Функции комплексного переменного и операционное исчисление
..pdfГлава 2 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2.1. Оригинал и изображение
Оригиналом называется комплексная функция f (t) действи-
тельногопеременногоt, удовлетворяющая следующимусловиям: 1) при t 0 функция f (t) на любом конечном интервале или
непрерывна, или имеетконечноечисло точекразрыва I рода;
2)f (t) 0 при t 0 ;
3)при t функция f (t) имеет ограниченную степень
роста, т.е. существуют такие числа M 0 и S0 0 , при которых для всех t выполняется неравенство
|
f (t) |
|
|
MeS0t . |
|
|
|
|
|||
Число S0 называется показателем роста функции f (t) . |
|||||
Изображением функции |
f (t) |
по Лапласу называется |
|||
функцией комплексного переменного |
p s iw , определяемой |
||||
соотношением |
|
|
F( p) e pt f (t)dt .
0
Несобственный интеграл называется интегралом Лапласа. Операция перехода от оригинала к изображению называется преобразованием Лапласа и обозначается:
|
L[ f (t)] F( p) , |
|
или |
F( p) |
f (t) , |
|
||
или |
|
|
|
|
F( p) f (t) .
31
Единичная функция Хевисайда
Простейшей функцией-оригиналом является ступенчатая функция
1 |
при |
t 0, |
1(t) |
при |
t 0, |
0 |
называемая единичной функцией Хевисайда. Функцию-оригинал f (t) можно представить в виде
f (t) при |
t 0, |
f (t) 1(t) |
0. |
0 при t |
В дальнейшем будем предполагать, что второе условие существования оригинала выполнено, и при записи оригинала будем опускать множитель 1(t) .
Пример 2.1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.
Имеем
|
|
e pt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L[1(t)] 1(t)e pt dt e pt dt |
p |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
|||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2.2. Найти изображение функции |
|
f (t) et |
1(t) . |
|||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ( p 1)t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
L[et 1(t)] et e pt dt e ( p 1)t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
p 1 |
|
|
|
|
p 1 |
|||||||||
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2.Свойства преобразования Лапласа
1.Линейность.
Если f1 (t) F1 ( p) , f2 (t) |
F2 ( p) и c1 , c2 – постоянные чис- |
ла, то L(c1 f1 (t) c2 f2 (t)) c1F1 |
( p) c2 F2 ( p) . |
32
2. Подобие. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||
Если f (t) F( p) |
и число a 0 , то |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
f (at) |
|
F |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
||||
Пример 2.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть et |
|
1 |
|
|
, тогда eat |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p 1 |
|
|
|
a |
1 |
|
|
p a |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Запаздывание оригинала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Если f (t) F( p) |
и 0 , то f (t ) e p F( p) . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример2.4. |
НайтиизображениефункцииХевисайда(рис. 2.1) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1(t |
1 |
при |
|
t 2, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) |
при |
|
t 2. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
f(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как 1(t) |
|
, то 1(t 2) |
e 2 p |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.5. Найти изображение ступенчатой функции, изображенной на рис. 2.2.
f(t)
3
2
1
|
|
|
|
3 |
4 |
t |
0 1 |
2 |
Рис. 2.2
33
Аналитическое выражение функции имеет вид
f (t) 21(t 1) 21(t 2) 31(t 3) 31(t 4) .
Применяя свойства линейности и запаздывания оригинала, находим
F( p) 2e p 1p 2e 2 p 1p 3e 3 p 1p 3e 4 p 1p
e p (2 2e p 3e 2 p 3e 3 p ) . p
Пример 2.6. Найти изображение бесконечной ступенчатой функции, изображенной на рис. 2.3.
f(t)
4а
3а
2а
а
0 |
|
|
2τ 3τ 4τ |
t |
τ |
Рис. 2.3
Запишем аналитическое выражение функции: f (t) a 1(t) a 1(t ) a 1(t 2 ) .
Находим изображение:
F( p) a 1p a e p 1p a e 2 p 1p
|
a |
(1 e p e 2 p ) |
a |
|
1 |
. |
|
p |
p |
1 e p |
|||||
|
|
|
|
34
4. Смещение изображения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если f (t) F( p) |
и α – любое число, то e t f (t) F( p ) . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2.7. |
Найти |
|
изображение |
функции |
t3 e t , |
если |
|||||||||||||||||
L[t3 ] |
6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По свойству смещения находим L[e t t3 ] |
|
|
6 |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
( p |
1)4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. Дифференцирование оригинала (изображение произ- |
|||||||||||||||||||||||
водной). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если f (t) F( p) |
и функции |
|
|
f |
|
|
|
f |
(n) |
(t) |
явля- |
||||||||||||
f |
(t) , |
(t) , …, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ются оригиналами, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
pF( p) f (0) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
F( p) pf (0) f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
f (t) p |
|
(0) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
F( p) p |
2 |
f (0) pf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
f (t) |
p |
|
(0) f (0) , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
……………………………………….. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f (n) (t) p(n) F( p) pn 1 |
f (0) f (n 1) (0). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.8. Найдем изображение функции cos t: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
sin 0 |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
L[cost] L[(sin t) ] p |
p2 1 |
p2 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дифференцирование изображения.
Если f (t)
tn f (t) ( 1)n F
F( p) , то |
F (n) ( p) ( 1)n tn f (t) или |
|
|
(n) ( p) . |
|
Пример 2.9. Найти изображение оригинала t sint.
Решение. Учитывая, что sin t 21 p 1
35
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
|||||
t sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
p |
|
1 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p |
|
|
|
|
|
2( p |
2 |
1) . |
|||||||||||
t2 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
p |
2 |
|
2 |
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Интегрирование оригинала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если f (t) F( p) , то |
|
t |
f (t)dt |
|
F( p) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.10. Найти оригинал f(t) по данному изображению
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p( p2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
t |
t |
|
||
|
|
|
|
|
p2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
sin tdt cost |
|
|||||||
Так как |
|
|
|
|
sin t , то |
|
|
cost 1 . |
|||||
p |
2 |
1 |
p |
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Итак, f(t) 1 – cos t.
8. Интегрирование изображения
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
|
f (t) |
|
|
|||
Если |
f (t) F( p) и |
– оригинал, то |
6 F( p)dp. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
p |
|||
Пример 2.11. Найти изображение оригинала |
f t |
sin t |
. |
||||||||||||
|
|||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
1 |
|
dp arctg p |
|
p arctg p arcctg p. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||
t |
p |
p |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
36
9. Свертка функций. Умножение изображений
Сверткой |
функций |
f (t) и g(t) называется функция |
||
(t) t |
f ( )g(t )d . |
Обозначается как (t) f (t) g(t) . |
||
0 |
|
|
|
|
Свертка коммутативна, т.е. f (t) g(t) g(t) f (t). |
||||
Теорема свертки (умножения). |
||||
Если f (t) |
F( p) и g(t) G( p) , то |
|||
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
g(t) F( p) G( p) |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( p) G( p) t |
f ( )g(t )d . |
|
|
|
|
0 |
|
Пример 2.12. Найти оригинал по данному изображению
( p) 2 12 . p ( p 1)
Решение. Запишем данное изображение в виде произведения двух изображений
и применим теорему свертки, получим: |
|
||||||||||
( p) |
1 |
|
|
1 |
|
t sin t t |
sin(t )d |
||||
2 |
p |
2 |
|||||||||
|
p |
1 |
|
0 |
|
|
|||||
cos(t ) sin(t ) |
|
t |
t sin t , |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т.е. (t) t sin t . |
|
|||||||
10. Формула Дюамеля |
|
|
|
|
|
|
|||||
Если f (t) F( p) |
и g(t) G( p) , то |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
pF( p)G( p) f (0)g(t) |
|
g(t) |
|||||||||
f (t) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
или
|
t |
|
pF( p)G( p) f (0)g(t) f |
|
|
( )g(t )d . |
||
|
0 |
|
|
|
Пример 2.13. Найти оригинал по данному изображению:
|
|
|
|
|
( p) |
|
|
p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
( p 1)( p 2) |
|
|
||||||
Решение. Применим формулу Дюамеля. |
|
|||||||||||
( p) p |
1 |
|
1 |
|
|
e0 e2t |
t |
(e ) e2(t ) d e2t t |
e2t 3 d |
|||
|
|
|||||||||||
|
p 1 |
|
p 2 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
e2t |
1 e2t 3 |
|
t e2t |
1 e t e2t |
1 2e2t e t , |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. (t) 13 2e2t e t .
Формула Дюамеля имеет важные приложения при расчете переходных процессов в электрических цепях.
11. Изображение периодических функций
Если f (t) F( p) и |
f (t T ) f (t) , то |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
F( p) |
|
|
|
1 |
|
T e pt f (t)dt . |
1 |
e |
Tp |
||||
|
|
|
0 |
Пример 2.14. Найти изображение периодической функции f (t) с периодом Т = 2, заданной на интервале периода следую-
щим образом:
0 |
при |
0 t 1, |
f (t) |
при |
1 t 2. |
3 |
38
Решение. Учитывая, что на интервале от 0 до 1 функция равна нулю, получим:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
e pt |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F( p) |
|
|
|
|
e pt 3dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
e |
2 p |
1 e |
2 p |
p |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
e 2 p e p |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 p |
|
p |
|
e |
p |
|
|
|
|
|||||||
|
p 1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
12. Отыскание оригинала по изображению
Для нахождения оригинала f (t) по известному изображению F( p) применяются следующие приемы:
1) Если F( p) A( p) есть правильная рациональная дробь,
B( p)
то ее нужно разложить на сумму простейших дробей и найти оригиналы, используя свойства преобразования Лапласа и таблицу оригиналов и изображений.
Пример2.15. Найтиоригинал f (t) поданномуизображению
|
|
|
|
|
|
F( p) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
p( p 1)( p2 |
4) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. Разложим |
|
F( p) на сумму простейших дробей: |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
A |
|
|
B |
|
|
Cp D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
p( p 1)( p2 |
4) |
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
p2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
По методу неопределенных коэффициентов находим: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
1 |
, |
|
B |
1 , C |
|
1 |
|
, D |
1 |
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
т.е. |
F( p) |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
p |
|
1 |
|
1 |
. |
||||||||
4 |
|
|
|
p 1 |
|
|
p 2 4 |
5 |
p2 4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
5 |
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
39
Используя таблицу оригиналов и изображений и свойство
линейности, находим оригинал: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
f (t) 1 |
1 e t |
1 |
|
|
cos 2t |
1 |
|
sin 2t . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|||||
2) Использование второй теоремы разложения. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если |
|
F( p) |
|
– правильная дробь и |
pk |
|
– полюсы функции |
||||||||||||||||||||||||||||
F( p) кратности nk , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
nk 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
d |
|
|
F( p) ( p pk )nk |
ept . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1 |
(n 1)! p pk |
dp k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
|
F( p) |
|
A( p) |
|
и все полюсы |
|
p1 , p2 , , pn |
простые, то |
||||||||||||||||||||||||||
|
B( p) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
A( p ) |
|
p t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (t) |
|
k |
|
|
|
e |
k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B ( p |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.16. Найти оригинал по данному изображению: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) F( p) |
|
|
p2 2 |
|
|
|
, б) F( p) |
|
|
|
2 p 3 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
p( p 1)( p 2) |
|
p3 ( p 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) Здесь A( p) p2 |
2 , B( p) p( p 1)( p 2) p3 3 p2 2 p , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
B ( p) 3 p2 6 p 2 ; |
p |
0 , |
p 1, |
|
p |
|
2 – простые корни зна- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
менателя. Поформуледляпростыхполюсовимеем: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t) |
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e0 t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 p3 6 p 2 |
|
p 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
p2 2 |
|
|
|
|
e1 t |
|
|
|
p2 2 |
|
|
e2 t |
1 3et 3e2t . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3 p3 6 p 2 |
|
|
|
3 p3 6 p 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Здесь |
|
A( p) 2 p |
3 , |
B( p) p3 ( p 1) ; |
p 1 – простой |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
корень знаменателя, p2 0 – корень кратности 3. Имеем:
40