Функции комплексного переменного и операционное исчисление
..pdf
|
б) Точка z0 |
2i лежит внутри области, ограниченной кри- |
||||||||||||||||||||||
вой L. Функция |
f (z) z2 1 |
аналитическая внутри круга |
|
z |
|
3 . |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
Из интегральной формулы Коши имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
f (z)dz |
dz |
2 if (z ) , |
|
z2 1 |
dz 2 i(z |
2 |
1) |
|
z 2i |
10 i . |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
z z |
|
z |
2i |
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
L |
|
|
|
z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
z ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 1.14. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(z i)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Функция |
|
f (z) z ez |
– |
||||||||||
круга |
|
z |
|
2 , точка |
z i |
лежит внутри |
||||||||
|
|
|||||||||||||
мулу для производной: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
2 i |
( i) ie |
z |
|
|
||
|
|
|
|
dz |
2! f |
|
(2 |
z) |
||||||
z |
|
(z i)3 |
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитическая внутри круга. Применим фор-
z i ie i (2 i)
(cos1 i sin1)(1 2i) (cos1 2sin1) i(2cos1 sin1)
6,9847 0,7512i .
1.6. Ряды Тейлора и Лорана
Если функция f (z) аналитична в некоторой точке z0 , то в окрестностиэтой точкиона может бытьразложена в рядТейлора:
|
|
|
f (z) f (z0 ) f (z0 )(z z0 ) |
|
|
|
|
|||||
|
f (z |
0 |
) |
(z z0 )2 |
f (n) (z |
0 |
) |
(z z0 )n |
|
|
|
|
2! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Область сходимости ряда Тейлора есть круг |
|
z z0 |
|
R , ра- |
||||||||
|
|
|||||||||||
диус которого равен расстоянию от точки z0 |
до ближайшей |
особой точки функции f (z) (точки, в которой нарушается аналитичность функции f (z) ).
21
Если функция f (z) аналитична в кольце r z z0 R , то она в этом кольце разлагается в ряд Лорана:
где
а
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) Cn (z z0 )n , |
|
||||
|
|
|
n |
|
|
||
Cn |
1 |
|
f (z)dz |
, n 0, 1, |
2, , |
||
2 i |
(z z |
0 |
)n 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
– окружность z z0 , r R . Ряд Лорана состоит из двух рядов:
|
|
|
|
|
C n |
|
|
Cn (z z0 ) |
n |
Cn (z z0 ) |
n |
|
|
. |
|
|
|
(z z0 ) |
n |
||||
n |
|
n 0 |
|
n 1 |
|
|
Ряд, состоящий из неотрицательных степеней ряда Лорана,
называется правильной частью ряда Лорана. Ряд, содержащий отрицательные степени ряда Лорана, называется главной ча-
стью ряда Лорана.
Ряд Лорана функции, аналитической в кольце r z z0 R ,
сходитсяабсолютновэтом кольце.
Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций.
Пример 1.15. Найти все различные разложения по степеням z функции
|
|
|
f (z) |
z |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 3z 2 |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (z) |
z |
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
аналитична |
||
z2 3z 2 |
(z 1)(z 2) |
z |
1 |
z 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
на плоскости z, за исключением точек z 1 и z 2 . Она аналитична в областях:
22
а) |
|
z |
|
1 ; б) 1 |
|
z |
|
|
2 ; в) |
|
z |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
В круге |
|
|
|
z |
|
1 |
|
(рис. |
1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем: |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
z 1 |
1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|||||||||||||||||||
z2 zn , |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Обе дроби можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
Находим сумму полученных рядов. После проведенных преобразований получаем следующий ряд Тейлора:
|
|
|
z |
|
n |
n |
|
f (z) |
|
|
2 |
|
1 zn , |
||
z |
2 |
3z 2 |
2 |
||||
|
|
n 1 |
|
|
б) В кольце 1 z 2 (рис. 1.9). Разложим функцию в ряд Лорана:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
1 1z |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
z |
|
z |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
||||||||
|
z2 |
|
z3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 .
y
1 2 x
Рис. 1.9
23
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 |
, |
|
1 |
|
z |
|
2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
3z 2 |
|
|
|
|
n 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) В области |
|
z |
|
2 (рис. 1.10) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1z |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1z |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
|
z |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Рис. 1.10 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
z |
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
22 |
|
23 |
, |
|
|
|
z |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z2 |
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
f (z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
, |
|
|
|
|
z |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
3z 2 |
|
z |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Пример 1.16. Функцию |
f (z) cos |
z 1 |
|
|
|
|
разложить в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Лорана в окрестности точки z0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Точка |
|
|
|
z 1 |
|
является единственной особой точ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
кой функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
В области |
|
z 1 |
|
0 разложим функцию в ряд. Преобразуем |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
cos |
|
|
cos 1 |
|
|
|
|
cos1 |
cos |
|
|
sin1 |
sin |
|
|
|||||
z 1 |
z 1 |
z 1 |
z 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и воспользуемся разложениемфункцийcosz и sinz врядТейлора:
|
|
|
cos |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
22 |
|
|
24 |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
z |
1 |
2!(z 1)2 |
4!(z 1)4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
25 |
|
|
. |
|
||
|
|
|
z |
1 |
z 1 |
3!(z 1)3 |
|
5!(z 1)5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos |
z 1 |
cos1 |
|
|
2sin1 |
|
22 cos1 |
|
|
23 sin1 |
|
24 cos1 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z 1 |
|
|
|
z 1 |
2!(z 1)2 |
3!(z 1)3 |
4!(z 1)4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Классификация особых точек
Особой точкой функции f (z) называется точка, в которой нарушается аналитичность функции.
Особая точка z z0 называется изолированной, если в некоторойееокрестностифункция f (z) неимеетдругихособыхточек.
Изолированная особая точка z z0 тогда и только тогда является:
а) устранимой, если lim f (z) существует и конечен;
z z0
б) полюсом, если lim f (z) бесконечен; |
|
|
z z0 |
|
|
в) существенно особой точкой, если |
lim f (z) |
не суще- |
|
z z0 |
|
ствует. |
|
|
Точка z0 называется полюсом порядка m функции f (z) , |
||
если существует конечный отличный |
от нуля |
предел |
25
lim f (z) z z0 m A |
A 0, m N ; при |
m 1 полюс называ- |
z z0 |
|
|
ется простым.
В окрестности изолированной особой точки функцию f (z) можно разложить в ряд Лорана. При этом изолированная особая точка z z0 тогда и только тогда является:
а) устранимой, еслирядЛорана несодержит главнойчасти; б) полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов; m – порядок полюса, когда (– m ) есть
низшая отрицательная степень разности z z0 ;
в) существенно особой, если главная часть ряда Лорана
содержит бесконечное число членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пример 1.17. |
Определить характер |
|
|
особой точки z 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
в функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f (z) sin z , |
2) f (z) cos z , 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
1) |
f (z) ez . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Разложим каждую функцию в ряд Лорана. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin z |
|
1 |
|
|
|
z3 |
|
|
|
z5 |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z4 |
|
|
|
|
|||||||||
1) |
z |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||||||||
3! |
|
5! |
3! |
|
|
5! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Точка |
z 0 |
– |
устранимая особая точка, так как главная |
||||||||||||||||||||||||||||||
часть ряда отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cos z |
|
1 |
|
|
|
z2 |
|
|
z4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
||||||||||||
2) |
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|||
z |
|
z |
2 |
2! |
|
4! |
|
z |
2 |
2! |
4! |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка z 0 – полюс второго порядка, так как главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов и (–2) есть низшая отрицательная степень z .
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
3) |
ez |
1 |
|
... |
|||
z |
2!z2 |
||||||
|
|
|
|
|
Точка z 0 – существенно особая точка, т.к. главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов.
26
Пример 1.18. Найти изолированные особые точки функции
иопределитьиххарактер: 1) |
|
|
|
f (z) |
|
|
cos z |
|
, 2) f (z) |
z2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
z3 |
2z2 |
1 cos z |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
||||||||
Решение. 1) Функция |
|
|
|
|
|
|
имеет две особые точки: |
||||||||||||||||||||
|
|
z2 (z 2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z0 0 |
и z1 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Точка |
|
|
z 0 |
|
|
– |
|
|
|
полюс |
|
|
второго |
порядка: |
|||||||||||||
lim z2 |
|
|
|
cos z |
|
lim cos z |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
z2 (z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z 0 |
|
|
|
z 0 |
z 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Точка |
|
|
z 2 |
|
|
– |
|
|
|
полюс |
|
|
первого |
порядка: |
|||||||||||||
lim(z |
|
2) |
cos z |
|
|
1 cos 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z2 (z |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z 2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2) Точка z0 |
0 – устранимая особая точка функции: |
|
|||||||||||||||||||||||||
lim |
|
z2 |
lim |
|
z2 |
|
|
|
lim |
|
z2 |
|
2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
z |
2 |
|
|
||||||||||||||||
z 0 1 cos z |
|
z 0 |
|
2sin |
2 |
z 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1.8. Вычеты.
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Вычисление вычетов. Вычетом функции |
f (z) |
в изолиро- |
|||||
ванной особой точке z z0 называется число, |
определяемое ра- |
||||||
венством |
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f (z0 ) |
1 |
|
f (z)dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 i L |
|
|
||
Если |
z z0 – полюс или существенно особая точка, то вы- |
||||||
чет равен |
коэффициенту при первой отрицательной степени |
||||||
в разложении функции |
f (z) в ряд Лорана: Res |
f (z0 ) C 1 . |
|||||
Если z z0 – устранимая особая точка, то Res f (z0 ) 0 . |
|||||||
Если |
z z0 – |
простой |
полюс функции |
f (z) , то |
|||
Res f (z0 ) lim(z z0 ) f (z) . |
|
|
|
|
|||
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
27
Если |
f (z) |
(z) |
, где |
(z0 ) 0 и |
z z0 – простой нуль |
|
|
g(z) |
|
|
|
функции
Если
|
(z |
|
) |
|
(z |
0 |
) |
|
g(z) , то Res |
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
g (z0 ) |
|||||||
|
g(z0 ) |
|
|
z z0 – полюс k -го порядка функции f (z) , то
Res f (z0 ) |
1 |
lim |
d k 1 |
z z0 k f (z) . |
|
dzk 1 |
|||
|
(k 1)! z z0 |
|
Пример 1.19. Найти вычеты функции |
f (z) |
|
z 4 |
|
||
|
z2 4 |
|
z 1 |
2 |
||
|
|
|
|
вееособыхточках.
Решение. Функция имеет два простых полюса z 2i и полюс второго порядка z 1. Находим:
|
Res f (2i) lim(z |
2i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
4 |
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
lim |
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z 2i z |
1 2 |
|
|
4i 2i 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 i |
|
|
(2 i)(4 3i) |
|
|
5 10i 0,1 0,2i ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2(4 3i) |
2(4 3i)(4 3i) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Res f ( 2i) lim (z 2i) |
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
z2 4 |
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
2i |
|
z |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 2i |
|
|
|
|
0,1 0,2i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
4i 2i 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
z 4 ' |
|
|
|
||||||||||||||
Res f (1) lim |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(z |
2 |
4)(z |
|
1) |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
z2 4 2z(z 4) |
|
|
5 |
0,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 4 2 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
|
|
Пример 1.20. Найти вычет функции |
f (z) 1 cos z |
|
в осо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бой точке z 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Найдем разложение функции в ряд Лорана: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
1 |
|
cos z) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
z4 |
|
|
z6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
z |
3 |
|
2! |
|
|
4! |
6! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Из полученного ряда находим C |
1 |
1 , т.е. Res f (0) 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Теорема Коши о вычетах. Если функция |
|
f (z) |
является ана- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
литической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заисключением конечного числа особых точек |
|
zk (k 1,2, , n) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежащихвнутриобластиD, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z)dz 2 i Res f (zk ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Пример 1.21. Вычислить |
|
|
|
|
cos zdz |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
(z |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Решение. Внутри области, |
ограниченной |
|
окружностью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
1, лежит особая точка |
|
z 0 |
|
– полюс второго порядка, осо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бая точка z 2 |
лежит вне области. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos zdz |
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 iRes |
|
|
|
|
|
|
2 i lim |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
z |
|
1 z |
|
(z 2) |
|
|
z |
|
(z 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
(z 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos z |
|
|
|
sin z(z 2) cos z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 i lim |
|
2 i lim |
2 i |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
z 2 |
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Пример 1.22. Вычислить |
|
|
|
|
e2 z |
z |
dz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Особая точка |
|
|
z 0 |
лежит внутри области, огра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ниченной |
|
окружностью |
|
z |
|
2 . |
|
|
Разложим |
|
подынтегральную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию в ряд Лорана в окрестности точки z 0 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) |
e2 z |
z |
|
|
1 |
z e2 z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
2 |
|
|
2z |
3 |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 2z |
|
|
|
|
|
... |
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
||||||||
|
|
1 |
z 2z |
2 |
|
4 |
z |
3 |
|
... |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
4 |
z ...; |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
3 |
|
|
|
z |
2 |
|
z |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f 0 C 1 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
e2 z z |
|
dz 2 i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1.23. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
dz . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
1 z |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Внутри |
области, |
|
|
ограниченной |
окружностью |
z 3 , лежат полюсы -i, i, 2. Находим вычеты подынтегральной
функции в этих точках: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f i |
lim z i |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|||||
|
z2 |
1 |
|
|
z 2 |
|
2i |
2 i |
|||||||||||
|
z i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Res f i |
lim z i |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|||
z |
2 |
1 z 2 |
|
|
2i 2 i |
|
|||||||||||||
|
z i |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Res f 2 |
lim z |
2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
4 . |
|
|
||||
z |
2 |
1 z |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Применив теорему Коши о вычетах, получаем:
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
dz = 2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
2 i. |
|||
|
z |
2 |
1 z 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2i 2 i |
|
2i 2 i |
|
5 |
|
|
||||||
|
z |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
30