогрессии при q |
|
1 находится по формуле (2). |
||||||||||||||||||||||||
Предел этой суммы преобразуем к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1 |
qn |
|
a |
|
|
|
|
qn |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
lim Sn |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
a |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
q |
1 |
q |
n |
1 |
q |
|
|
|
|
|
||||||||
Возможны следующие случаи в зависимости от величины q : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1) Если |
|
q |
|
1, то qn |
|
0 при n |
|
|
. Поэтому S |
|
lim |
Sn |
a |
|
и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 q |
|||
ряд (10) сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1, то qn |
|
при n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2) Если |
q |
|
|
|
. Поэтому S |
lim |
S |
n |
и ряд |
|||||||||||||||||
(10) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
3) Пусть |
q |
|
1.Тогда |
|
при |
|
q 1 |
|
|
|
ряд |
(10) |
примет |
вид |
|||||||||||||||||
a |
a |
a |
. Для него Sn |
|
|
n |
a и |
S |
|
|
lim |
Sn |
|
, т.е. ряд (10) рас- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ходится. |
При q |
|
1 |
ряд |
(10) |
|
примет |
вид |
|
|
a |
a |
a |
a |
. |
Для |
него |
|||||||||||||||
Sn |
0 при чётном n и Sn |
|
a при нечётном n . Следовательно, |
lim |
Sn не |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
существует; ряд (10) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Можно сделать вывод, что геометрический ряд сходится при |
q |
1 и |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расходится при |
q |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 8. Найти сумму ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
32 |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ряд относится к виду (10), где a |
23 и q |
|
1 |
. Т.к. q |
1, то сумма ряда |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
a |
|
|
|
23 |
|
|
8 |
|
|
24 |
|
12. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
q |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В связи с введением суммы ряда всякое действительное число x , представленное в виде бесконечной десятичной дроби
x a0 , a1a2 an ,
можно понимать как сумму ряда
a0 |
|
a1 |
|
a2 |
|
an |
, |
|
10 |
102 |
10n |
||||||
|
|
частичными суммами которого являются десятичные приближения
Sn 1 |
a |
|
a1 |
|
a2 |
|
an |
|
10 |
102 |
10n |
||||||
|
|
этого числа x по недостатку.
Сказанное позволит представлять в виде обыкновенных дробей бесконечные десятичные периодические дроби. При этом будет применена формула
S |
|
a |
|
|
|
q |
|
1 |
(11) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
1 |
|
q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
11
нахождения суммы S геометрического ряда. Поясним это на примере. Пример 9. Представить в виде обыкновенной дроби следующие бес-
конечные десятичные периодические дроби:1) 0, 7 ; 2) 0,0 35 ; 3) 0,2 35 ;
4) 4, 25 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Число 0, 7 |
0,777 |
|
|
|
|
|
|
можно записать в виде геометрического ряда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
100 |
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
10n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
с первым членом a |
|
|
7 |
|
и |
|
q |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. По формуле (11) его сумма равна числу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,7 |
|
|
7 |
. Следовательно, |
0, 7 |
|
|
|
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
0,1 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Число 0,0 35 |
0,0353535 |
|
|
|
|
|
запишется в виде геометрического ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
35 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
105 |
|
|
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
с первым членом a |
35 |
|
и знаменателем q |
|
1 |
|
. В силу формулы (11) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
103 |
|
102 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
990 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, 0,0 35 |
|
35 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
990 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Число 0,2 35 |
0,23535 |
|
|
|
|
|
записывается в виде ряда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
отбросив |
первый |
|
член |
|
|
|
|
|
|
которого |
|
|
|
получим |
|
|
геометрический ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
35 |
|
, q |
|
1 |
|
с суммой |
35 |
. Тогда 0,2 35 |
|
2 |
|
35 |
|
233 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
103 |
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
990 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
990 |
990 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
Число 4, 25 |
4,252525 |
|
|
|
|
|
|
записывается в виде ряда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, 25 |
|
|
|
|
|
|
4 |
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
в скобках которого стоит геометрический ряд с a |
|
25 |
и q |
|
1 |
. Тогда |
|||||||||
102 |
102 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4, 25 |
4 |
|
0,25 |
|
4 |
25 |
421 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
0,01 |
|
99 |
|
99 |
|
|
|
|
|
Предоставляем читателю сформулировать самостоятельно правило обращения бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
Исследуем теперь на сходимость ряд
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
, |
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n 1 n |
2 |
|
3 |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
упоминавшийся уже в примере 2 и названный гармоническим. |
|||||||||||||
Так как его n -я частичная сумма (3) |
представима в виде (4) (при |
||||||||||||
этом lim |
n |
0 ), то lim Sn |
|
lim |
ln n c |
|
n |
и, следовательно, |
|||||
n n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
этот ряд расходится. Ввиду того, что доказательство равенства (4) трудное, приведём более простое доказательство расходимости ряда (12).
Сначала получим некоторое вспомогательное неравенство. Так как
S2n |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
n |
1 |
|
|
2n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Sn |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то разность S2n Sn |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
S2n |
Sn |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|||
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
Заменив в этом равенстве, содержащем n слагаемых, каждое слагаемое
наименьшим, равным |
1 |
, получим вспомогательное неравенство |
|||||||||||||
2n |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S2n |
Sn |
1 |
|
|
1 |
|
n |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2n |
|
2n |
2n |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2n |
Sn |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
13