Планирование эксперимента в химической технологии
..pdfпо хс при ограничениях: |
|
|
|
|
А\ |
Xi ^ |
А2 |
(XI |
0); |
В1^ х2^ |
В2 |
(х2 |
0); |
|
0 ^ |
%з ^ |
|
С*з ^ |
0)- |
Оценка области определения факторов. Для всех факторов по результатам предварительного эксперимента и теоретическим по ложениям была принята следующая область существования фак торов:
1000 < Хх < 4000, об/мин;
7 0 < Х 2< 130, °С;
0 < Х3< 100, мин.
Выбор нулевых уровней. Предлагается центр плана поместить в точку с координатами (на основании априорной информации):
Х10 — 2500 об/мин; Х2х— 100° С;
Х30 — 45 мин.
Выбор интервалов варьирования факторов. Для реализации этого этапа планирования эксперимента в факторном пространстве выбирается область проведения эксперимента со следующими ин тервалами варьирования относительно нулевых уровней:
АХг = 500 об/мин;
АХ2= 10° С;
АХ3 = 15 мин.
Построение матрицы планирования эксперимента. Постановка задачи требует получения математической модели. Воспользуемся планом ПФЭ типа 2 3 — планирование двухуровневое, три фактора, 8 опытов (табл. 29). Учитывая невысокую воспроизводимость при няли число параллельных опытов равное двум. Реализация прово дилась блоками по 8 опытов за два дня без рандомизации.
Расчет коэффициентов линейного уравнения регрессии:
Ь0= 2,95 10-4;
= 0,45 10-4;
Ь2 = — 1,066 • 1 0 “ 4;
Ь9= 0,92 10“ 4
Часть расчетов выполнена в столбцах матрицы.
Расчет ошибки опыта. Построчные дисперсии s„ вычислены по формуле (72) и внесены в столбец матрицы планирования.
Н а и м ен о в а н и е |
*1 |
*2 |
А, |
|
|
А пр иорн ы е св ед ен и я |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Нулевой уро |
2500 |
100 |
45 |
Ьц = |
0 |
^12 ^ ^ |
|
|
|
||
вень, |
Xf0 |
|
|
|
|||||||
Интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
варьирова |
500 |
10 |
15 |
Ь22 = |
0 |
0 |
&123 = 0 |
|
|||
ния, |
AXi |
|
|||||||||
Верхний уро |
3000 |
по |
60 |
|
|
|
|
|
|
||
вень, |
X iB |
|
|
|
|
|
|
||||
Нижний уро |
|
90 |
30 |
Ь$з = |
0 |
Ь2з ^ О |
|
|
|
||
вень, |
Х{Н |
2000 |
|
|
|
||||||
|
|
|
П лан |
|
П ер ем е н н а я состоя н и я |
|
Р асчеты |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Опыты |
*0 |
*i |
х2 |
*3 |
УиI 104 г/ы2 -1°4 |
Уил 04 |
SU• 10‘“ |
~Уи-1(н |
(уц- у У- |
||
|
108 |
||||||||||
1 |
+ 1 |
+ i |
+ i |
+ i |
1,09 |
0,71 |
0,90 |
7.22 |
0,514 |
0,1521 |
|
1,34 |
0,94 |
U 4 |
8,00 |
1,414 |
0,0729 |
||||||
2 |
|
— 1 |
+ i |
+ i |
|||||||
+ 1 |
+ i |
3,07 |
2,65 |
2,86 |
8,82 |
2,646 |
0,0441 |
||||
3 |
+ 1 |
— 1 |
+ i |
3,22 |
8,00 |
3,546 |
0,1089 |
||||
4 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
+ i |
3,42 |
3,02 |
8,00 |
2,356 |
0,1156 |
||
5 |
|
+ i |
+ i |
— 1 |
2,90 |
2,50 |
2,70 |
||||
+ 1 |
— 1 |
3,01 |
2,59 |
2,80 |
8,82 |
3,256 |
0,2116 |
||||
6 |
+ 1 |
— 1 |
+ i |
8,00 |
4,488 |
0,9025 |
|||||
7 |
+ 1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
3,74 |
3,34 |
3,54 |
1,0820 |
|||
8 |
+ 1 |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
6,64 |
6,26 |
6,45 |
7.22 |
5,388 |
||
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
2 = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
= |
64,08 X |
|
=2,4897х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ХЮ“ 10 |
|
х и т -8 |
Для проверки однородности определяем, что
= 8,82 10- ]° = о 1 3 7 8 < G T = 0,679.
р64,08 10—10
Табличное значение GT найдено при h = 1, / 2 = 8 , Ц= ° > 0 5
(см. приложение 7). Рассчитываем ошибку опыта:
i 0 — L 64,08 • 1<Г,0« 8,01 Ю-10.
О
Проверка значимости коэффициентов регрессии. Вычисляем ди сперсию коэффициентов уравнения регрессии по формуле (/oj.
4 = |
8-01 • 1QI ^ = 1 ,0 0 . 10 |
- |
|
|
,— Ю . |
% = V \ ,0 0 10- ‘° = 1,00 - 10
Найдем доверительный интервал для |
bt по формуле (79): |
||||
| АЬ(| = ^ = 2,3 • |
100 • 10~ 5 = |
0,23 • |
К Г4; |
|
|
tT[f = N (m — 1) = |
8 ( 2 — 1 ) = |
8 , |
q = |
0,05) |
= 2,3. |
По условию (80) все коэффициенты значимы.
Проверка адекватности уравнения регрессии. Дисперсию аде
кватности |
рассчитаем |
по результатам последнего столбца табл. 29 |
|||||||
и формуле |
(81): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4д = |
-дГГТ • 2-4897 |
10-8 - i.2448 • 10_8- |
|
|||||
Адекватность |
уравнения |
проверяем |
по |
условиям |
(82) |
и (83): |
|||
Fp = ' м Т т о ^ 8' = |
1 5 > ^ |
= |
3 >8 4 |
V* = |
4, / 0 - 8 , |
д - |
0,05). |
Полученное линейное уравнение неадекватно описывает экспе риментальные данные.
Принятие решений. Наиболее корректное решение — повторе ние эксперимента при уменьшенных интервалах варьирования фак торов. Однако внимательный анализ квадратов отклонений
(уи — уи)2 по строкам матрицы плана показывает, что наибольший вклад (подавляющий) в дисперсию адекватности вносят два послед них опыта. Отсюда рекомендация — повторить опыты № 7 и № 8 . После уточнения их значений можно переходить к крутому вос хождению.
§ 3. Разновидности алгоритмов обработки результатов ПФЭ типа 2п
ПФЭ с параллельными опытами в одной точке фактор ного пространства. Часто экспериментатору известна заранее хо рошая воспроизводимость опытов на объекте исследования, что поз воляет ему не проводить проверку однородности дисперсий в точках факторного пространства, считая выполнимость этого условия фак том установленным. Такая априорная информация резко сокращает число опытов, поскольку не надо повторять опыты каждой строки матрицы планирования эксперимента. В таком случае для расчета ошибки опыта достаточно поставить несколько параллельных опы тов в одной из точек факторного пространства. Обычно такой точ кой принимают центр плана, где реализуется 3—4 опыта и по ним
рассчитывается |
согласно формуле: |
|
|
N 0 |
(84) |
|
V (j/ufe_ - ) 2' |
iV° 1 Л«=1
где yok — значения переменной состояния в центре плана; yQ— среднее значение переменной состояния в центре плана; N0 — число опытов в центре плана.
Рассмотренная особенность объектов исследования и, следовательно, ПФЭ несколько изменяет алгоритм расчета, изображенный на рис. 11: выпадают блоки 3 и За. В остальном алгоритм ПФЭ не изменяется.
Пример 4 [38, с. 8—11]. Исследовалось влияние температуры и концентрации раствора, а также продолжительности процесса на скорость кристаллизации фторида алюминия в промышленных условиях его получения (взаимодействие гидроксида алюминия и плавиковой кислоты). Переменной состояния была выбрана средняя скорость кристаллизации A1FS за время опыта, измеряемая в %/ч.
Для решения задачи оптимизации был реализован ПФЭ типа 2 » с тремя параллельными опытами в центре плана. Матрица планирования и необходимые расчеты приведены в табл. 30.
Таблица 30. Матрица планирования эксперимента и результаты расчетов
Наименование |
|
|
|
*2 |
|
|
Рассчитанное уравнение регрессии |
|||||
Нулевой[ |
|
уро- |
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
вень |
|
|
90 |
22 |
2 |
|
9,34 + 0,89;с1 -f- 2,15*2 -|- 1»41*з |
|||||
Интервал |
варьи |
|
|
|
0,5 |
у = |
||||||
рования |
|
|
10 |
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
План |
|
|
Переменная |
Расчеты |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состояния |
|
|
Опыты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уи |
i'hi |
(у - УиУ |
|
1 |
+ |
i |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
9,86 |
10,91 |
1,1020 |
|
2 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
9,09 |
9,25 |
0,0256 |
|||
3 |
+ i |
+ |
1 |
— 1 |
+ |
1 |
6,35 |
6,61 |
0,0676 |
|||
4 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
+ |
1 |
6,41 |
4,95 |
2,1320 |
||||
5 |
+ |
i |
+ |
1 |
+ |
1 |
— 1 |
15,00 |
13,73 |
1,6130 |
||
6 |
+ i |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
12,02 |
12,07 |
0,0025 |
||||
7 |
+ i |
+ |
1 |
— 1 |
— 1 |
9,48 |
9,43 |
0,0025 |
||||
8 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
— 1 |
6,52 |
7,77 |
1,1562 |
|||||
9 |
+ |
i |
|
0 |
|
0 |
0 |
9,12 |
|
2>(уи-Уи)2 = |
||
10 |
+ |
i |
|
0 |
|
0 |
0 |
10,30 |
|
|||
11 |
+ i |
|
0 |
|
0 |
0 |
5,80 |
|
= 6,5072 |
|||
|
|
|
|
у0 = |
9,74; |
s20 = |
0,2938, |
Ь0 = |
9,34 |
|
||
|
sg = |
0,29/8 = 0,036; |
/т = 4,3 |
(/0 = |
2, q = 0,05) |
Ъг = 0,89 |
||||||
|
|
|
|
|Д6(| = 4,3 /ОДЙГ= |
0,82 |
Ь2 = |
2,15 |
|
||||
|
|
|
|
*ад = |
8~ Г 4 ' 6,5072 * * 1,63 |
Ьз = |
1,41 |
|
f P = W |
= 5 '6 ; F r = 1 9,25 </ а д = 4 ’ f o = 2 ’ ? = 0 -0 5 )- F P < F T |
Выводы:
1.Все коэффициенты (линейные и свободный член) оказались значимыми.
2.Линейное уравнение оказалось адекватным.
3.Можно принять решение о переходе к крутому восхождению.
ПФЭ при разном числе параллельных опытов. На практике иног да невозможно выдержать одинаковое число параллельных опытов по каждой строке матрицы планирования. Это происходит либо из-за случайных грубых нарушений условий эксперимента, когда опыт признается неудачным, а повторить его по каким-либо причи нам нельзя, либо вследствие неуверенности экспериментатора в точ ности опыта. Обычно эти сомнения появляются после реализации матрицы планирования, особенно, если опыты проводили недоста точно квалифицированные лаборанты.
Последовательность обработки результатов эксперимента при неравном числе параллельных опытов не нарушается, однако ал горитм расчета меняется вследствие нарушения ортогональности матрицы планирования. Это изменяет расчетные формулы для коэф фициентов регрессии и их ошибок, а также для дисперсии адекват ности.
Расчет коэффициентов уравнения регрессии.
Вследствие неортогональности матрицы планирования коэф фициенты регрессии нельзя рассчитывать по формуле (69). В этом случае необходимо решать систему нормальных уравнений
В = (XTX ) - lX rY, |
(85) |
где X — матрица факторов эксперимента; |
У — матрица наблюде |
ний переменной состояния.
При этом рекомендуется пользоваться стандартными програм мами ЭВМ.
Расчет ошибки опыта. Рассчитываются построчные дисперсии si:
Su = '7X ~ J |
2 (Уик—Р0)4* |
<86> |
ти— 1 |
k~\ |
|
где ти — параллельные опыты и-ой строки матрицы планирования. Для усреднения построчных дисперсий используют средневзвешен ные значения дисперсий, взятые с учетом числа степеней свободы fu для строки матрицы планирования:
|
|
|
N |
|
|
9 _ |
ffil + 4/2+ |
+ SAr/W |
2 |
и |
|
ы- 1 |
(87) |
||||
0 |
/1 + /2 + |
+ f N |
N |
||
|
|||||
2 |
Л. |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
и=1 |
|
|
где = /щ — 1 , / 2 |
= /л» — 1 , |
или в |
общем виде: |
f u = m u — |
!• |
(88) |
|
При неравном числе параллельных опытов для проверки одц,. родности дисперсий применяется критерий Бартлета. Для этого р^*
считывают величину А: |
|
с* |
||
|
|
|
|
(Ч) |
где С - |
0,4343 1 + |
з (А/ " 7 у |
-----г ) |
: f " 2 fu ~ чис% |
степеней |
свободы; N — число |
сравниваемых |
дисперсий (здесь |
|
количество равно числу строк матрицы). |
к |
|||
Бартлет доказал, |
что рассчитанная величина А приближает^ |
|||
к X2 распределению с (N — 1) степенями свободы. Тогда, если в ^ |
||||
полняется неравенство: |
|
|
||
|
|
Лр = хр2 < х * . / |
(%) |
|
|
|
|
и= 1 |
|
то дисперсии признаются однородными. |
|
|||
З а м е ч а н и е : |
Критерий Бартлета базируется на нормально^ |
распределении случайной величины уи. Поэтому желательно прове, рить нормальность закона распределения уи.
Учитывая сложность применения критерия Бартлета при раз^ ном числе параллельных опытов, рекомендуется использовать крц, терий Фишера. Для этого определяют отношение максимальной п<>. строчной дисперсии к минимальной:
F
шах |
(91) |
|
|
min |
|
Очевидно, что, если выполняется условие
(92)
ПРН f"шзх = m “ m a x - Ь /«min = "Чип ~ 1 И ЗаДЗННОМ УРОВНе
значимости q, т. е. максимальная и минимальная дисперсии отли чаются незначимо, то и остальные дисперсии отличаются незначи мо. Таким образом, гипотезу об однородности дисперсий можно при знать при выполнении условия (92).
Проверка значимости коэффициентов регрессии не отличается от приведенной выше при равном числе параллельных опытов. Следует отметить, что смысл проверки несколько меняется вслед ствие неортогональности матрицы планирования, что приводит к
появлению недиагональных элементов в матрице (Х ТХ ) ~ 1 (см. при ложение 2). Однако их величина небольшая, и поэтому критерий Стьюдента можно использовать как средство ранжирования коэф
фициентов регрессии в соответствии с формулами (77) и (78), числом
N
степеней свободы / 0 “ 2 fu и заданным уровнем значимости.
1
Проверка адекватности уравнения рег |
Таблица |
31. |
Построение |
||||
рессии. |
Дисперсию |
адекватности рассчи |
дисперсии с |
разным |
|
||
тывают по формуле: |
|
|
числом параллельных |
||||
|
|
опытов |
|
|
|
||
|
s an ” P J I |
т а {уи |
У и )2> |
Опыты |
|
4 |
|
где ти — число параллельных опытов и-ой |
1 |
3,50 |
4 |
||||
строки. |
|
|
|
||||
Физический смысл формулы таков: раз |
2 |
4,22 |
5 |
||||
личию между экспериментальным и расчет |
3 |
5,88 |
3 |
||||
4 |
11,36 |
3 |
|||||
ным значением переменной состояния при |
|
|
|
|
|||
дается |
тем большее значение, |
чем больше |
|
|
|
|
опытов реализуется. Здесь ти играет роль весового коэффициен
та. Для проверки адекватности используется |
критерий |
Фишера |
|||||||||||||
по формулам (82) и (83) |
с числом степеней свободы /ад = |
N — I |
|||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
уровнем значимости q. |
|
|
|
||||||
и |
/о = 2 |
fu |
и заданным |
|
|
|
|||||||||
|
|
U=*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. В четырех опытах с разным числом параллельных |
|||||||||||||||
наблюдений получены результаты, приведенные в табл. 31. |
|
|
|||||||||||||
Необходимо |
рассчитать ошибку опыта |
и критерий |
Бартлета, |
||||||||||||
а затем провести проверку однородности дисперсий. |
|
|
|
||||||||||||
Решение. Находим |
4 |
fu = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
so = |
5,79. По формуле |
(89) вы |
||||||||||||
числяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С = |
0,4343 [l + |
3(4- 3 iy ( - r |
+ 4 " + |
~ r + - § -------В-). = |
0,4850; |
||||||||||
|
|
Ар = X* = |
|
(15 lg 5,79 - |
4 lg 3,50 - |
5 lg 4,22 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
— 3 lg 5,88 — 3 lg 11,36) = |
1,370. |
|
|
|
|||||||
Табличное |
значение |
X? = 7,815 |
при |
|
q = |
0,05 |
и / = |
4 — 1 = 3 , |
|||||||
тогда |
Хр < |
X?, |
поэтому |
дисперсии однородны. |
|
|
|
|
|||||||
Таблица |
32. |
Матрица планирования эксперимента |
и результаты расчета |
||||||||||||
|
|
План |
Переменная состояния |
|
|
|
|
Расчеты |
|
|
|
||||
Опы |
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ты |
|
|
Уи1 |
Уи2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уи |
Уи |
Уи |
Уи (Уи -Уи)‘ п{Уи~Уи)2 |
4 |
|
‘I t и |
|||||
1 |
+1 |
|
—1 |
4,5 |
5,5 |
5,0 |
4,59 |
0,41 |
0,16 |
0,32 |
0,5 |
0,5 |
|||
2 |
+1 |
+ i |
— 1 |
3,0 |
— |
3,0 |
3,79 |
0,79 |
0,64 |
0,64 |
0 |
|
0 |
||
3 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
2,0 |
2,0 |
2,0 |
1,89 |
0,11 |
0,01 |
0,02 |
0 |
|
0 |
||
4 |
+1 |
+ i |
4-1 |
0,5 |
1,5 |
1.0 |
1,09 |
0,09 |
0,01 |
0,02 |
0,5 |
0,5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 1,00 |
|
|
2 = 1,0 |
1
Пример 6. [3, с. 206]. Предположим, что на объекте исследова ния был реализован план. ПФЭ типа 22 с двумя параллельными опытами в каждой точке факторного пространства. Один из опытов был признан непригодным, а повторно реализовать его нельзя. Матрица планирования и результаты ее реализации приведены в
табл. 32.
Определить коэффициенты математической модели и провести
статистический |
анализ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. 1. Расчет коэффициентов уравнения регрессии про |
||||||||||||||||
ведем в матричной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
— 1 |
- . |
1 |
|
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 |
|
|
|
+ 1 |
+ 1 |
— 1 |
||||||||||
+ 1 |
хт= |
+ 1 — 1 |
+ 1 |
|||||||||||||
X = - 1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 + 1 |
+ 1 |
||||||||
- 1 |
- 1 |
+ 1 +1 - 1 +1 +1 |
|
+ 1 — 1 — 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
— 1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ + |
1 |
+ 1 |
+ |
1 _ |
|
|
|
|
хтх = |
|
7 |
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" 4 , 5 " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
3,0 |
|
|
|
|
|
■ + 1 |
+ 1 |
+ 1 + 1 |
+ 1 |
+ 1 |
2 ,0 |
|
|
19 ' |
|||||||
Х ТУ = |
- 1 |
+ 1 |
— 1 |
+ 1 |
— 1 |
—1 |
+ 1 |
0,5 |
|
= |
— |
9 |
||||
|
— 1 |
— 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- |
1 |
+ |
1 |
+ 1 |
5,5 |
|
|
— |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,15 |
|
0,025 |
— 0,025 |
|
|
|
|
|||
|
(ХТ)Х-1 |
|
0,025 |
|
0,15 |
— 0,025 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
— 0,025 |
|
— 0,025 |
0,15 |
|
|
|
|
|||
Ь0 = 0,15 (+ |
19) + |
0,025 (— 9) + |
( - 0,025) ( - 7) = |
2,80; |
|
|||||||||||
Ьх = 0,025 (+ |
19) + |
0,15 (— 9) + |
(— 0,025) (— 7) = |
- 0,70; |
|
|||||||||||
Ь2 = (— 0,025) (+ 19)+ (— 0,025) (— 9) + |
0,15 (— 7) * |
— 1,30. |
||||||||||||||
2. Расчет ошибки опыта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= (4,5 - |
5,0)2 + |
(5 ,5 — 5,0)2 = |
0,5; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
si * |
0; S3 = |
0; |
s2 = 0,5; |
|
|
|
|
|
i s u2 = i,o .
U = 1
В соответствии с формулой (87)
2 |
0 ,5 — 1 + 0 + О + 0,5 |
= 0,33, |
2fu = 3; |
So = |
|
поскольку по формуле (91) Fp = -М = 1 и Fp < FT, то дисперсии
однородны.
3. Оценка значимости коэффициентов регрессии:
|
|
|
= ° . ° 82. sbt ~ |
0,29; |
|||
|
|
|
tT= 3,18; |
Лв£= |
0,91. |
||
Значимы |
коэффициенты Ь0 и Ь2. |
|
|
||||
4. Проверка |
адекватности уравнения |
регрессии: |
|||||
|
|
|
2 _ |
1,003 |
= 1,00; |
|
|
F |
р |
1,00 |
— 3, FT— |
10,1 (/ад — 1, |
/ 0 — 3, q = 0,05). |
||
|
0,33 |
|
|
|
|
|
|
Так как F |
< |
FTf модель объекта исследования можно признать |
адекватной и принять решение о переходе к крутому восхождению. Расчет коэффициентов взаимодействий факторов по планам ПФЭ. Ранее уже упоминалось, что цель полного факторного экспе римента состоит в получении адекватной линейной модели, кото рую предполагается использовать для оптимизации объекта иссле дования. В задачах аппроксимации (интерполяции) математическая модель должна адекватно описывать объект в области эксперимента и потому может быть нелинейной. Оказывается, план ПФЭ позво ляет достаточно просто рассчитать коэффициенты при взаимодей
ствиях |
факторов и, если |
они значимы, |
использовать |
|
полученную |
|||||||
модель |
для |
интерполяционных |
Таблица 33. |
Матрица |
|
планирования |
||||||
целей. |
С другой стороны, |
зна |
|
|||||||||
чимость коэффициентов при вза |
эксперимента |
|
|
|
|
|
||||||
имодействиях |
факторов |
сразу |
|
|
|
План |
|
|||||
же позволяет |
сделать вывод |
о |
|
|
|
Пере |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
неадекватности линейной модели. |
Опыты |
*п |
|
|
|
|
менная |
|||||
|
|
|
|
состоя |
||||||||
Для нахождения коэффициен |
|
|
|
|
|
*i*i |
ния |
|||||
|
|
|
|
|
У |
|||||||
тов при |
взаимодействиях факто |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ров план ПФЭ дополняют столб |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
цами, |
представляющими собой |
+ 1 |
+ i |
+ |
1 |
+ i |
У\ |
|||||
2 |
||||||||||||
произведения |
столбцов соответ |
+ 1 |
— 1 |
+ |
1 |
— 1 |
У2 |
|||||
3 |
+ 1 |
+ i |
— 1 |
— 1 |
||||||||
ствующих факторов. Для полно |
Уз |
|||||||||||
4 |
+ 1 |
— I |
— 1 |
+ i |
Уа |
|||||||
го факторного |
эксперимента |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия представ лена в табл. 33. Коэффициенты Ьч рассчитывают по формуле:
,N
Ьц *= -гг 2 |
XluXjutJu № j)> |
(84) |
iV ишш1 |
|
|
поскольку свойство ортогональности матрицы планирования при добавлении к ней столбцов х,х/ не изменяется. Таким образом, мо жет быть получена математическая модель вида
у = Ь0 + |
п |
П |
|
|
2 |
Ь(Х{ + {2 |
bi,XtXh |
(95) |
|
или для ПФЭ типа 22 — |
|
|
|
|
У = Ь0+ |
Ьгхг + Ь2хг + |
Ь12хгх2. |
(вв) |
|
Итак, в задачах оптимизации необходимо, чтобы все |
Ьц были |
незначимы, а в задачах интерполяции наоборот — значимы (хотя бы некоторые из них). Поэтому для задач оптимизации всегда рас считывают Ьц и используют их при проверке адекватности линей ной модели.
Существует еще одна проверка нелинейности модели с помощью оценки гипотезы о равенстве нулю суммы коэффициентов при квад ратичных членах. С этой целью в центре плана ставят несколько
опытов, определяют среднее у0 и вычисляют разность (Ь0 — у0), которая и является оценкой суммы коэффициентов при квадратич ных членах.
Действительно, свободный член Ь0, который рассчитывают по
формуле |
|
j |
N |
|
|
1 N |
|
|
|||
Ь0 * -лг 2 ХоиУи = |
-гг |
|
2 Уи = У* |
(97) |
|
ы=»1 |
|
* |
и=\ |
|
|
|
|
п |
|
|
|
является совместной оценкой |
ро и |
2 |
Рп, то есть |
|
|
|
|
t=\ |
|
|
|
*о+ |
Ро+ |
2 |
|
р«. |
(98) |
|
|
1*Ш1 |
|
|
где ро — свободный член уравнения регрессии по генеральной со вокупности экспериментальных данных; р^ — коэффициенты при
х? по генеральной совокупности. Это положение вытекает из иден тичности столбцов матрицы планирования при х0 и х2 (они все рав ны + 1). Тогда разность (у — у0) ->• 2 р^ может в какой-то мере служить оценкой кривизны поверхности отклика переменной со стояния. Значимость этой разницы проверяют по условию:
t = Фо~Уо) VN > t |
(99) |
рso
где s0 — среднее квадратическое отклонение ошибок опыта; N —