5560
.pdfII. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 4. Пределы функций
«Предел функции» – более общее понятие, чем «значение функции в точке». Не всегда аргумент можно подставить в формулу функции. Так, функция
f x |
sin 2x |
|
не имеет смысла в точке x0 |
0 , но при x |
0 получается |
f x 2 . |
|||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
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|||
Функция |
f x |
cos3x |
не вычисляется в точке x0 |
|
, но при |
x0 |
|
оказыва- |
|||||||||||
cos x |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
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|||||
ется, что f x |
3 . |
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В 1-м случае говорят, что предел в точке 0 равен 2: lim |
sin 2x |
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2 . Во 2-м слу- |
||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
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x 0 |
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||||
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чае предел в точке |
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равен –3: lim |
cos3x |
3 . |
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|||||||
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2 |
cos x |
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||||||||||
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|
x |
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|||
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2 |
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Кроме того, функции не определяются в бесконечности, поскольку такое понятие не выражается числом. Между тем предел в бесконечности находится по
стандартным правилам и нередко достаточно просто. |
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|||||
Например, функция g x |
0,98x x100 при x |
0 вначале быстро возрастает, од- |
|||||
нако при бесконечно большом аргументе стремится к 0: lim 0,98x x100 0 . |
|||||||
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x |
|
Также хорошо известно, что функция f x |
1 |
|
0 |
при x |
. |
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|
x |
||||||
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||
Для работы необходимо вспомнить, что |
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а) функции y xn , y |
a x , y log x, y |
cos x, y |
|
sin x, y |
arcsin x, y arctg x , |
a
где a 0, a 1 , называют основными элементарными;
б) функции, составленные из основных элементарных при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций (взятия функции от функции), называют элементарными.
Если функция f x элементарна, то при вычислении lim f |
x |
, когда x0 – чис- |
x x0 |
|
|
ло, вначале пробуют подставить x0 в функцию f x – найти |
f |
x0 . |
Если результат получается, как обычное значение функции – это и есть ответ. Если функция неэлементарна или при подстановке возникает неопределён-
ность |
0 |
, 00 |
, 1 |
, применяют разные правила и схемы вычисления пределов. |
|
0 |
|||||
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16
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Предел дробно-рациональной функции в точке |
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Пусть даны точка x |
|
и функция |
f |
x |
Pn |
x |
|
, где P x |
a |
|
a x |
a |
xn |
и |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
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|
Qm |
x |
|
|
n |
|
1 |
n |
|
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|||
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|||
Q x |
|
b |
b x |
|
b xm |
|
– некоторые многочлены. Надо найти lim f |
x . |
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||||||||||||||||||||||
m |
|
0 |
1 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
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|
|
x |
x0 |
|
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||
Найдём Pn |
x0 |
|
и Qm |
x0 |
|
. Полученные числа обозначим соответственно P и Q. |
||||||||||||||||||||||||||
Возможны 4 случая: |
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|||||||
1) P |
|
0,Q |
0 , тогда lim f |
x |
|
P |
|
– это обычное число (не обязательно целое); |
||||||||||||||||||||||||
|
|
Q |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x0 |
|
|
|
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|||||
2) |
P |
|
0,Q |
0 , тогда lim f |
x |
0 |
|
|
0 |
; |
|
|
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|
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|
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|||||||||
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|
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|
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|
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|
||||||||||||||
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x0 |
|
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||||||
3) |
P |
|
0,Q |
0 , тогда lim f |
x |
|
|
P |
|
; |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
x |
|
x0 |
|
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||||||
4) P |
|
0,Q |
0 , тогда Pn x0 |
и Qm x0 |
раскладываются на скобки так, что |
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f |
x |
|
Pn x |
|
|
|
x x0 Rn 1 |
x |
|
|
Rn 1 |
x |
для всех x |
|
x0 |
, |
|
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|||||||||
|
|
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|
|
Qm |
x |
|
|
x x0 Sm 1 x |
|
Sm 1 x |
|
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|||||||||||||||||
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||||||||||||||||
где Rn 1 x , Sm 1 |
x |
|
– какие-то многочлены (полиномы). Находим Rn 1 x0 |
и Sm 1 x0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
и приходим к одному из случаев 1, 2 или 3. |
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||||||||||||||||||||
Проще говоря, |
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–в 1-м и 2-м случаях предел равен значению функции в точке;
–в 3-м не равен конкретному числу и обозначается символом бесконечности;
–в 4-м случае надо разложить числитель и знаменатель на скобки, сократить одинаковые и подставить число x0 заново.
ПР1. Найдите пределы простой подстановкой:
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|
lim x2 ; |
б) lim 3x4 ; |
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1 |
|
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|
г) lim x2 3 ; |
|
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||||||||||||
1) |
а) |
в) |
lim |
|
; |
д) |
lim 2 x ; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
x |
0,5 |
|
x |
x 0 |
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||
2) |
а) limsin x ; |
б) limsin 2x ; |
в) lim cos x ; |
г) lim cos4x ; |
д) |
lim tg x ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
0 |
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
3) |
а) |
lim 2 x ; |
б) lim 3x ; |
в) |
lim 9x ; |
г) lim 2 x ; |
д) lim 5 2 x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
0 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
x |
1 |
|
|
|
||||||
|
Пример 1. Подстановкой можно найти, что |
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||||||||||||||||||||||
|
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|
а) lim 4x3 |
4 |
2 3 4 |
8 |
|
|
|
32; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
|
|
|
б) lim sin 2x |
sin 2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
в) lim 2 |
2 x 2 |
2 3 2 |
6 1 |
|
1 |
. |
||
|
|
6 |
|
|||||
x 3 |
|
|
2 |
64 |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ПР2. Найдите пределы, подставив точку x0 в функцию f x :
1) |
а) |
lim |
x |
2 |
; |
|
|
|
б) lim |
x |
2 |
; |
|
|
в) lim x |
2 ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
x 3 |
|
|
|
x 1 |
x 3 |
|
|
|
|
x 1 |
x 2 |
|
|
|||||||||||||||
2) |
а) |
lim |
|
x2 |
2 |
; |
|
|
б) lim |
x |
2 |
|
2 |
; |
в) lim |
x2 |
2 |
|
; |
||||||||||||
|
x2 |
1 |
|
|
x2 |
1 |
x 1 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
||||||||||||||||||||
3) |
а) lim |
|
|
3x |
2 |
; |
|
|
б) lim |
|
3x |
2 |
|
; |
|
в) lim |
2x |
3 |
; |
||||||||||||
|
|
2x 1 |
|
|
|
2x 1 |
|
4x 2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||||||||||||||
4) |
а) lim |
|
|
x2 |
4x |
1 |
|
; б) lim |
|
x2 |
|
4x |
1 |
; |
|
в) |
|
lim |
|||||||||||||
|
|
x2 |
2x 3 |
|
x2 |
|
2x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||||||||||
5) |
а) |
lim |
1 |
sin x |
; |
|
б) |
lim |
1 |
|
|
2 sin x |
; |
|
в) |
|
lim |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
1 |
cos x |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
2 cos x |
|
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
Пример 2. Так же, как в примере 1,
г) lim |
x |
2 |
; |
д) lim |
x |
3 |
; |
|
x |
3 |
x |
1 |
|||||
x 1 |
|
x 2 |
|
г) |
lim |
|
x |
|
2 |
||
|
x |
|
1 |
||||
|
x |
1 |
|
|
|||
г) lim |
4x |
|
3 |
||||
2x |
|
1 |
|
||||
|
x |
0 |
|
|
|||
x2 |
|
4x |
4 |
; |
|
||
x2 |
|
2x |
3 |
|
|||
|
|
|
|||||
1 |
sin 2x |
; |
|
|
|||
1 |
cos4x |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||
; |
д) |
lim |
|
|
; |
|||||
x2 |
1 |
|||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|||||
; |
д) |
lim |
|
4x |
2 |
; |
||||
|
2x |
3 |
||||||||
|
|
x |
1 |
|
|
|||||
г) |
lim |
3x2 |
x |
|
; |
|
|
|||
4x2 |
3 |
|
|
|||||||
|
x 2 |
|
|
|
г) lim 1 2 sin 3x .
x
4
а) |
lim |
|
x |
|
|
6 |
|
|
5 |
6 |
|
|
11 |
|
|
3,667 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
2 |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) |
lim |
2x2 |
|
|
|
5x 9 2 22 |
5 2 9 8 10 9 9 |
|
|
0,9 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3x2 |
|
|
|
4x 6 3 22 |
4 2 6 12 8 6 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3 4 sin 2 |
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3 |
4 sin |
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3 |
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4 |
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3 |
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3 |
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4 sin 2x |
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6 |
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3 |
2 |
3 |
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5 |
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3 |
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в) |
lim |
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3 |
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2 |
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(не |
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!) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
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2 cos6x |
5 |
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2 cos |
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5 |
2 cos |
|
5 |
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2 |
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1 |
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7 |
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7 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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||
ПР3. Подставив точку x0 |
в функцию |
f x , проверьте, что пределы равны 0: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) lim |
|
3x |
|
|
; |
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б) lim |
|
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x |
1 |
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; |
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в) |
lim |
x |
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|
2 |
|
; |
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г) lim |
3x |
2 |
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; |
д) |
lim |
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4x 3 |
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x 1 |
|
4x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
2x 1 |
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x 1 |
|
2x 1 |
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x 2 2x 5 |
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x |
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|
2 |
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x |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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4 |
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2) а) lim |
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sin x |
; |
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б) lim |
cos x |
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; |
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в) |
lim |
sin 2x |
|
; |
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г) lim |
cos3x |
; |
д) lim |
|
tg 2x |
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x |
2 |
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cos4x |
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|
sin x |
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x 0 |
x |
1 |
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|
x |
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|
x |
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x |
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x |
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0 cos3x |
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2 |
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2 |
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6 |
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||||||||||
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ex |
1 |
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1 e 2 x |
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ln 1 x |
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ln x |
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ln x |
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3) а) lim |
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; |
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б) lim |
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в) |
lim |
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г) lim |
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; |
д) lim |
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; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x 2 |
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e 2 x |
|
x 2 |
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x2 |
1 |
ln 2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
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x 0 |
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x 0 |
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x 1 |
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x 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) а) lim |
|
3x2 |
|
; |
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|
б) lim |
|
|
x2 |
2x 3 |
; |
|
в) |
lim |
|
x2 |
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|
3x 2 |
; |
|
|
|
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|
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г) |
|
lim |
x2 |
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|
3x |
|
; |
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x2 |
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x 0 |
2x2 |
1 |
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x 1 |
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2x 1 |
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x 2 |
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x 1 |
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x |
3 |
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x2 |
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x 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) а) lim |
3x2 |
|
2x |
; |
б) lim |
|
3x2 |
|
|
|
2x 1 |
; |
|
в) |
lim |
|
2x2 |
|
|
5x 2 |
; |
|
|
|
|
|
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|
г) |
|
lim |
|
x2 |
|
|
|
7x 8 |
|
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 |
1 |
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x2 |
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|
|
x 2 |
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3x2 |
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x 3 |
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3x2 |
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|
x 5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
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x 1 |
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x |
2 |
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x |
1 |
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18
Пример 3. Простая подстановка показывает, что
а) |
|
lim |
|
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5x |
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5 0 |
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0 |
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0 |
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0 ; |
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|||||||||||||||||
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x 0 |
2x 1 2 0 1 0 1 |
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1 |
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б) |
|
lim |
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e2 x |
cos3x |
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e2 0 |
|
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cos 3 0 |
|
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|
e0 |
cos0 |
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1 |
1 |
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0 |
|
|
0 ; |
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|||||||
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3x |
2 |
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3 0 |
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2 |
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0 |
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2 |
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2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
0 |
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||
в) |
|
lim |
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ln 7 |
|
|
2x |
|
|
|
ln 7 |
2 |
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|
3 |
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|
|
|
ln1 |
0 |
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0 ; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
5 |
|
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|
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|
3 3 |
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|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
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|
3x |
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г) |
|
lim |
|
2x2 |
|
|
5x 12 2 |
|
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|
4 |
2 |
5 4 12 32 20 12 0 |
|
|
|
0 . |
|
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||||||
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3x2 |
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2x 5 |
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3 4 |
2 |
2 |
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4 5 |
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48 8 5 |
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61 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПР4. Проверьте, что указанные пределы равны бесконечности: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) lim |
|
x |
2 |
; |
|
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|
б) |
|
lim |
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
в) lim |
|
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|
x |
|
|
2 |
|
; |
|
|
г) lim |
|
x |
3 |
|
; |
|
|
|
д) |
lim |
|
|
6x |
|
2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
x 3 |
|
|
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|
x |
2 |
x 2 |
|
|
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|
x 4 |
|
2x 8 |
|
|
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|
x |
2 |
|
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|
5x 2 |
|
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|
x |
|
4 |
|
|
3x 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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5 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||
2) а) lim |
|
x |
2 |
|
; |
|
|
б) |
|
lim |
3x |
2 |
; |
|
|
в) lim |
|
|
|
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|
4x |
|
|
|
; |
|
|
г) |
lim |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
; |
д) |
lim |
|
2 |
|
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
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9 |
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x3 |
8 |
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x3 |
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x |
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x3 |
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x2 |
1 x3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
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x |
2 |
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x 1 |
|
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x |
1 |
|
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|
|
x 1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) а) lim |
|
ln x |
|
; |
|
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|
б) lim |
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
ln x |
|
; |
|
|
|
|
г) lim |
|
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x |
3 |
; |
|
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|
д) |
lim |
|
|
|
e |
x |
|
|
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|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
ex |
|
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1 e x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
|
x 3 |
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x 1 |
ln x |
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|
x |
1 |
|
|
ln 2x |
|
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x 0 |
1 |
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|
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|
x 0 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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|||
4) а) lim |
x |
2 |
; |
|
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б) lim |
2x |
; |
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
sin x |
|
; |
|
|
г) lim |
cos2x |
|
; |
|
|
д) |
lim |
|
|
|
tg x |
. |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
|
|
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|
|
cos3x |
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|
|
x |
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|
cos5x |
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|
|
x |
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|
|
cos4x |
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|
6 |
|
|
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|
2 |
|
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|
2 |
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||||||
Пример 4. Поскольку знаменатель равен 0, то |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) lim |
|
5x |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
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|
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15 |
3 |
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|
12 |
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|
|
; |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
27 |
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
27 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
3 |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) lim |
ln 2x |
|
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ln 2 1 |
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ln 2 |
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ln 2 |
0 |
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|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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ln1 |
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0 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
1 |
|
|
|
ln x |
|
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|||||||||||
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sin 3 |
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|
sin |
3 |
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|||||||||
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sin3x |
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4 |
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|
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|
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|
|
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|
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|
2 / 2 |
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|||||||||||||||||||||||
в) |
|
lim |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
4 |
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|
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|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2x |
|
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|
0 |
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|
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|
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||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
|
cos 2 |
|
|
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|
|
|
|
cos |
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
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4 |
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2 |
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|||||||||||||
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4 |
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|||||||||||||||||||
ПР5. |
|
Раскройте |
неопределённость |
|
0 |
|
|
|
, |
|
|
разложив |
|
дробь |
|
на |
множители- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||
скобки и сократив одинаковые скобки в числителе и в знаменателе: |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) а) lim |
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x 1 |
|
; |
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б) |
|
lim |
x 1 |
|
; |
|
|
|
в) |
lim |
|
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x2 |
|
|
4 |
|
; |
|
|
г) |
lim |
|
x2 |
|
9 |
|
; |
|
д) |
lim |
|
|
3x 1 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
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x2 |
|
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|
|
|
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9x2 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
|
|
|
|
2) а) lim |
|
x3 |
|
|
|
1 |
; |
|
|
б) lim |
x 1 |
; |
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
x 2 |
; |
|
|
г) |
lim |
|
x 2 |
; |
|
|
д) |
lim |
|
|
2x 1 |
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
8x3 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
3) а) lim |
x3 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
б) |
|
lim |
x3 |
8 |
|
; |
|
в) |
lim |
x4 |
16 |
; |
|
г) |
lim |
|
x4 |
81 |
|
; |
|
д) lim |
|
|
2x 1 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
4 |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
27 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
16x |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) а) lim |
|
x2 |
x |
; |
|
|
|
|
|
б) |
|
lim |
|
2x 2 |
|
|
; |
в) |
lim |
x4 |
4x2 |
|
; г) |
lim |
|
x4 |
|
9x2 |
|
; |
|
д) lim |
|
|
x |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x2 |
x3 |
4x |
|
|
x3 |
|
3x2 |
|
|
|
x3 |
|
x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 1. Вам понадобятся формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
a3 |
|
x a x2 |
|
|
|
ax a2 ; x3 |
a3 |
|
|
x a x2 |
|
ax a 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
a 4 |
x2 |
a 2 x2 |
a 2 |
|
|
|
x a x a x2 |
a 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма квадратов x2 |
|
a2 на действительные множители не раскладывается. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 5. lim |
|
10x |
|
2 |
|
|
|
10 |
|
|
1/ 5 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
0 |
|
lim |
|
10x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
25x2 |
1 |
|
25 1/ 5 2 |
1 1 1 |
|
|
0 |
|
5x 1 5x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
2 5x |
1 |
|
|
|
|
|
lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
5x 1 5x 1 |
|
|
5x 1 5 1/ 5 1 1 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Также можно было вынести за скобки числа 10 и 25 и сократить на |
x |
|
1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
5 |
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|
Замечание 2. Обратите внимание, что попытка подставить число в первоначальную дробь берётся в скобки как приводящая к неопределённости (также заключаемой в скобки). Этим подчёркивается, что арифметическое выражение, взятое в скобки, не имеет смысла и потому не равно самому пределу. В то время как предел равен конкретному числу, что и выясняется при решении.
Замечание 3. Скобки при появлении необычных ситуаций ставят, чтобы отличать последние от бессмысленных выражений. Например,
0 |
– деление одной бесконечно малой величины на другую; |
|
|
||
0 |
||
|
||
1 |
– деление числа 1 на бесконечно малую величину; |
|
|
||
0 |
||
|
0 и 1 – действия или величины, противоречащие основам математики.
0 0
Пример 6. lim |
x3 |
8 |
|
|
23 |
8 |
|
|
0 |
|
lim |
|
x 2 x2 |
2x 4 |
|
|
||||||||
x4 16 |
24 |
16 |
0 |
|
|
x2 |
4 x2 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
x 2 x2 |
2x 4 |
|
lim |
|
x2 |
2x 4 |
|
|
22 |
2 2 4 |
|
12 3 |
0,375 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 x 2 x2 |
4 |
|
|
x 2 x2 |
4 |
|
|
2 2 22 |
4 |
|
32 8 |
|||||||||||||
x 2 |
|
x 2 |
|
|
|
20
Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями
В случае неопределённости |
0 |
|
|
следует разложить квадратичное выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||
на множители. Для этого можно |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
а) воспользоваться тождеством |
ax2 |
bx |
|
|
c |
a x |
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
, |
где |
x |
и |
x |
2 |
– |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
корни уравнения ax2 |
bx |
c |
|
|
0, найденные по формуле |
x |
|
|
|
b |
|
|
|
b2 |
4ac |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|||||
б) учесть, что, когда ax2 |
|
bx |
c |
0 , то |
x |
0 |
– один из корней, и другой корень |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||
x2 можно найти по теореме Виета, например, из равенства x0 x2 |
|
q , где q |
c / a ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) применить равенство ax2 |
|
bx |
c |
|
|
|
x |
x |
0 |
|
|
ax |
|
|
d |
, где d |
|
c / x |
0 |
. |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 7. lim |
2x2 |
|
3x |
1 |
|
|
|
|
2 12 |
3 1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim |
2 x |
1 |
|
x |
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 |
|
4x 7 |
|
|
|
3 12 |
4 1 7 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 x 1 x 7 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2 x |
1/ 2 |
|
|
lim |
2x |
|
1 |
|
2 1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 x 7 / 3 |
3x 7 3 1 7 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(решили уравнения 2x2 |
|
3x |
1 |
|
0 и 3x2 |
4x |
|
|
7 |
|
|
|
0 и применили 1-й способ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 8. lim |
|
4x2 |
|
3x |
10 |
|
4 |
22 |
3 2 |
|
10 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim |
4 x |
2 |
|
|
x |
1,25 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
5x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
5 1 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 x |
1,25 |
|
|
lim |
4x |
5 |
4 2 |
|
|
|
5 |
|
|
13 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В уравнении 4x2 |
3x |
10 |
|
|
0 свободный коэффициент –10 разделили на ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
эффициент, стоящий перед x2 |
(число 4). Результат разделили на известный ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рень 2. Получили 2-й корень x2 |
2,5 / 2 |
|
1,25 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Затем в уравнении x2 |
5x |
6 |
|
|
|
|
0 нашли 2-й корень из условия 2x |
|
6 , где 2 – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
известный корень, а 6 – свободный коэффициент (Теорема Виета). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 9. |
lim |
|
3x2 |
|
10x 3 |
|
|
3 |
|
3 2 |
10 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5x2 |
|
8x 21 |
5 |
|
3 2 |
8 |
|
|
3 21 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
x |
3 3x |
3 / 3 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3x |
1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
x |
3 5x |
21/ 3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
5x |
7 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Скобка x 3 |
получена как x |
x0 |
|
x |
|
|
|
|
3 , а остальные найдены 3-м способом. |
21
ПР6. Раскройте неопределённость |
0 |
, разложив дробь на множители: |
|
0 |
|||
|
|
1) а) |
lim |
x2 |
|
3x |
2 |
; |
б) |
|
x |
2 |
x |
|
|||||
|
x |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
2) а) |
lim |
x2 |
|
3x |
2 |
; |
б) |
|
x2 |
|
x |
2 |
|||||
|
x |
1 |
|
|
|
|||
3) а) |
lim |
3x2 |
|
x |
4 |
; |
б) |
|
2x2 |
|
x |
1 |
|||||
|
x |
1 |
|
|
|
lim |
x2 |
|
3x |
4 |
; |
|
в) |
|||
x |
2 |
|
4x |
|
|
|||||
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
x2 |
|
6x |
8 |
|
; |
|
в) |
||
x2 |
|
3x |
2 |
|
|
|||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
||||
lim |
2x2 |
|
x |
10 |
; |
в) |
||||
0,5x |
2 |
x |
|
|
||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 |
3x |
4 |
; |
|
г) |
lim |
x2 |
9 |
|
; |
||||||
x2 |
x |
|
|
x2 |
x 6 |
||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|||||||
lim |
x2 |
4x |
4 |
|
; |
г) |
lim |
x2 |
3x |
4 |
; |
||||||
x2 |
5x 14 |
x2 |
2x 1 |
||||||||||||||
x |
2 |
|
|
x 1 |
|
|
|||||||||||
lim |
3x2 |
5x 2 |
; |
г) lim |
5x x2 |
6 |
|
; |
|||||||||
2x2 |
x 6 |
3 x2 |
2x |
||||||||||||||
x |
2 |
|
x 3 |
|
4) а) |
lim |
x3 |
|
3x2 |
2x |
; |
б) |
lim |
|
x4 |
|
4x |
2 3 |
; |
в) lim |
2x2 |
x3 |
x |
; |
г) |
lim |
|
x3 |
|
2x |
. |
|||||||||||||||
|
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
x3 |
|
x2 |
|
|
x2 |
x3 |
|
x4 |
2x2 |
|||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 10. |
lim |
x4 |
x2 12 |
|
16 4 12 |
|
0 |
|
|
lim |
|
x2 |
3 x2 |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 8 |
|
0 |
|
|
|
x 2 x2 |
|
2x 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
lim |
x2 |
3 x 2 x 2 |
|
|
|
lim |
|
x2 |
|
3 x 2 |
|
4 3 2 2 |
|
|
28 |
7 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
x 2 x |
2 |
|
2x 4 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
2x 4 |
|
4 2 2 4 |
|
|
12 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел дробно-рациональной функции в бесконечности
Пусть дана функция f |
x |
|
|
|
Pn |
x |
|
(см. стр. 16) и надо найти lim f |
x |
. Оказы- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Qm |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вается, при x |
|
вся дробь ведёт себя так, как отношение старших степеней: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x |
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
a x a |
n |
xn |
|
a |
n |
xn |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q x |
|
|
|
|
b b x b xm |
|
b xm |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P x |
|
|
a |
|
xn |
|
a |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда lim |
n |
lim |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
lim |
|
|
|
|
. Обозначим |
A |
|
|
|
. Возможны 3 случая: |
|||||||||||||||||
Q x |
b xm |
|
b |
|
xm |
|
|
|
b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||
1) n |
m , тогда |
A lim |
xn |
|
|
|
A lim |
|
1 |
|
|
A |
1 |
|
|
A 0 |
0 , где k |
0 ( k |
m |
n ); |
||||||||||||||||||||||||
x |
m |
|
|
|
x |
k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) n |
m , тогда A lim |
xn |
|
|
|
A lim xk |
|
A |
|
|
, где k |
|
|
0 ( k n |
m ); |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
m |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) n |
m , тогда |
A lim |
|
|
xn |
|
|
|
A lim1 |
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, предел равен а) бесконечности, если степень числителя больше, чем степень знаменателя;
б) 0 в противоположном случае; в) отношению старших коэффициентов, если степени равны.
22
ПР7. Найдите пределы
1) |
а) |
lim |
3x |
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
б) |
lim |
4x |
|
7 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
3 |
|
|
|
|
7x |
; |
|
|
|
г) |
|
lim |
0,001x |
; |
|
|
д) |
lim |
|
|
|
|
3x |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
100 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2) |
а) |
lim |
3x2 |
1 |
; |
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б) |
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lim |
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4x4 |
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7 |
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; |
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в) |
lim |
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3 |
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7x |
4 |
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г) |
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lim |
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0,001x |
5 |
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; |
д) |
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lim |
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3x5 |
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x |
2x |
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1 |
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x |
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3x |
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5 |
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x |
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2x |
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3 |
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x |
x |
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1 |
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x |
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x |
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100 |
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3x2 |
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x |
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x3 |
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7x |
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3x |
4 |
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x6 |
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x4 |
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x2 |
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0,1x4 |
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3) |
а) |
lim |
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; б) |
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lim |
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lim |
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г) |
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lim |
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д) |
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lim |
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; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2x x |
3 |
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|
x |
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|
x |
2 |
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5x |
4 |
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|
x |
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2x |
5 |
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3x |
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x |
10x |
3 |
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|
x |
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10x |
3 |
x |
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ПР8. Найдите пределы |
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1) |
а) |
lim |
3x2 |
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5x 3 |
|
; |
|
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б) |
|
lim |
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|
3x3 |
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|
5x 3 |
|
; |
|
|
|
|
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|
|
в) |
lim |
|
3x2 |
|
5x 3 |
|
|
; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
2 |
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|
6x 7 |
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2x |
2 |
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|
|
6x 7 |
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|
|
2x |
2 |
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6x |
4 |
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7 |
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|
|
x |
|
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x |
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x |
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2) |
а) |
lim |
5x2 |
|
7x 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
б) |
|
lim |
|
5x2 |
|
|
|
|
7x4 |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
5x2 |
7x4 |
|
2 |
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|
|
; |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x |
3 |
|
|
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6x |
2 |
1 |
|
|
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3x |
3 |
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6x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
3x |
3 |
|
|
|
6x |
2 |
|
x |
5 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
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x |
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x |
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|||||
3) |
а) |
lim |
3x4 |
|
1000x |
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
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б) |
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lim |
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|
3x4 |
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|
x5 |
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|
3000 |
; |
|
|
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|
в) |
lim |
|
3x4 |
1000x5 |
|
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|
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0,001x |
4 |
|
|
|
6x |
|
|
|
|
5 |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
0,001x |
4 |
|
|
|
|
6x |
|
5 |
|
|
|
|
|
0,001x |
6 |
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6x |
5 |
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|
|
|
5 |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
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x |
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x |
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|||||
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Пример 11. Оставив в числителе и в знаменателе старшие степени, находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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а) |
lim |
|
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6x |
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7 |
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lim |
6x |
|
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|
lim |
6 |
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|
6 |
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1,5 ; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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4x |
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50 |
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|
4x |
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4 |
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4 |
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x |
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x |
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x |
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б) |
lim |
6x2 |
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7 |
|
|
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|
lim |
|
6x2 |
|
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|
lim |
6x |
|
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|
6 |
|
lim x |
|
1,5 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
4x 50 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
4 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
lim |
6x2 |
|
|
|
7x3 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
7x3 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
lim |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
1,4 lim |
1 |
|
|
1,4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
0 |
|
0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x 5x4 |
|
|
|
|
|
|
|
5x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 12. Оставив старшие степени, видим, что |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
а) |
lim |
|
|
3x3 |
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
lim |
|
3x3 |
|
|
|
|
3 |
|
lim |
|
|
x3 |
|
|
|
|
0,75lim x |
0,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
6x 7 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
б) |
lim |
3x3 |
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
lim |
|
x3 |
|
|
|
|
|
0,5 lim1 |
|
|
|
0,5 1 |
|
|
0,5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4x2 |
|
|
|
6x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
lim |
|
3x3 |
|
5x4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
5x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
lim |
|
x4 |
|
|
|
5 |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
0 |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4x2 |
|
|
|
6x3 |
|
|
|
7x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
|
|
|
|
7 x |
x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание, что знак бесконечности (если таковая получается) в ответе не указывается. Тем не менее, если обе старшие степени – чётные (или если обе нечётные), очевидно, их отношение всегда положительно, что можно учесть.
ПР9. Найдите пределы функций fk xв точках x1 0 , x2 1, x3 1, x4 2 ,
x5 |
2 , а также при x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2x2 |
4x 3 |
|
|
|
3x2 |
7x 6 |
|
|
6x2 |
x 1 |
|
|
2x2 |
3x 1 |
|||
f1 x |
|
|
|
|
; f2 |
x |
|
|
|
|
; f3 |
x |
|
|
; f4 |
x |
|
|
. |
|
x2 |
2x 5 |
|
4x2 |
2x 5 |
3x2 |
5x 4 |
3x2 |
5x 7 |
23
Пределы иррациональных функций
Если функция содержит корень, подставляем, как обычно, предельную точку.
Сложности связаны с неопределённостью |
0 |
, когда приходится умножать чис- |
|
0 |
|||
|
|
литель и знаменатель на сопряжённое выражение.
Выражения сопряжены относительно разности квадратов, если их произ-
ведение превращается в разность квадратов по формуле a |
|
b a |
|
b |
|
a 2 |
|
b2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
Примеры сопряжённых выражений |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 сопряжено с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , при этом |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
22 |
|
|
|
4 ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
сопряжено с 3 |
|
|
|
|
x , и тогда |
3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
9 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 сопряжено с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 , поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 16 x 17 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 4 x 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причём под корнем всё остаётся без изменений; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 сопряжено с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 45 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3x 7 4 3x 7 |
|
|
|
|
|
4 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3x 49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПР10. Найдите пределы иррациональных функций простой подстановкой: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1) а) lim |
|
|
x |
6 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
г) lim |
|
|
|
|
2x |
5 |
|
|
|
|
3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 |
|
3x 11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2) а) lim |
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x |
4 |
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2 |
; |
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б) lim |
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x |
4 |
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; |
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в) |
lim |
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; |
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г) lim |
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x |
2 |
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; |
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x |
2 |
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x |
0 |
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x |
4 |
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x |
3 |
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x |
9 |
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x |
3 |
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x |
7 |
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x |
5 |
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2 |
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x2 |
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3) а) lim |
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x 3 x |
; |
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б) lim |
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x 1 2 |
; |
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в) |
lim |
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2x 3 1 |
; |
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г) lim |
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x 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
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x 2 |
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x |
8 |
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x 4 3 |
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x |
6 |
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x 3 2 |
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x |
3 |
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x 13 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
4) а) lim |
3 x 2 |
|
; |
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б) lim |
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|
3 x 2 |
; |
|
|
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|
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|
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в) |
lim |
3 x 2 x |
|
; |
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г) lim 5 |
|
5x 2 |
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. |
|
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2x 11 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 27 |
|
|
3x 1 |
|
|
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|
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x 8 |
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|
3x 1 |
|
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|
x |
|
|
|
1 3 x2 |
1 |
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|
x 6 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 13. Подставив указанные точки, находим значения |
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
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2x 2 5 |
2 7 2 5 |
|
16 5 4 5 9 |
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3 |
; |
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2 |
1 |
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3 |
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||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
x |
|
|
3 |
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
x 7 |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3x |
2 |
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3 2 |
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2 |
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8 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
б) |
lim 3 |
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3 |
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|
|
|
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|
3 |
|
|
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3 1 |
|
1. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5x |
2 |
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|
2 |
|
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|
8 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 2 |
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5 2 |
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24
ПР11. Раскройте неопределённость 00 , умножив числитель и знаменатель дроби на подходящее сопряжённое выражение и сократив одинаковые скобки:
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x |
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2 |
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||||
1) |
а) |
lim |
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; |
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б) |
|
lim |
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x |
3 |
|
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1 |
; |
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в) |
|
lim |
|
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x |
3 |
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|
2 |
|
; |
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г) |
|
|
lim |
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x |
2 |
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; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 4 |
|
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|
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|
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x 4 |
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x 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 4 |
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|
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|
x 4 |
|
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|
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x 1 |
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x |
2 |
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x 6 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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||||
2) |
а) |
lim |
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3x |
6 |
; |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
б) |
|
lim |
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|
2x |
3 |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
в) |
|
lim |
|
|
|
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4x |
1 |
3 |
|
; |
|
|
|
|
г) |
|
|
lim |
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x |
2 |
|
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|
|
|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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3x 6 |
|
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5x 10 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x 12 |
2x 24 |
|
|
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|
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|
|
x 2 |
|
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|
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|
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|
x 2 |
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|
|
|
|
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|
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x |
2 |
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1 3x 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||
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|
|
|
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|
|
|
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|
x2 |
|
|
|
3 2 |
|
|
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|
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|
|
|
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|
x2 |
|
3x |
|
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||||||||||||||||||||||||||
3) |
а) |
lim |
|
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|
x 2 |
|
; |
|
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|
|
|
|
|
|
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б) |
|
lim |
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x 3 1 |
; |
|
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|
в) |
|
lim |
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|
; |
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г) |
|
|
lim |
|
|
|
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|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
4x |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
3x 3 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
5 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||
4) |
а) |
lim |
|
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3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
2x |
3 |
|
|
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|
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|
|
|
x |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
2x |
|
|
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|
4 |
|
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||
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г) |
lim |
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x 2 |
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
д) |
|
lim |
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3x |
6 |
|
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|
|
|
; |
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|
|
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|
|
|
е) |
lim |
|
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|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
|
3x 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2x 8 |
|
|
|
|
3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример 14. lim |
|
|
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|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 x 3 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 x |
|
|
|
|
|
|
|
9 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
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|
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x 9 |
|
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x 9 |
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|
9 x |
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x 3 |
|
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x 9 9 x |
|
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|
x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
lim |
|
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|
x |
|
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|
9 |
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|
lim |
|
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|
1 |
|
|
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|
|
|
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|
1 |
|
|
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|
|
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|
|
1 |
|
|
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|
|
|
|
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|
1 |
|
0,167 . |
|
|
|
|
|
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3 3 |
|
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6 |
|
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x 9 x 3 |
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|
x 3 |
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|
9 3 |
|
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x 9 |
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x |
9 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 15. lim |
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|
2x 1 3 |
|
|
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|
|
2 4 1 3 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2x 1 3 2x 1 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
3x 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 12 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
0 |
|
|
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3x 12 2x 1 3 |
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|
x 4 |
|
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x |
4 |
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|
2 |
|
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32 |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
lim |
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|
2x 1 |
|
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|
lim |
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2x 1 9 |
|
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|
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|
|
lim |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
2x 8 |
|
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|||||||||||||||||||||
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|
3x 12 2x 1 3 |
|
|
|
|
3x 12 2x 1 3 |
|
|
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|
|
3x 12 2x 1 3 |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 4 |
|
|
|
x 4 |
|
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|
|
|
|
x 4 |
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
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|
|
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|
|
2 x |
4 |
|
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|
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|
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|
|
|
|
lim |
|
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|
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|
2 |
|
|
|
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2 |
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|
2 |
|
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1 |
|
0,111. |
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|
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x 4 3 x 4 2x 1 3 |
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x 4 3 2x 1 3 3 2 4 1 3 3 3 3 9 |
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Пример 16. |
lim |
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6x |
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lim |
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11 |
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x 1 |
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