Из приведенной табл. 4.1 видно, что любая оценка 0„ параметра 0 является функцией от элементов выборки х,,х2,..., хп,

л	(4.2)
0„ = ф(х,,х2,...,х„).

Любая функция от элементов выборки называется статистикой. Поскольку элементы выборки могут принимать от выборки к выборке

л

случайные значения, то 0„ является случайной величиной как функ­ ция системы случайных величин.

Оценки параметров закона распределения случайной величины X делятся на точечные и интервальные. Точечная оценка параметра 0 оп-

л

ределяется одним числом 0„ = ф(х,,х2,...,х„). Интервальная оценка ха-

А	А
рактеризуется двумя числами 0i	и 02 - концами интервала, который
содержит в себе оцениваемый параметр 0.
Пример 4.1. Закон распределения (плотность распределения веро­
ятностей) случайной величины X имеет два параметра 0, и 02
/I (X, 0,, 02) = /; (х, тх,ст2г) = - = 1 = е			(Х-П'х)2
				2о?	(4.3)
	у/2п<т2				7
	А	А	А	А
					*

Здесь 0, = тх; 02 = а 2х. Следовательно, 0i = тх; 02 = <т.г.

4.4. Общие свойства точечных оценок

Одна из основных задач статистической обработки результатов измерений заключается в таком выборе функции ср(х,,х2,...,хл) , что-

л

бы оценка 0» с возможно большей точностью характеризовала оце­ ниваемый параметр 0.

Рассмотрим свойства точечных оценок. Свойство 1 заключается

А

в следующем: оценка 0„ = ф(х,,х2,...,х„) называется несмещенной, ес­ ли ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру 0, т.е.

М[0„ ] = А/[ф(х,,х2,..., х„)] = 0.

(4.4)

А

Оценка 0„ называется асимптотически несмещенной, если (рис. 4.2)

НшА/[0„] = НтМ[ф(х1,х2,...,х„)] = 0.

(4.5)

Оценка 0„ называется смещенной, если (рис. 4 .3 )

А/[9„]=е+бя(е),

(4 .6 )

л

где Ьп(0 ) - смещение оценки 0 „.

На рис. 4.3: /|( 0 „) обозначает плотность распределения вероятно-

л

стей оценки 0 „.

л

Из (4.6) и рис. 4.3 видно, что если 6„(0) = 0 , то оценка 0 „ являет­

ся несмещенной.

л

Свойство 2 точечных оценок заключается в следующем: оценка 0„ является состоятельной, если точность оценки возрастает с увеличением

объема выборки п, а при п -> оо оценка 0 П сходится по вероятности

к 0, т.е. (рис. 4.4)
Л	\
НшЛ 0 л —0 > 8	= 0 ,	(4.7)
	)

где е - любое сколь угодно малое положительное число.

л

Достаточным условием состоятельности оценки 0„ является схо­

димость 0 „ к 0 в среднеквадратическом			смысле, т.е.
/	Л	2	^
lim М	0 л- е		(4.8)
Л->оо			)
\

Достаточное условие состоятельности смещенной оценки 0 « по-

л

ясняет рис. 4.5, а несмещенной оценки 0„ - поясняет рис. 4.6.

На рис. 4.6 £>[0] обозначает дисперсию оценки 0„.

л

Для несмещенной оценки 0„ имеем

£>[0„] = М[(0„- М[к])2] = М [ ( к - 0)2] .

(4.9)

Д ля смещенной оценки 0„ с учетом соотношения (4.6) получим (0 „ - 0 ) 2 =[(0 „-Л/[0 „]) + 6„(0 )]2

ИЛИ

(0 „ - 0 ) 2 =(0 „-М [0 п])2	+2^(0Х0»-Л/[в»]) + ^(0)-	(4.10)
Из (4.1 0 ) с учетом (4.9) имеем
А/[(0„ - 0) 2	] = Д0„ ]+ 6 2(0).	(4.11)

Свойство 3 точечных оценок заключается в следующем: несме-

л

щенная оценка 0 „ называется эффективной, если дисперсия оценки

А

Z)[0„] имеет минимальное значение (рис. 4.7).