Решение.					Разделим исходный														отрезок							на					пять				равных								частей,					тогда
h			4 2	0,4 . Получаем точки x														2; x 2,4;									x				2,8;			x		3,2;						x		3,6; x					4.
																	0											2							3								4					5
		5																		1
		Правая			часть					уравнения								имеет							вид						f x, y						x					.		По			условию
																																					y 2
y	0	y x			y 2 1.						Затем находим значение у(х) в точке х1																															по формуле (4.6):
		0
y 2,4 y 2 hf 2,1 ,																				2
										y 2,4 1,000 0,4															1,267 .
																					1 2
		Значения у(х) в остальных точках х2, х3, х4, х5																														находим по той же формуле
(4.6) с учётом найденных предыдущих ук:
		y 2,8 1,267 0,4									2,4					1,561;										y 3,2 1,561 0,4																	2,8				1,874;
										1,267 2																														1,561 2
		y 3,6 1,874 0,4									3,2				2,204;											y 4 2,204 0,4																3,6					2,547.
									1,874 2																													2,204 2
	Ответ:
										x		2				2,4				2,8				3,2								3,6				4,0
										y		1				1,267				1,561				1,874							2,204					2,547
		Задача допускает точное решение y																								x2 5 2 . Таблица значений, найден-
ных по этой формуле с точностью до третьего знака, имеет вид
										х	2		2,4					2,8					3,2						3,6					4
										у	1		1,280					1,583					1,904						2,238					2,582
Для значения						y 4			абсолютная ошибка (погрешность)																											вычисления составляет
0,035, а относительная ошибка – почти 2%.

4.2. Метод Рунге – Кутта

Метод Эйлера легко программируется, но его точность невысока. В первой точке погрешность пропорциональна квадрату шага, в последней точке пропорциональна самому шагу. Для повышения точности в 10 раз, то есть на знак после запятой, приходится уменьшать шаг в 10 раз. Точность можно повысить, применяя метод Рунге – Кутта по следующей схеме.

Шаг 1. Решим задачу Коши методом Эйлера с шагом h1 ; получим значения yk в точках x0 , x1 , , xn , где xk x0 h1k .

68

	Шаг 2. Решим задачу тем же методом с шагом h2 0,5h1 ; получим значения
yk	в точках x0 , x1 , , xm , где xk x0 h2k и m 2n .
	Точки x	с чётными номерами совпадут с точками, полученными при шаге h1 ,
а именно, xk		x2k .
	Шаг 3. Обозначим t0 , t1 , , tn – точки, в которых значения получены дважды,
а значения функции в них обозначим y0 , y1 , , yn								и y0 , y1 , yn ( y0		y0 ).
	Пересчитаем новые приближённые значения в точках t0 , t1 , , tn по формуле
~	yk 2 yk (формула равносильна		~			yk		yk ).
yk			yk yk
	Шаг 4. В ответе указываем таблицу значений							~
								yk в точках tk .
	Замечание. Уточнение подобным методом возможно и при других соотно-
шениях между h1 и h2 , однако при h2			0,5h1			пересчёт наиболее прост.
	Пример.	Решим методом Рунге – Кутта уравнение y 2x 1 при условии
y 0 3 на отрезке 0;5 .
	Решение. Шаг 1. Выбираем n 5, тогда h						5 0		1 .
						1		5
По условию y 0 3, остальные значения находим по формуле (4.6):
	y1 3 1 2 0 1 4;
	y2 4 1 2 1 1 7;
	y3 7 1 2 2 1 12;
	y4 12 1 2 3 1 19;
	y5 19 1 2 4 1 28.
	Шаг 2. Выбираем n 10 , тогда h			5 0		0,5 . По-прежнему y					3 , но теперь
										0
		2	10
точек в 2 раза больше. Находим
	y 0,5 3 0,5 2 0 1 3,5;						y 1,0 3,5 0,5 2 0,5 1 4,5;
	y 1,5 4,5 0,5 2 1 1 6,0;						y 2,0 6,0 0,5 2 1,5 1 8,0;
	y 2,5 8,0 0,5 2 2 1 10,5;						y 3,0 10,5 0,5 2 2,5 1 13,5;
	y 3,5 13,5 0,5 2 3 1 17,0;						y 4,0 17,0 0,5 2 3,5 1 21,0;
	y 4,5 21,0 0,5 2 4 1 25,5;						y 5,0 25,5 0,5 2 4,5 1 30,5.

Шаг 3. В точках x = 1, 2, 3, 4, 5 приближённые значения найдены дважды. Пересчитываем:

69

			~		4 2 4,5 5;
			y1
			~		7 2 8,0 9;
			y2
			~		12 2 13,5 15;
			y3
			~		19 2 21 23;
			y4
			~		28 2 30,5 33.
			y5
Шаг 4. Ответ:
	х	0	1		2		3	4	5
	у	3	5		9		15	23	33
Уравнение имеет точное решение y x2							x 3,	получаемое простым инте-

грированием. Решение, уточнённое методом Рунге – Кутта, совпадает с точным. Заметьте, как при большом шаге результаты вычислений методом Эйлера отличаются от настоящих (точных).

В общем случае метод Рунге – Кутта имеет 2-й порядок точности O h2 и абсолютно точен, если настоящее решение – полином не выше 2-й степени. Уменьшение шага h в 10 раз повышает точность (уменьшает погрешность) в 100 раз, то есть на два десятичных знака.

4.3. Методы "Предиктор-Корректор" 2-го порядка точности

Метод Эйлера дает невысокую точность, а метод Рунге – Кутта не очень удобно программировать. Идея методов "Предиктор-Корректор", часто называемых "Счёт-Пересчёт" – использовать вспомогательные значения функции в точках между соседними узлами отрезка. С геометрической точки зрения при этом происходит движение в направлении касательной к графику искомой функции, но с учётом его выпуклости.

Как обычно, решаем задачу (4.4) на отрезке a; b , где без потери общности

ax0 . Отрезок делим на n равных частей и получаем шаг h b a / n , при этом xk x0 kh .

Способ 1. Пусть найдено приближённое решение								yk в точке xk . На следую-
щем шаге находим вспомогательное значение y* y							k	0,5hf x	, y	k	, тогда значе-
								k
ние в следующей узловой точке находится по формуле
y	k 1	y	k	hf x	k	0,5h; y* .					(4.8)

70

От обозначения							y * можно избавиться,																	подставив y *						в формулу (4.8) для
вычисления yk 1					и получив yk 1 yk hf xk																		0,5h; yk					0,5hf xk ; yk .
Способ 2. Зная приближённое решение																								yk в точке xk , можно найти вспомо-
гательное значение y* y												k	hf x					, y	k	, а значение в следующей точке как
																	k
								y		k 1				y	k		0,5h f x					, y	k	f	x		k 1	, y* .				(4.9)
																					k
Здесь также можно подставить y *																				и получить
						yk 1 yk							0,5h f xk , yk f xk 1 , yk															hf xk , yk .
Пример 1. На отрезке 0;1 с шагом																						h 0,2				решим 1-м способом уравнение
y x2 y 2 при начальном условии y 0 2.
Решение. Имеем							x	0	0, y					0		2,		f x, y x2 y 2 ,								h 0,2 . Находим
								y* y					0	0,5 h x2						y2 2 0,5 0,2 02 22									2 .
																		0		0
Тогда
				y1 y0 h x0										0,5h 2 y* 2								2 0,2 0 0,1 2 22							2,008.
Таким образом, для точки x1 0,2																				нашли приближённое значение y1 2,008.
Далее находим
y	* y		0,5hx		2 y 2 2,008 0,1 0,222,0082 2,0241, поэтому
	1		1		1
y2 y1			h x1 0,5h 2 y* 2										2,008 0,2 0,2 0,1 2 2,02412 2,0817, и т.д.
Удобно вычисления выполнять в таблице
k		xk		yk			0,5hxk				2 y 2						y *				xk 0,5h					xk 0,5h 2					y* 2	yk 1
0		0		2						0							2					0,1						0,01			4	2,008
1		0,2		2,008			0,016 1										2,024 1					0,3						0,09			4,097 1	2,081 7
2		0,4		2,081 7			0,069 3										2,151 1					0,5						0,25			4,627 2	2,313 1
3		0,6		2,313 1			0,192 6										2,505 7					0,7						0,49			6,278 6	2,928 4
4		0,8		2,928 4			0,548 8										3,477 3					0,9						0,81			12,091 3	4,887 2
5		1,0		4,887 2						–							–					–						–			–	–

Решение получено как табличная функция. Точность пропорциональна квадрату шага, то есть величине h2 0,04 , поэтому 1 – 2 последние цифры сомнительные. Ответ желательно округлить до 3 знаков.

Ответ:

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

71