- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.2. Производная функции
- •1.3. Интерполяция я экстраполяция функций
- •1.5. Формула Тейлора
- •1.8. Обработка экспериментальных данных
- •1.9. Метод наименьших квадратов
- •1.10. Контрольные вопросы к главе 1
- •2, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
- •2.1. Поток векторной величины
- •2.2. Связь потока с дивергенцией
- •2.3. Ротор и циркуляция вектора
- •2.4. Контрольные вопросы к главе 2
- •3.3. Колебания пружинного маятника
- •3.5. Колебания физического маятника
- •3.6. Колебания в электромагнитном контуре
- •3.7. Вынужденные колебания
- •3.9. Сложение колебаний
- •ЗЛО. Контрольные вопросы к главе 3
- •4. ЗАДАЧИ С УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
- •4.1. Классификация уравнений математической физики
- •4.2. Уравнение теплопроводности
- •4.4. Уравнения эллиптического типа
- •4.5. Волновое уравнение
- •4.6. Уравнение Шредингера
- •Список литературы
1.10. Контрольные вопросы к главе 1
1.Чему равна длина вектора, равного сумме двух векторов А\{ 1, 2),
М4, 2)?
2.Чему равна третья производная от функции ехр(2х)?
3.Чему равно значение м(1) при линейной и квадратичной интерполяции, если дано и(0) = 0, и(2) = 2, и(3) = 8?
4.Сколько может быть вещественных корней у полинома третьей степени?
5.Оценить с помощью формулы Тейлора значение схр(0,01).
6.Сколько будет слагаемых в ряде Фурье, если разлагаемая в ряд Фурье функция и(х) = 2sin(x) + 4sin(2x)?
7.Чему равна относительная погрешность вычисления произведения х\х2з если 8, =0,01, 62=0,002?
8.Оцените погрешность вычисления fix ) = ехcos(2x)при х = л/ 2±0,01.
9.Чему равен угол наклона прямой, проведенной методом наименьших квадратов для следующих данных: y(l) = 1, у(2) ~ 2, у(3) = 1?
10.Сколько корней у производной от полинома второй степени?
2, ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
2.1. Поток векторной величины
Понятие потока векторной величины неоднократно встречается в физике. Так, например, в электродинамике рассматривается поток напряженности электрического поля и с помощью этого понятия формулируется теорема Гаусса. Закон индукции Фарадея также использует понятие потока.
Дадим вначале понятие потока для любого вектора А , не привязываясь к его физическому смыслу. Однако для облегчения понимания можно считать,
что этот вектор соответствует скорости потока жидкости. Поток вектора А через малую площадку dS вычисляется с помощью скалярного произведения по формуле
= Л - dS = Л • dS • cos(qp). |
(2.1) |
Величина потока обозначена буквой Ф с индексом вектора. Ниже мы будем придерживаться таких же обозначений для потоков других величин,
используя в качестве индекса потока соответствующий вектор. Вектор dS
направлен по нормали |
к |
площадке |
|
||
(dS = dS • п , п - единичный вектор нормали |
|
||||
к площадке). Угол (р (рис. 7) - |
это |
угол |
|
||
между векторами A n n . |
|
|
dS |
|
|
Малость |
размера |
площадки |
|
||
обеспечивает возможность в общем случае |
|
||||
пренебречь |
кривизной |
площадки |
и |
Рис. 7. Поток вектора |
|
|
|
|
|
|
изменением вектора А в пределах площадки. Поток (2.1) называют иногда
элементарным. Напомним эквивалентные формы (см. параграф о произведениях векторов) записи скалярного произведения (2.1):
6ФА= A-dS = A„-dS. |
(2.1) |
Из свойств скалярного произведения следует, что величина потока максимальна при угле между векторами, равном нулю, и равна нулю, когда
нормаль площадки перпендикулярна вектору А (ср= л /2 ).
Поток вектора через любую поверхность вычисляется с помощью определенного интеграла от (2.1):
Ф 4= р Ф ^ = p d f |
(2.2) |
( S ) |
(S) |
Заметим, что при интегрировании вектор нормали должен быть направлен в одну и ту же сторону относительно поверхности. В случае замкнутой поверхности следует выбирать вектор внешней нормали, г.е. вектор, направленный вовне из области, ограниченной поверхностью.
Приведем пример простой задачи, связанной с вычислением потока. Пусть солнце расположено над горизонтом под углом 10° Во сколько раз поток солнечного излучения через вертикальную площадку больше потока через горизонтальную площадку? Для горизонтальной площадки угол между направлением солнечных лучей и нормалью к площадке составляет 80°, а для вертикальной площадки 10°. Следовательно, отношение потоков равно отношению косинусов углов к = cos(10°)/cos(80°) «5,7. Примерно во столько раз эффективнее при низком солнце загорать стоя.
Важным случаем потока является поток через замкнутую поверхность. Формально формула для потока в случае замкнутой поверхности также вычисляется по формуле (2.2). Но чтобы подчеркнуть замкнутость поверхности для интеграла, используют другое обозначение:
= (^ Л • dS = (^ • d.S. |
(2.3) |
(S)(S)
Атеперь сформулируем теорему Гаусса (Гаусса - Остроградского) для вектора напряженности электростатического поля Е и покажем, как ее использовать в простейших ситуациях. Согласно этой теореме поток вектора Е через любую (мысленную) замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности:
0 £ = <f£-dS = cj£(1-dS = - 2 X 6 |
(2.4) |
||
(S) |
(5) |
8 0 |
|
Заряды в сумме отмечены индексом «охв», напоминающим, что суммирование касается лишь зарядов, охваченных замкнутой поверхностью. Если задано непрерывное распределение зарядов, вместо алгебраической суммы используется определенный инге^ал от плотности распределения заряда.
Покажем применение этой теоремы вначале для точечного заряда. Выберем в качестве замкнутой поверхности сферу, центр которой находится в месте расположения заряда. Отметим важный момент. Выбор замкнутой поверхности делается таким образом, чтобы облегчить вычисление потока. Этому выбору помогает знание свойств симметрии электрических полей. В случае точечного заряда известно, что вектор напряженности электрического поля направлен по радиусу и величина его на этой поверхности одинакова. Поэтому поток напряженности электрического поля через поверхность такой сферы легко вычисляется следующим образом:
Ф„Г. = cfП Еп -dS = Е,п cfп dS = En - 4nr2= Eг |
-Am1 |
|
(Я |
(S) |
|
Приравнивая вычисленное |
значение потока |
величине qfe0 (в |
соответствии с теоремой), получим известную формулу для зависимости напряженности единичного заряда от расстояния:
4пе0г2
Приведем еще один пример. Пусть требуется вычислить напряженность поля от бесконечного заряженного цилиндра радиусом R, в предположении, что заряд распределен на цилиндре при г - R равномерно с поверхностной плотностью а . Геометрия подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать также цилиндр с той же осью. Высота цилиндра роли не сыграет, так как и поверхность, и величина заряда пропорциональны высоте цилиндра. При вычислении потока учитываем, что вектор напряженности перпендикулярен оси цилиндра. Поэтому поток через торцевые поверхности оказывается равным нулю и полный поток легко вычисляется (S '-боковая поверхность цилиндра):
O t = c f £ - d S - [ Ег • dS' = £, • 2 я г# .
(S)(Л
Всоответствии с теоремой Гаусса это значение следует приравнять величине заряда на боковой поверхности цилиндра, равное 2KRHG , и поделить
на константу е0, если r> R . При r< R величину заряда следует положить
раной нулю. В итоге получаем, что внутри цилиндра поле равно нулю, а вне цилиндра (г >R)
2.2. Связь потока с дивергенцией
Дивергенция (расходимость) вектора А есть предел отношения потока через замкнутую поверхность, окружающую рассматриваемую точку, к объему, ограничиваемому этой поверхностью, когда она стягивается к точке. Математически это определение записывается коротко:
Cp-dS |
|
|
div^ = lim— |
при V -> 0. |
(2.5) |
С помощью этого определения находятся формулы для вычисления дивергенции в точке. Эти формулы зависят от используемой системы координат. В декартовой системе координат
divA = V/4 = |
дЛу | |
дЛ2 |
(2.6) |
+ |
dz |
||
ох |
ду |
|
В формуле (2.6) отмечено еще одно обозначение для дивергенции вектора, принятое в векторном анализе. Это обозначение дается с помощью скалярного произведения оператора Гамильтона V на вектор. Оператор ГахМильтона определен соотношением
V |
д г |
д *7 |
н |
д г |
(2.7) |
||
---- |
1 |
+ |
----- J |
к . |
|||
|
дх |
|
|
д)> |
|
dz |
|
В цилиндрических координатах г, <p, z дивергенция вычисляется по формуле
|
. |
1 |
8(rAr) |
1 дА |
дА |
|
(2.8) |
diуА |
=— |
-— — +----- + —— . |
|
||||
|
|
г |
дг |
г дcp |
dz |
|
|
В сферических |
координатах |
г, 9, ср |
дивергенция |
вычисляется по |
|||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
div^ 4 ^ |
f 4 |
) + ._ L .e ( 5 ! ! lM ) +_ J _ |
4 , |
(2.9) |
|||
г |
дг |
г sin 9 |
69 |
гsin 9 |
бср |
|
где 9 - полярный угол, ф - азимутальный угол.
Русским математиком Остроградским в 1828 году получена формула (опубликована в 1931 году), связывающая величину потока через замкнутую поверхность с объемным интегралом от дивергенции:
<&, = < p d S = |
Jdiv/i-dF |
(2.10) |
iS) |
V |
|
Формула Остроградского позволяет перейти от интегральных уравнений Максвелла к дифференциальным уравнениям.
Приведем пример формального вычисления дивергенции. Пусть компоненты вектора заданы формулами:
Ax =xz2, Av=xy2z \ Az =x2y 2z3