Лекции и индивидуальные задания по высшей математике Часть 1

Пример 1.4
				−1		3	0
5	−1	3 1			−2 1		1		10 15		−5
A B =	0	−1 4			3	0	−2		=	11 10	10		,
2
					4	1	2

так как
c11 = −5 + 2 + 9 + 4 = 10;	c12 = 15 −1+ 0 + 1= 15;	c13 = 0 −1− 6 + 2 = −5;
c21 = −2 + 0 − 3 + 16 = 11;	c22 = 6 + 0 + 0 + 4 = 10;	c23 = 0 + 0 + 2 + 8 = 10.

Заметим, что матрица A имеет размерность (2 × 4) , матрица B – (4 × 3) , следовательно, матрица A B имеетразмерность (2 × 3) .

Пример 1.5
0		−3 1				3		8
						−2
A B =	2	1	5					=	14		,
	−4	0	−2			2			−16

так как

c11 = 0 + 6 + 2 = 8; c21 = 6 − 2 + 10 = 14;

c31 = −12 + 0 − 4 = −16.

Пример 1.6
2		0
	1	−4
A B = (5 1 0 −3)				= (11	−1) ,
	3	1
	0	−1
так как
c11 = 10 + 1+ 0 + 0 = 11; c12		= 0 − 4 + 0 + 3 = −1.

11

Отметим свойства операции умножения матриц:

1)A B ≠ B A ;

2)(A B)C = A(B C) (сочетательный закон);

3) (A + B)C = A C + B C (распределительный закон относи-

тельно суммы матриц);

4) A E = E A = A , где A и E – квадратные матрицы одного порядка.

Продемонстрируем свойство 4) на конкретном примере.

0		−3	1
	2	1	5		; E – единичная матрица 3-го порядка.
Пусть A =
	−4	0	−2

		0		−3 1 1							0		0		0 −3		1
Тогда A E =			2		1		5			0	1		0			2 1	5
															=			,
			−4		0 −2					0	0		1			−4 0	−2
так как
c11 = 0 + 0 + 0 = 0;					c12 = 0 − 3 + 0 = −3; c13 = 0 + 0 + 1 = 1;
c21 = 2 + 0 + 0 = 2;					c22 = 0 + 1+ 0 = 1;										c23 = 0 + 0 + 5 = 5;
c31 = −4 + 0 + 0 = −4; c32 = 0 + 0 + 0 = 0; c33 = 0 + 0 − 2 = 2.
1			0	0		0 −3					1				0 −3 1
E A =	0		1	0			2 1				5		=		2 1 5		.
	0		0	1			−4 0				−2				−4 0 −2

Таким образом, A E = E A = A.

12

2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1.Понятие определителя

Рассмотрим квадратную матрицу А n-го порядка:

a11		a12	...	a1n
a		a	...	a
A =	21	22	...		2n .
... ...				...
		an2	...
an1				ann

Каждая квадратная матрица имеет числовую характеристику, которая называется определителем или детерминантом. Обозначается определитель следующим образом:

a11

a12

...

a1n

a21

a22

...

a2n

=

A

= det A = .

... ... ... ...

an1

an2

...

ann

Если n=1 и A = (a11 ), то

A

= a11 .

a11

a12

то

A

= a11a22 − a12a21 , т.е. опреде-

Если n=2 и A =

,

a21

a22

литель 2-го порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на побочной диагонали матрицы.

Например,	3	4	= 3	(−1) − 4 8 = −35 .
	8	−1
		a11		a12	a13
Если n=3 и				a22	a23		, то
	A = a21
		a		a	a
		31		32	33

A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12 a21a33 − a11a23a32 .

13

Для вычисления определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать так:

		Например,
	2	3	2
	1	2	−3		= 2 2 1+ 3 (−3) 3 + 1 4 2 − 2 2 3 − 1 3 1− 2 4 (−3) = .
	3	4	1

= 4 − 27 + 8 − 12 − 3 + 24 = −6

Если n > 3, то правило вычисления определителя является довольно сложным. Однако свойство разложения определителя по элементам какой-либо строки или столбца позволяет вычислить определитель любого порядка.

2.2. Свойства определителей

Сформулируем свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств докажем для определителей 3-го порядка.

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами с соответствующими номерами, и наоборот, т.е.

a11	a12	a13		a11	a21	a31
a21	a22	a23	=	a12	a22	a32	.
a31	a32	a33		a13	a23	a33

Такое преобразование определителя (или матрицы) называется транспонированием определителя (или матрицы).

14

Для доказательства этого свойства достаточно расписать каждый из определителей.

Замечание. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов определителя в том смысле, что всякое утверждение для столбцов определителя справедливо и для строк, и наоборот.

Свойство 2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак, т.е.

a11	a12	a13		a31	a32	a33
a21	a22	a23	= −	a21	a22	a23	.
a31	a32	a33		a11	a12	a13

В приведенном равенстве поменяли местами первую и третью строки.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя, т.е.

a11	k a12	a13				a11	a12	a13
a21	k a22	a23		= k		a21	a22	a23		.
a31	k a32	a33				a31	a32	a33

Замечание. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю (следует из свойства 4 при k=0).

Свойство 5. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. Это свойство следует из свойств 3 и 4.

Свойство 6. Если элементы некоторой строки (столбца) определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых на месте указанной строки (столбца) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; все остальные элементы у трех определителей одинаковые, т.е.

15

a11′

+ a11′′

a12

a13

a11′

a12

a13

a11′′

a12

a13

a21′ + a21′′

a22

a23

=

a21′

a22

a23

+

a21′′

a22

a23

.

a31′

+ a31′′

a32

a33

a31′

a32

a33

a31′′

a32

a33

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить каждый определитель и сравнить полученные результаты.

Свойство 7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, т.е.

a11	a12	a13				a11	+ k a12	a12	a13
a21	a22	a23		=		a21	+ k a22	a22	a23		.
a31	a32	a33				a31	+ k a32	a32	a33

Доказательство. Используя свойства 5 и 6, получим:

a11

+ k a12

a12

a13

a11

a12

a13

k a12

a12

a13

a11

a12

a13

a21

+ k a22

a22

a23

=

a21

a22

a23

+

k a22

a22

a23

=

a21

a22

a23

.

a31

+ k a32

a32

a33

a31

a32

a33

k a32

a32

a33

a31

a32

a33

Замечание. Строка (столбец), которая умножается на число, остается без изменения.

Для формулировки следующих свойств определителей необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения элемента определителя.

Минором некоторого элемента aij определителя n-го порядка

называется определитель (n – 1)-го порядка, получаемый из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент.

Минор для элемента aij			обозначается Mij .
Например, если =		a11	a12	a13		, то
		a21	a22	a23
		a31	a32	a33

16

M11

=

a22

a23

,

M21

=

a12

a13

,

M32

=

a11

a13

.

a32

a33

a32

a33

a21

a23

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя назы-

вается его минор, взятый со знаком (−1)i+ j .

Алгебраическое дополнение для элемента aij обозначается Аij . Согласно определению

Aij = (−1)i+ j Mij .

Так, в частности, A11 = +M11 , A21 = −M21 , A32 = −M32 . Свойство 8. Определитель равен сумме произведений эле-

ментов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. для определителя

a11 a12 a13

= a21 a22 a23 имеют место равенства:

a31 a32 a33

=a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 – разложение определителя по первой строке;

=a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 – разложение определителя по второй строке;

…………………………………………………………………….

=a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 – разложение определителя по третьему столбцу.

Докажем последнее равенство:

a13 A13 + a23

A23

+ a33 A33 = a13

a

a

−

a

a

+

21

22

+ a23

11

12

a11

a12

a31

a32

a31

a32

+a33

= a13 (a21a32 − a22a31 ) − a23

(a11a32 − a12a31 ) +

a

a

21

22

+a33 (a11a22 − a12a21 ) = a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 +

+a12a23a31 + a11a22 a33 − a12a21a33

= .

17

Замечание 1. Свойство 8 позволяет вычислять определители высших порядков (n > 3), так как если – определитель n-го порядка, то Аij – определитель (n – 1)-го порядка.

Замечание 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример 2.1. Вычислить определитель =		1	−2	3
		3	5	−1		, разло-
		4	1	2

жив его по элементам второй строки. Решение. Согласно свойству 8 имеем:

= 3 (−1)2+1		−2 3			+ 5 (−1)2+2		1	3		− 1 (−1)2+3			1	−2		=
		1	2				4	2					4	1
= −3 (−4 − 3) + 5 (2 − 12)								+ (1+ 8) = −20.

Пример 2.2. Вычислить тот же определитель, используя свойства 7 и 8.

Решение. Согласно свойству 7 преобразуем определитель так, чтобы два элемента в первом столбце определителя стали равны нулю. Для этого к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на (–3), а к элементам третьей строки – соответствующие элементы первой строки, умноженные на (–4):

		1	−2	3				1	−2	3
=		3	5	−1		=		0	11	−10		.
		4	1	2				0	9	−10

Разложивопределительпо элементампервогостолбца, получим:

	1	−2	3		11	−10		11	1
	0	11	−10	= 1 (−1)2			= −10			= −10 (11− 9) = −20 .
	0	9	−10		9	−10		9	1

18

Пример 2.3. Вычислить определитель 4-го порядка

2	−1	1	0
0	1	2	−1	.
3	−1	2	3
3	1	6	1

Решение. С помощью свойства 7 элементы первой строки определителя обратим в ноль, кроме a13 . Для этого к элементам перво-

го столбца прибавим соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на (–2), а к элементам второго столбца – соответствующие элементы третьего столбца; а затем согласно свойству 8 разложим определитель по первой строке:

2	−1	1	0		0	0	1	0		−4	3	−1
0	1	2	−1		−4	3	2	−1
				=					= 1 (−1)4	−1 1		3	=
3	−1	2	3		−1	1	2	3		−9	7	1
3	1	6	1		−9	7	6	1

= −4 − 81+ 7 − 9 + 84 + 3 = 0.

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Так, например, для определителя третьего порядка

a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0 .

Действительно,

a11

(−1)3

a12

a13

+ a12

(−1)4

a11

a13

+ a13

(−1)5

a11

a12

=

a32

a33

a31

a33

a31

a32

=−a11 (a12a33 − a13a32 ) + a12 (a11a33 − a13a31 ) − a13 (a11a32 − a12a31 ) =

=−a11a12a33 + a11a13a32 + a12a11a33 − a12a13a31 − a13a11a32 + a13a12a31 = 0.

Свойство 10. Если А, В и С – квадратные матрицы одной размерности и С = А В, то определитель матрицы С равен произведению определителейматриц Аи В, т.е. det C = det A det B .

19

3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ

3.1. Понятие обратной матрицы

Пусть А, Е – квадратные матрицы n-го порядка.

Матрица В называется правой обратной матрицей к матрице А, если А В= E .

Матрица С называется левой обратной матрицей к матрице А, если C A = E .

Если матрицы В и С существуют, то это квадратные матрицы n-го порядка.

Утверждение 3.1. Если для матрицы A существуют правая и левая обратные матрицы В и С, то они равны.

Доказательство. В силу свойств операции умножения матриц и определений правой и левой обратной матрицы имеем:

C = C E = C(А В) = (C A)B = E B = B .

Замечание. В дальнейшем термины «правая» и «левая» мы будем опускать и будем говорить «обратная матрица» и называть матрицу В обратной к матрице А, если А В= B A = E .

Матрицу, обратную к матрице А, будем обозначать A−1 . Возникает вопрос: в каком случае матрица А имеет обратную

матрицу?

Теорема 3.1 (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Для того чтобы квадратная матрица А имела

обратную матрицу A−1 , необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 . Доказательство. 1). Необходимость. Пусть для матрицы А су-

ществует A−1 . Докажем, что det A ≠ 0 .

По определению обратной матрицы: A A−1 = E . В силу свойств определителей: det A det A−1 = det E = 1 . Следовательно, det A ≠ 0 .

2). Достаточность. Пусть det A ≠ 0 . Докажем, что для матри-

цы А существует обратная матрица A−1 . Пусть А – матрица n -го порядка

20