Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

3x′2 + 10x′y′ + 3y′2 − 8 = 0 .	(11.18)
Итак, уравнение (11.18) – это уравнение линии	L в системе

координат x′O′y′ , полученной из исходной путем параллельного переноса осей в новое начало O′(2, −1).

Дальнейшее упрощение уравнения (11.18) достигается путем поворота системы координат x′O′y′ на угол α. Формулы преобразования координат при повороте

′ = cos α− sin α,

x x y

y′ = xsin α+ y cos α,

где

x

,

y

– координаты в повернутой системе координат, подставим

в уравнение (11.18). Имеем

3

(

cos α−

sin α)2 + 10(

cos α−

sin α)(

sin α+

cos α) +

x

y

x

y

x

y

+3(

sin α+

cos α)2 − 8 = 0

x

y

или

(3 cos2 α+ 10cos αsin α+ 3sin2 α)

2 +

x

+(−6cos αsin α+ 10cos2 α− 10sin2 α+ 6sin αcos α)x y +

+(3sin2 α− 10sin αcos α+ 3cos2 α) y2 − 8 = 0.

Угол поворота α системы координат x′O′y′ будем искать из

условия, что коэффициент при x y равен нулю. Решая тригономет-

рическое уравнение 10cos2 α− 10sin2 α = 0 , имеем cos 2α = 0 . Сле-
довательно, α = π .
4
Подставив cos α = sin α =	2	в последнее уравнение линии L ,
	2

получим:

121

		3	+	10		+		3				2		3				−		10	+	3			2	− 8 = 0
				2				2	x				+							2		2	y
		2												2
или
												2 − 2					2 − 8 = 0 .									(11.19)
									8x						y
Таким образом, уравнение (11.19) – это уравнение линии L
в системе координат					x		O′ y ,					полученной поворотом системы x′O′y′
на угол α =	π	против хода часовой стрелки.																								Запишем уравнение
4
(11.19) в каноническом виде:
													2					2
												x		−		y				= 1.						(11.20)
												1
														4

Из уравнения (11.20) следует, что линия L является гиперболой с действительной осью O′ x и полуосями a = 1, b = 2.

Построим все три системы координат: xO y , x′O′y′ , xO′ y , учитывая, что точка O′ в системе xO y имеет координаты (2; −1)

и угол поворота системы

x′O′y′

равен

π

. В системе координат

4

2

2

x

−

y

= 1 (рис. 44).

xO′ y изобразим гиперболу

1

4

Замечание 1. Если кривая, определяемая уравнением (11.11), является кривой параболического типа (нецентральной), то для приведения уравнения (11.11) к каноническому виду необходимо сначала выполнить поворот исходной системы координат, а затем параллельный перенос повернутой системы координат. Если же кривая, определяемая уравнением (11.11), является кривой эллиптического или гиперболического типа (центральной), то преобразование координат можно выполнять в любом порядке.

Замечание 2. Если в уравнении (11.11) кривой второго порядка коэффициент В не равен нулю, то чтобы слагаемое с произведением координат отсутствовало, следует выполнить поворот системы координат на угол α , удовлетворяющий уравнению

122

B tg2α− (C − A)tg α− B = 0.

(11.21)

Заметим, что уравнение (11.21) имеет два корня, соответствующие двум взаимно перпендикулярным направлениям. Условимся в качестве угла поворота рассматривать угол α , лежащий в первой четверти, для которого tg α > 0 . Тогда значения sin α и cos α,

необходимые для записи формул поворота системы координат, определяются по формулам тригонометрии:

sin α =		tg α	,	cos α =		1	.
						+ tg2α
1		+ tg2α		1
							123

Замечание 3. Если уравнение (11.11) не содержит слагаемого с произведением координат, т.е. B = 0 , то для приведения его к каноническому виду следует выполнить параллельный перенос осей координат.

Пример 11.7. Привести уравнение

3x2 − 6x − y + 4 = 0

(11.22)

к каноническому виду и построить его геометрический образ. Решение. Вычислим инвариант заданного уравнения:

δ =	3	0	= 0 . Поскольку инвариант равен нулю, то уравнение
	0	0

(11.22) определяет кривую параболического типа. В силу замечания 3 для приведения данного уравнения к каноническому виду совершим параллельный перенос системы координат. Новую систему координат обозначим x′O′y′ . Подставим формулы преобразования

координат при параллельном переносе x = x′ + x0 ,	где (x0 ; y0 ) –
y = y′ + y0 ,

координаты нового начала координат – точки О′ , в исходное урав-

нение: 3( x′ + x0 )2 − 6( x′ + x0 ) − ( y′ + y0 ) + 4 = 0 .

Запишем уравнение в виде
3( x′)2 + (6x0 − 6) x′ − y′ + 3x02 − 6x0		− y0 + 4 = 0 .	(11.23)
Далее найдем такие значения x0 и y0		, при которых коэффи-
циент при x′ и свободный член уравнения равны нулю:
	6x0 − 6 = 0,
3x02 − 6x0 − y0 + 4 = 0.
Решение системы:	x0 = 1 , y0 = 1. Таким образом,		O′(1;1) .

Подставив в уравнение (11.23) найденные x0 и y0 , получим кано-

ническое уравнение параболы: 3( x′)2 = y′ или ( x′)2 = 13 y′ .

124

Следовательно, геометрическим образом уравнения является парабола, симметричная относительно оси O′y′ , вершина которой

находится в точке О′ и ветви направлены в положительном на-

правлении оси O′y′ , так как параметр параболы p = 16 > 0.

Рассмотрим другой способ решения этого примера. Он заключается в том, что заданное уравнение приводится к каноническому виду путем тождественных преобразований.

Уравнение (11.22) преобразуется следующим образом: 3x2 − 6x = y − 4 ,

3(x2 − 2x) = y − 4 ,

3(x2 − 2x + 1) = y − 4 + 3 ,

3( x − 1)2 = y − 1 .

Последнее уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке (1;1) . Поместим начало новой системы координат

в вершину параболы – в точку O′(1;1) и выполним параллельный перенос осей координат,

x′ = x − 1,

используя формулы

y′ = y − 1.

Тогда уравнение в системе координат x′O′y′ будет иметь

канонический вид ( x′)2 = 13 y′ .

Далее строим обе системы координат xOy и x′O′y′

и в последней изобразим параболу, определяемую уравнени-

ем ( x′)2 = 13 y′ (рис. 45).

125

Пример 11.8. Привести уравнение 4x2 + 9y2 − 40x + 36y +100 = 0

кканоническому виду ипостроить егогеометрическийобраз. Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

4(x2 − 10x) + 9( y2 + 4 y) + 100 = 0 ;

4(x2 − 10x + 25 − 25) + 9( y2 + 4 y + 4 − 4) + 100 = 0 ;

4( x − 5)2 − 100 + 9( y + 2)2 − 36 + 100 = 0 ;

4( x − 5)2 + 9( y + 2)2 = 36 : 36 ;

( x − 5)2 + ( y + 2)2 = 1 .

9 4

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв

за новое начало точку O′(5; −2) .

Для этого воспользуемся формулами преобразования координат

x′ = x − 5,	Относительно новых
y′ = y + 2.

осей уравнение кривой примет вид

	( x′)2	+	( y′)2	= 1. Таким образом,
	9		4

заданная кривая является эллипсом

сполуосями a = 3, b = 2 (рис. 46).

12.ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

Для аналитического представления линии достаточно часто используют параметрическое представление. Параметрическое представление линии заключается в том, что переменные координаты x и y точек этой линии записывают в виде функций вспомога-

тельной переменной (параметра) t:

126

x = φ(t ),	(12.1)
y = ψ(t ),

где функции φ(t), ψ(t ) предполагаются непрерывными по пара-

метру t в некоторой области изменения этого параметра.

Выше (п. 10.3) уже рассматривались параметрические урав-

нения прямой на плоскости:	x = x0 + lt,
	y = y0 + mt.
Рассмотрим примеры плоских линий, заданных в параметри-
ческом виде.
	x = a cost,
Пример 12.1. Уравнения y = bsin t,		(12.2)

где a и b – положительные числа, являются параметрическими уравнениями эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b . Чтобы показать это, исключим из уравнений (12.2) пара-

x2 = a2 cos2 t,

метр t следующим образом:

y2 = b2 sin2 t,

cos2 t =		x	2
				,			2			2
		a	2			x			y
								+			= 1 .
	y		2			a	2		b	2
sin2 t =				,
	b		2

Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса с полуосями a и b . Заметим, что параметр t может принимать лю-

бые значения, но для того, чтобы точка ( x; y) один раз обошла эл-

липс, область изменения параметра t следует ограничить полусегментом 0 ≤ t < 2π.

x = R cost,

Замечание. Очевидно, что уравнения y = Rsin t, где R = const,

R > 0 , являются параметрическими уравнениями окружности радиуса R с центром в начале координат.

127

Пример 12.2. Параметрические

x = a cos3 t,

уравнения

y = asin3 t,

где a > 0 , определяют на плоскости линию, которая называется астроидой. Уравнение астроиды в прямо-

угольных			координатах		имеет	вид
x	23 + y	2 3	= a	2 3 . График	астроиды
изображен нарис. 47.
	Пример 12.3. Уравнения					x = R(t − sin t ),
							− cost),
						y = R(1

являются параметрическими уравнениями циклоиды – линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R , при условии, что окружность без скольжения катится по неподвижной прямой – оси O x (рис. 48).

Рис. 48

13. УРАВНЕНИЕЛИНИИВПОЛЯРНОЙСИСТЕМЕКООРДИНАТ

13.1. Полярная система координат

Кроме прямоугольной системы координат на плоскости можно рассматривать полярную систему координат. Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О и исходящего из этой точки луча Ox с указанием единицы масштаба. Точка О

128

называется полюсом полярной системы координат, а луч Ox – по-

лярной осью.

Возьмем на плоскости произвольную точку М , не совпадающую с точкой О. Положение точки М определяется двумя числами ρ и φ, где число ρ (полярный радиус) равно расстоянию

точки М от полюса О , а φ (полярный угол) – угол, на который

нужно повернуть против часовой стрелки луч Ox до совмещения с лучом ОМ . Числа ρ и φ называются полярными координатами

точки М и обозначаются M (ρ;φ). Заметим, что для полюса О полярный радиус ρ равен нулю, а полярный угол φ не определен,

т.е. ему можно приписать любое значение.

Для того чтобы соответствие между точками плоскости (кроме точки О ) и парами полярных координат (ρ;φ) было взаимно однозначным, считают, что ρ и φ удовлетворяют неравенствам:

ρ≥ 0, 0 ≤ φ< 2π (или −π ≤ φ< π ).

Внекоторых задачах от данных ограничений отказываются. Если φ< 0 , то полярный угол откладывается вращением полярной оси

по часовой стрелке. Если ρ< 0 , то полярный радиус откладывается на

соответствующемлуче в противоположную отполюса сторону. Например, на рис. 49 изображены в полярной системе координат

π

π

π

следующие точки:

M1

−2;

,

M2

(1;

π) , M3

3;

, M4

2; −

.

4

4

2

Закон изменения величин

ρ

и

φ

выясняется в каждом конкретном случае. Установим связь между полярными и прямоугольными координатами.

Для этого совместим полюс О с началом прямоугольной системы координат xOy , а полярную ось – с положительной

полуосью Ox . Пусть x и y – прямоугольныекоординатыточки М , а ρ и φ – ее полярные координаты.

129

	Из рис. 50 видно, что пря-					y
моугольные		координаты		точки
							M
М выражаются через полярные
координаты следующим образом:							ρ
	x = ρcos φ,		(13.1)			y
	y = ρsinφ.
							φ
	Полярные же координаты					O	x
точки	М	выражаются		через			x
							Рис. 50
прямоугольные координаты с
		ρ =	x2 + y2 ,
помощью формул:				y
		tgφ =			.
				x
	Заметим, что определяя полярный угол φ из последней фор-
мулы,	следует установить по знакам x и						y четверть, в которой ле-
жит искомый угол.

13.2. Некоторые линии, заданные в полярной системе координат

Рассмотрим примеры некоторых кривых, заданных в полярных координатах.

Пример 13.1. Построить			кривую, заданную			уравнением
ρ = аcos φ, где а = const , a > 0 .
Решение. Покажем, что заданная линия в прямоугольных ко-
ординатах определяется уравнением
x −	а	2	+ y2 =	а2	.	(13.2)
	2
			4

Действительно, если в уравнении (13.2) перейти к полярным координатам с помощью формул (13.1), то получим:

130