Основы теории цепей. Часть 1
.pdfНайти: мгновенное значение тока i в неразветвленной части цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.
Решение
1. Найдем комплекс тока в ветви с активным сопротивлением:
I& |
= |
1 |
e j 0° = |
1 |
A. |
|
|
||||
R |
2 |
2 |
|
||
|
|
2. Определим комплексные сопротивления ветвей с реактивными элементами:
X L = jωL = j103 1 10−3 = j1 Ом;
CωC 1000 500 10−6 = − j2 Ом.
3.Найдем напряжение на входе цепи (оно является одинаковым для всех параллельно включенных ветвей):jj
U& = RI& =1 1 = 1 В. 2 2
4. Подсчитаем токи в ветвях с реактивными элементами:
& |
|
= |
|
U& |
|
= |
1 |
|
= − j |
1 |
|
|
А; |
|
||||
IL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 j1 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
jX L |
|
|
|
|
|
|
||||||||
I&C = |
|
U& |
|
|
= |
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
j0,5 |
А. |
|||
− jX C |
|
|
2(− j2) |
|
2 |
|
5. Найдем комплекс тока в общей ветви по первому закону Кирхгофа:
I& = I&R + I&L + I&C |
= |
1 |
(1 − j + j0,5) = |
1 |
(1 − j0,5) = |
1,12 |
e− j 26,6° А. |
|
2 |
|
|||||
|
2 |
|
2 |
|
6. Мгновенное значение тока в общей ветви:
i(t) = 1,12 2 sin(1000t − 26,6°) =1,12sin(1000t − 26,6°) А. 2
121
7. Векторная диаграмма (рис. 3.32 и 3.33).
+j |
+j |
I&C |
U& |
U& |
|
I&R +1 |
I&R +1 |
I& |
I& |
I&L |
I&C I&L |
Рис. 3.32 |
Рис. 3.33 |
Построение векторной диаграммы параллельного соединения удобнее начинать с напряжения.
При построении токов параллельных ветвей удобно каждый последующий ток строить из конца предыдущего (см. рис. 3.33).
|
|
|
|
|
Задача 3. |
|
|
С2 |
|
|
Дано: электрическая цепь, изо- |
|
e1 |
|
e |
браженнаянарис. 3.34, длякоторой |
|
|
|
|
3 |
e1 = e2 = 20 2 sin 314t В; |
|
|
|
R2 |
i3 |
|
|
|
С1 |
|
С1 = С2 = 318,5 мкФ; |
||
i1 |
|
R3 |
|||
|
|
L = 16 мГн; |
|||
|
i2 |
L2 |
|
|
|
|
|
|
R2 = 5 Ом; R3 = 10 Ом. |
||
|
Рис. 3.34 |
|
|
Найти: токи ветвей методом |
|
|
|
|
узловых потенциалов и контурных |
||
|
Решение |
|
|
|
токов. |
|
|
|
|
|
Первые два пункта решения осуществляются независимо от выбранного расчетного метода.
1.Зададим положительные направления токов в ветвях.
2.Заменим мгновенные значения ЭДС, токов и сопротивлений их комплексными значениями (рис. 3.35):
122
E&1 = E&3 = 20 e j 0° = 20 В;
Z1 = − j |
1 |
= − j |
1 |
= |
|
314 318,5 10−6 |
|||
|
ωC |
|
||
|
1 |
|
|
|
= − j10 Ом; |
|
|
Z |
|
= R |
+ jωL |
− j |
1 |
= |
2 |
|
|||||
|
2 |
2 |
|
ωC2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
E& |
|
|
|
E& |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
I&11 |
|
Z 2 |
I&3 |
I&1 |
Z 1 |
& |
|
Z 3 |
|
|
|
& |
|||
|
|
I |
2 |
I |
22 |
= 5 + j314 16 10−3 − |
0 |
|
+ j10 = 5 + j5 − j10 = 5 − j5 Ом; |
||
Рис. 3.35 |
Z 3 = R3 =10 Ом.
Метод узловых потенциалов
В цепи (см. рис. 3.35) два узла, поэтому используем метод двух узлов.
3. Выбираем узел 0 опорным (его комплексный потенциал принимаем равным нулю). Система уравнений для узловых потенциалов вырождается в одно уравнение с одним неизвестным потенциалом узла 1:
Y 11ϕ&1 = J&11 , откуда ϕ&1 = J&11 .
Y 11
4. Определим коэффициенты уравнения и потенциал узла 1:
|
|
|
|
|
|
|
E& |
|
|
E& |
|
|
|
20 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
j 45° |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
J&11 = |
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
= j2 + |
2 = 2 2e |
|
А; |
||||||||||
|
|
|
Z1 |
Z 3 |
− j10 |
10 |
|
|||||||||||||||||||||||
Y11 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
= |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
= j0,1+ |
5 + j5 |
+0,1 = 0,2 + j0,2; |
|||||||||
Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Z 2 Z 3 |
|
− j10 5 |
|
− j5 10 |
|
25 +25 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
2 + j2 |
=10 |
В. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 = |
0, 2 + j0, 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5. По закону Ома определим токи в ветвях цепи: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I&1 = |
E& |
−ϕ& |
|
= |
20 −10 |
= j1 =1e j 90° А; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
− j10 |
|
|
123
I&2 = |
ϕ&1 |
= |
|
10 |
|
= |
2e |
j 45° |
А; |
||
Z 2 |
5 − j5 |
|
|||||||||
I&3 = |
E& |
−ϕ& |
|
= |
20 −10 |
=1 |
А. |
||||
3 |
1 |
|
|
|
|
||||||
Z 3 |
|
10 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Метод контурных токов
3.Выбираем независимые контуры и задаем направление контурных токов.
4.Записываем уравнения для контурных токов и подготовим численные значения коэффициентов:
Z |
|
I& |
+ Z |
|
I& |
= E& |
, |
|
|
11 |
11 |
|
12 |
22 |
11 |
|
|
Z |
21 |
I& |
+ Z |
22 |
I& |
= E& |
|
, |
|
11 |
|
22 |
22 |
|
где
Z11 = Z1 + Z 2 = 5 − j15 Ом; Z 22 = Z 2 + Z 3 =15 − j5 Ом;
Z12 = Z 21 = −Z 2 = −5 + j5 Ом;
E&11 = E&1 = 20 В; E&22 = −E&2 = −20 В.
5. Результат решения системы уравнений:
I&11 = j1 А; I&22 = −1 А.
6. Токи в ветвях:
I&1 = I&11 = j1 А; I&2 = I&11 − I&22 =1 + j = 2e j 45° А; I&3 = −I&22 =1 А.
7. Для проверки правильности решения составим уравнение баланса мощности. Комплекс полной мощности источника питания определяется как произведение комплекса ЭДС источника на сопряженный комплекс тока источника, причем при совпадении направлений ЭДС и тока это произведение берется со знаком «плюс», при несовпадении – со знаком «минус».
S%ист = E&1 I*1 + E&3 I*3 = 20(− j1) + 20 1 = 20 − j20 ВА; Рист = 20 Вт; Qист = –20 вар.
124
Комплексная мощность потребителей вычисляется как произведение комплексного сопротивления и квадрата действующего значения тока (модуля комплекса тока):
S% |
= Z I 2 |
+ Z |
2 |
I 2 |
+ Z |
3 |
I 2 |
= (− j10)12 + (5 − j5)( 2)2 +10 12 = |
|
потр |
1 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
= 20 − j20 В·А;
Рист = 20 Вт; Qист = – 20 вар.
Как видно, баланс мощностей выполняется, что свидетельствует о правильности расчета.
8. Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. На схеме (рис. 3.36) обозначим точки, в которых изменяется потенциал, и рассчитаем значения этих потенциалов по следующим формулам:
ϕ&b = 0 В;
ϕ&α = ϕ&b − I&1 (− jX&C1 ) = I&1 jX&C1 = j j10 = −10 В;
& |
& |
& |
|
=10 |
В; |
|
|
ϕa |
= ϕα + E1 |
|
|||||
& |
& |
& |
(− jX C2 ) |
=10 + (1 + j) j10 = j10 В; |
|||
ϕβ |
= ϕa |
− I2 |
|||||
& |
& |
& |
|
|
= j10 |
−(1 + j)5 = −5 + j5 В; |
|
ϕγ |
= ϕβ |
− I2 R2 |
125
проверка выполнения II закона Кирхгофа:
& |
& |
& |
jX L2 |
= −5 + j5 −(1 + j) j5 = 0 В; |
|||
ϕb |
= ϕγ |
− I2 |
|||||
& |
& |
& |
|
|
= −1 10 |
= −10 В; |
|
ϕf |
= ϕb |
− I3 R3 |
|||||
проверка: |
|
|
|
|
|
||
ϕf |
|
. |
|
=10 − 20 |
= −10 В; |
||
= ϕa − E3 |
|||||||
& |
& |
|
|
|
|
|
|
Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений представлены на рис 3.37.
Вопросы и упражнения для самоконтроля
1. Заменить пассивный двухполюсник (рис. 3.38) эквивалентным сопротивлением Zэкв , если R = XL = XC =
= 1 Ом. Какой характер имеет цепь по отношению к входным зажимам? Изобразить эквивалентный треугольник сопротивления.
2. Дана цепь переменного си-
нусоидального |
напряжения uвх (t) = |
= 300 2 sin 314t |
(рис. 3.39). Известно, |
что активная мощность данной цепи Р = 540 Вт, коэффициент мощности cos ϕ = 0,5. Определить:
1) показания амперметра;
2) сопротивления R и XL пассивных элементов цепи;
3) какое активное сопротивление R необходимо подключить последовательно к данной идеальной катушке индуктивности L для того, чтобы при увеличениичастоты питающего напря-
126
жения в 1,2 раза показание амперметра осталось неизменным при том жедействующем значении входного напряжения?
3. Известно, что в цепи (рис. 3.40) при R = XL = 10 Ом и ЭДС источника e(t) =100sin(ωt +45o ) В напряжение на источнике тока u j (t) =100sin(ωt +45o) В. Определить мгновенное значение заданно-
го тока j(t) источника тока.
4. В цепи (рис. 3.41)
E&1 = 20 2e j 45o В, E&2 = 20 В, R1 = = R2 = R3 = 10 Ом. Чему должны быть равны XL, XC, I&1 и I&2 , если известно, что I&3 = 0, мощ-
ность тепловых потерь составляет 40 Вт, а реактивная мощность цепи равна 0.
5. Даны показания измерительных приборов в цепи переменного синусоидаль-
ного напряжения |
(рис. 3.42) |
|||
UV = 120 В, |
IA1 |
=0,3 А, IA2 = |
||
=0, 6 А, |
IA3 |
=0, 2 А. |
Заменить |
|
данную |
цепь |
эквивалентной |
последовательной цепью и рассчитать параметры Rэкв и Хэкв. Чему равно действующее значение тока в преобразованной цепи при неизменном входном напряжении?
6. Определить частоту работы цепи (рис. 3.43), при которой показания вольтметра V1 больше показания вольтметра V2 в два раза.
127
3.6. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
Задание
1.По заданному номеру варианта изобразить цепь, подлежащую расчету, выписать значения параметров элементов.
2.Записать в общем виде систему уравнений Кирхгофа для полученной цепи.
3.Рассчитать токи во всех ветвях и напряжение на источнике тока методом контурных токов.
4.Составить баланс активных и реактивных мощностей.
5.Записать мгновенные значения токов ветвей и напряжение на источнике тока.
6.Записатьрешениеметодомузловыхпотенциаловвобщемвиде.
7.Рассчитать ток указанной ветви методом эквивалентного генератора.
8.Найти ток указанной ветви методом наложения в общем виде.
9.Определить потенциалы всех точек цепи и построить на комплексной плоскости векторную топографическую диаграмму напряжений и токов.
Выбор варианта цепи
1.Граф цепи, подлежащей расчету, выбирать в соответствии
срис. 2.27. Расположение источников напряжения и тока, а также пассивных элементов в ветвях выбирать с помощью табл. 3.1. Направление действия источников произвольное.
2. Численные значения параметров источников напряжения и тока выбирать с помощью табл. 3.2. Частота питающего напряжения и тока f = 50 Гц.
3. Численные значения параметров пассивных элементов определяются по формулам:
128
для четных ветвей |
для нечетных ветвей |
R = R0 + AR N; |
R = R0 + AR 3,5 N; |
L = L0 + AL N; |
L = L0 + AL 3,5 N; |
C = C0 + AC N; |
C = C0 + AC 3,5 N , |
где N – номер группы, значения коэффициентов R0, L0, C0 заданы в табл. 3.3, а каждый из дополнительных коэффициентов AR, AL, AC, имея соответствующую размерность (Ом, мГн, мкФ), равен сумме цифр номера варианта.
|
|
|
|
|
Таблица |
3 . 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Граф |
Расположение элементов в ветвях цепи |
|
|
|||
источник |
источник |
|
индуктив- |
|
|
||
варианта |
цепи |
резисторы |
емкость |
||||
|
|
напряжения |
тока |
|
ность |
|
|
1, 26, 51, 76 |
а |
1 |
3 |
2, 3, 4, 5, 6 |
2 |
|
6 |
2, 27, 52, 77 |
б |
1 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
|
4 |
3, 28, 53, 78 |
в |
3 |
6 |
1, 2, 4, 5, 6 |
4 |
|
1 |
4, 29, 54, 79 |
г |
5 |
1 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
|
5 |
5, 30, 55, 80 |
д |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
2 |
|
3 |
6, 31, 56, 81 |
е |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 6 |
1 |
|
4 |
7, 32, 57, 82 |
а |
3 |
6 |
1, 2, 4, 5, 6 |
1 |
|
2 |
8, 33, 58, 83 |
б |
5 |
1 |
1, 2, 3, 4, 5 |
4 |
|
2 |
9, 34, 59, 84 |
в |
4 |
1 |
1, 2, 3, 5, 6 |
2 |
|
6 |
10, 35, 60, 85 |
г |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
|
3 |
11, З6, 61, 86 |
д |
1 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
2 |
|
5 |
12, 37, 62, 87 |
е |
4 |
1 |
1, 2, 3, 5, 6 |
2 |
|
3 |
13, 38, 63, 88 |
а |
2 |
1 |
1, 3, 4, 5, 6 |
1 |
|
3 |
14, 39, 64, 89 |
б |
4 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
2 |
|
5 |
15, 40, 65, 96 |
в |
6 |
4 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
|
5 |
16, 41, 66, 91 |
г |
1 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
|
4 |
17, 42, 67, 92 |
д |
3 |
4 |
1, 2, З, 4, 5 |
1 |
|
3 |
18, 43, 68, 93 |
е |
6 |
3 |
1, 2, 3, 4, 5 |
4 |
|
2 |
19, 44, 69, 94 |
а |
2 |
3 |
1, 2, 3, 5, 6 |
5 |
|
1 |
20, 45, 70, 95 |
б |
3 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
1 |
|
2 |
21, 46, 71, 96 |
в |
1 |
3 |
2, 3, 4, 5, 6 |
2 |
|
6 |
22, 47, 72, 97 |
г |
3 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
4 |
|
2 |
23, 48, 73, 98 |
д |
4 |
5 |
1, 2, 3, 4, 5 |
3 |
|
2 |
24, 49, 74, 99 |
е |
3 |
2 |
1, 2, 4, 5, 6 |
5 |
|
6 |
25, 50, 75, 100 |
а |
5 |
4 |
1, 2, 3, 4, 6 |
3 |
|
4 |
129
Таблица 3 . 2
|
|
Е, В |
|
|
J, А |
|
Ветви |
АТ, |
АТПП, |
АТП, |
ЭС, |
АТПП, |
АСУ, АТ, |
КТЭИ, |
ТК, АСУ, |
ЭС, |
КТЭИ, |
ТК, |
КСК, |
|
|
АУЦ |
КСК |
ИН |
ИН |
АТП |
АУЦ |
1 |
50e–j60° |
150ej30° |
200e j0° |
3ej45° |
4ej150° |
5ej150° |
2 |
100e–j45° |
100ej60° |
150e –j45° |
2ej60° |
5ej0° |
4ej45° |
3 |
120e j30° |
200ej45° |
100e –j45° |
5e–j45° |
3e–j120° |
2ej30° |
4 |
141e j0° |
50e–j30° |
141e –j60° |
4e–j30° |
4e–j60° |
3ej0° |
5 |
150e j45° |
200e –j45° |
141e j45° |
3e–j60° |
5e–j45° |
5e–j60° |
6 |
100e –j90° |
120e –j60° |
150e j150° |
2ej45° |
4e–j150° |
3ej120° |
|
|
|
Таблица 3 . 3 |
|
|
|
|
Наименование |
R0, Ом |
L0, мГн |
С0, мкФ |
АСУ |
40 |
80 |
100 |
АT |
50 |
100 |
110 |
АТПП |
60 |
120 |
120 |
КТЭИ, ИН |
70 |
140 |
130 |
ТК, АУЦ |
80 |
160 |
140 |
ЭС, КСК |
90 |
180 |
150 |
АТП |
100 |
150 |
160 |
Пример расчета
Задание
Рассчитать цепь, изображенную на рис. 3.44, в которой
E& = 150e j 30o В; J& = 3e j 45o А; f = 50 Гц.
Параметры пассивных элементов:
R2 = R4 = R6 = 38 Oм; R5 = 66 Oм;
L3 = 176 мГн; XL5 = 2πfL = 55,292 Ом;
C4 = 136 мкФ; XC4 = 1/(2πfC) = 23,405 Ом.
Подлежащаярасчетусхемаимеетвид, представленныйнарис. 3.44 Число узлов n = 4. Число независимых контуров p = 3.
130