Основы теории цепей. Часть 1
.pdfЗапись уравнений Кирхгофа
Для произвольно выбранных и обозначенных на схеме (см. рис. 2.37) положительных направлений токов ветвей и совокупности независимых контуров запишем:
– уравнения по I закону Кирхгофа: для узла А: I1 – I2 – J3 = 0,
для узла В: I7 – I6 – I4 – I1 = 0,
для узла С: I4 + I2 – I5 = 0,
– уравнения по II закону Кирхгофа:
для контура I: I1R1 + I2R2 – I4R4 = E1,
для контура II: I4R4 + I5R5 – I6R6 = –E6, для контура III: I6R6 + I7R7 = E6,
для контура IV: J3R3 – I5R5 – I2R2 = UJ.
После подстановки численных значений коэффициентов получаем разрешимую систему уравнений с семью неизвестными вели-
чинами I1 , I2 , I4 , I5 , I6 , I7 , U J :
I1 − I2 |
= 2, |
|
|
|
|
|
|
|
I7 − I1 − I4 − I6 = 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
I4 + I2 − I5 = 0, |
|
|
|
|
||||
5, 4I1 + 6,8I2 −6,8I4 |
|
= 20, |
|
|||||
|
|
|||||||
6,8I4 +5, 4I5 −6,8I6 |
= −40, |
|
||||||
|
||||||||
6,8I6 +5, 4I7 |
= 40, |
|
|
|
||||
−6,8I |
|
−5, 4I |
|
−U |
|
|
|
|
2 |
5 |
J |
= −10,8. |
|||||
|
|
|
|
|
|
Метод контурных токов
Для рассматриваемой четырехконтурной цепи (см. рис. 2.37) система уравнений относительно контурных токов, совпадающих по направлению с обходом контуров, примет вид:
71
I R + I |
R |
+ I |
33 |
R |
+ I |
44 |
R |
= E , |
|
|||||||
11 |
11 |
22 |
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
11 |
|
|||||
I11R21 + I22 R22 + I33 R23 + I44 R24 |
= E22 |
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I11R31 + I22 R32 + I33 R33 + I44 R34 = E33 , |
||||||||||||||||
I R + I |
22 |
R + I |
|
R + I |
|
R = E |
44 |
. |
||||||||
11 |
41 |
42 |
|
|
33 |
43 |
|
|
44 |
44 |
|
|
Для выбранных контурных токов I44 = J3. Подсчитаем значения коэффициентов системы:
– собственные сопротивления контуров:
R11 = R1 + R2 + R4 =19 Ом, R33 = R6 + R7 =12, 2 Ом,
R22 = R4 + R5 + R6 =19 Ом, R44 = R2 + R3 + R5 =17,6 Ом;
–общие сопротивления контуров:
R12 = R21 = −R4 = −6,8 Ом, R13 = R31 = 0,
R14 = R41 = −R2 = −6,8 Ом, R23 = R32 = −R6 = −6,8 Ом, R24 = R42 = −R5 = −5, 4 Ом, R34 = R43 = 0;
– контурные ЭДС:
E11 = E1 = 20 В, E22 = −E6 = −40 В,
E33 = E6 = 40 В, E44 =U J .
После подстановки численных значений коэффициентов и необходимых преобразований система уравнений примет вид:
19I11 −6,8I22 + 0 I33 = 33,6, |
|
|
||||||
−6,8I11 |
+19I22 −6,8I33 |
= −29, 2, |
|
|||||
|
||||||||
0 I11 −6,8I22 +12, 2I33 |
= 40, |
|
|
|||||
|
|
|||||||
−6,8I |
−5, 4I |
22 |
+ 0 I |
33 |
=U |
J |
−35, 2. |
|
11 |
|
|
|
|
|
В случае решения данной системы при помощи определителей необходимо совместно решить систему из первых трех уравнений относительно неизвестных токов I11, I22, I33, а затем из четвертого уравнения системы определить UJ.
72
Результаты расчета системы уравнений следующие:
I11 =1,191 A, I22 = 0, 4 A, I33 =1,35 A, U J = 20,05 B.
В соответствии с принятыми (см. рис. 2.37) положительными направлениями токов в ветвях вычисляем их значения:
|
|
|
|
|
|
I1 = I11 =1,191 A, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
I2 |
= I11 − I44 = −0, 09 |
A, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
I3 = J = 2 A, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
I4 |
= I22 − I11 = −1,51 A, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I5 = I22 − I44 = −1, 6 A, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
I6 |
= I33 − I22 = 3,1 A, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I7 |
= I33 = 3,5 |
A. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Баланс мощности |
|
|
|
||||||
Мощность источников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Pист |
= E1I1 + E6 I6 +U J J = 202, 2 |
Вт. |
|
|||||||||
Мощность потребителей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P |
= I 2 R + I 2 R + J 2 R + I |
2 R + I 2 R + I |
2 R + I 2 R = 202,17 Вт. |
|||||||||||||
потр |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
||
Оценим относительную погрешность расчета: |
|
|||||||||||||||
|
σ = |
Рист |
− Рпотр |
|
100% = |
|
202, 2 |
− 202,17 |
100% |
= 0,074%. |
||||||
|
Р |
+ Р |
|
202, 2 |
+ 202,17 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ист |
|
потр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод узловых потенциалов
В соответствии с алгоритмом расчета (см. раздел 2.3.3) принимаем потенциал узла А равным нулю (см. рис. 2.37). Составим систему уравнений по методу узловых потенциалов относительно
ϕВ, ϕС, ϕD:
73
ϕBGBB + ϕC GBC + ϕDGBD = J BB ,
ϕBGCB + ϕC GCC + ϕDGCD = JCC ,
ϕ + ϕ + ϕ =
BGDB C GDC DGDD J DD .
Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:
– собственные проводимости узлов:
GBB |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
= 0,664 См, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R1 |
|
R4 |
R5 |
|
|
|
|
|
R7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
GCC |
= |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
|
= 0, 479 |
См, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
R4 |
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
GDD |
= |
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
= 0,517 |
См; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R7 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
– общие проводимости узлов: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
GBC |
= GCB |
= − |
1 |
|
|
|
= −0,147 См, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
GBD |
= GDB |
= − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= −0,332 См, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
R7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
GCD |
= GDC |
= − |
1 |
|
|
|
= −0,185 См; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
– узловые токи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
JBB |
= − |
E1 |
− |
E6 |
= −9,582 A, |
JCC = 0, JDD |
= |
E6 |
+ J = 7,882 A. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
Система уравнений после подстановки численных значений коэффициентов примет вид:
0, 664ϕB −0,147ϕC −0,332ϕD = −9,582, |
|
−0,147ϕB + 0, 479ϕC −0,185ϕD = 0, |
|
|
−0,332ϕB −0,185ϕC + 0,517ϕD = 7,882.
74
Результаты расчета системы уравнений:
ϕB = −9, 668 B, ϕC = 0, 6048 B, ϕD = 9, 249 B.
Рассчитаем значениятоковвветвяхпообобщенномузаконуОма:
I = ϕB −ϕA + E1 =1,191 A, I |
2 |
= |
ϕA −ϕC = −0, 09 |
A, I |
3 |
= J = 2 A, |
||||
1 |
R1 |
|
|
R2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
I4 |
= ϕB −ϕC = −1,51 A, |
I5 |
= ϕC −ϕD = −1,6 |
A, |
|||||
|
|
R4 |
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
|
I6 |
= ϕB −ϕD + E6 = 3,1 A, |
I7 |
= ϕD −ϕB |
= 3,5 |
A. |
||||
|
|
R6 |
|
|
|
|
R7 |
|
|
|
Метод эквивалентного источника напряжения
Определим ток I2 методом эквивалентного источника напряжения в соответствии с разделом 2.3.5 по формуле
I2 = |
Uхх |
. |
|
Rвх + R2 |
|||
|
|
Определим напряжение холостого хода Uxx между точками А и С, когда ветвь 2 разомкнута, а сопротивление R2 удалено (рис. 2.38).
Для определения Uxx составим уравнение по II закону Кирхгофа для контура цепи, обозначенного на рис. 2.38 и включающего в себя участок AС с напряжением Uxx:
I1x R1 +Uxx − I4 x R4 = E1 ,
поскольку I1x = J, то из вышеприведенного выражения следует, что для определения Uxx необходимо вычислить ток I4x,
I4 x |
= |
U BD |
. |
||
R4 |
+ R5 |
||||
|
|
|
75
|
R1 |
A |
R3 |
|
|
|
|
|
|
I1х |
+ |
Uхх |
|
|
|
|
|||
E1 |
– |
|
J3 |
|
R4 |
|
|
||
|
C |
R5 |
+ |
|
|
I4х |
|||
|
|
|
B |
D |
|
R6 |
|
E6 |
R7 |
Рис. 2.38
Методом двух узлов определим
|
|
|
|
|
J + |
E6 |
|
|
|
|
|
|||||
U DB |
= |
|
R6 |
|
|
=19, 03 B, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
R + R |
|
|
R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
||||||||
|
|
4 |
5 |
|
6 |
|
7 |
|
||||||||
I4 x |
= |
U BD |
|
|
= |
|
−U DB |
|
= −1,56 A. |
|||||||
R4 + R5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
R4 + R5 |
Тогда Uхх = – 1,406 В.
Для подсчета Rвх относительно зажимов ветви 2 необходимо из цепи, показанной на рис. 2.38, образовать пассивную цепь
(рис. 2.39).
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
R R |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R4 |
R5 |
|
|
6 7 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
||||||||
R |
= R |
|
= R |
+ |
|
|
|
|
+ R7 |
= 9,16 |
Ом. |
||||
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
вх |
|
1 |
|
R |
+ R |
|
+ |
|
R6 R7 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
R6 + R7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
76
Окончательно получаем
I2 |
= |
Uxx |
= −0,09 A, |
|
|||
|
|
Rвх + R2 |
что совпадает с результатом, полученным при расчетах цепи методами контурных токов и узловых потенциалов.
Метод наложения
Определим ток I2 методом наложения.
Подлежащая расчету цепь представляет собой суперпозицию трех подсхем (рис. 2.40, а – в).
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E1 от действия
источника ЭДС E1 (см. рис. 2.40, а), для чего воспользуемся законом Ома:
I E1 = I E1 = |
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
=1, 25 A. |
||
|
R R |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 7 |
|
+ R5 |
R4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R6 + R7 |
|
|
|
+ R + R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
R6 R7 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ R + R |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R6 + R7 |
5 |
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E6 от действия источника ЭДС E6 (см. рис. 2.40, б), для чего сначала определим ток I6E6 по закону Ома:
I6E6 = |
|
|
|
|
E6 |
|
|
= 0,892 A. |
|||
|
( R |
+ R ) R |
+ R5 |
|
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
1 |
2 |
4 |
R7 |
|
|||||
|
R + R + R |
|
|||||||||
|
|
|
+ R |
|
|||||||
|
1 |
2 |
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( R1 + R2 ) R4 |
|
|
|
6 |
|
||||
|
|
+ R + R |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
R1 + R2 + R4 |
|
|
5 |
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
77
78
По формуле токов в параллельных ветвях определим ток I5E 6 ,
|
|
|
|
I5E6 |
= I6E6 |
|
|
|
R |
|
|
|
= 1,386 A. |
|||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( R + R |
) R |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
4 |
+ R + R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 + R4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользовавшись формулой токов в параллельных ветвях, |
||||||||||||||||
определим искомый ток I2E6 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
I E6 |
= I E6 = I E6 |
|
|
|
R4 |
|
= 0, 496 A. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5 |
|
R1 + R2 + R4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для определения составляющей тока второй ветви I2J3 от дей- |
||||||||||||||||
ствия источника тока |
J3 необходимо преобразовать треугольник |
|||||||||||||||
сопротивлений R4 R5 R6 |
в эквивалентную звезду (рис. 2.40, г) с сопро- |
|||||||||||||||
тивлениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R45 |
= |
|
|
R4 R5 |
|
= 1,933 |
Ом, |
R46 = |
|
R4 R6 |
= 2, 434 Ом, |
|||||
|
R4 |
+ R5 |
|
|
R4 + R5 + R6 |
|||||||||||
|
|
|
+ R6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
R56 |
= |
|
|
R5 R6 |
|
= 1,933 Ом |
|
|
|
|
|
|||||
|
R4 |
+ R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и треугольник сопротивлений R46 R56 R7 в эквивалентную звезду (рис. 2.40, д) с сопротивлениями:
RI = |
|
R46 R56 |
= 0, 482 |
Ом, RII = |
R56 R7 |
= 1,069 Ом, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R46 + R56 + R7 |
|
|
|
|
R46 + R56 + R7 |
|
||
RIII |
= |
|
R46 R7 |
|
= 1,346 |
Ом. |
|
|
||
R46 |
+ R56 + R7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
После преобразований ток I2J3 определяется по формуле токов в параллельных ветвях:
79
I J3 |
= J |
|
|
|
R1 + RIII |
|
= 0,846 A. |
|
3 R |
+ R |
+ R |
+ R |
|
||||
2 |
|
+ R |
||||||
|
|
1 |
III |
2 |
45 |
I |
Полный ток
I2 = −I2E1 + I2E6 + I2J3 = −0,09 A.
Полученный результат совпадает со значением, полученным другими методами.
80