Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdf
|
|
дг |
У |
|
г sin ф |
|
|
|
|
|
ду |
|
--------= Sin ф , |
|
|
||
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
Зср |
1 |
1 |
г coscp __ coscp |
|
|
|
|
|
ду |
|
X |
|
|
|
|
Подставляя |
найденные |
выражения |
(* *) в равенство (*) , |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
ди |
ди |
1 |
ди . |
ди |
ди . |
1 |
ди |
/(Я| |
дх |
— coscp--------- |
sincp, — |
= — sincp + ------- |
coscp, (2.123) |
||||
дг |
г |
Зср |
ду |
дг |
г |
Зср |
|
|
3v |
9v |
1 |
3v . |
3v |
3v . |
1 |
3v |
coscp. |
— = — coscp--------- |
sincp, |
— = — sincp-r------- |
Зср |
|||||
дх |
дг |
г |
Зср |
ду дг |
г |
|
Подставляя полученные выражения в условия (2.118) Ко ши - Римана, приходим к равенствам
ди |
1 |
ди . |
3v . |
1 |
3v |
— coscp-------- |
г |
sin cp = — sincp + — —coscp, |
|||
дг |
Зср |
дг |
г |
Зср |
|
ди . |
I |
ди |
9v |
1 |
9v . |
— sin cp + ------ |
г |
cos cp = |
------дг |
cos cp + ------- |
sin cp. |
дг |
Зср |
г |
Зср |
Умножая первое равенство на coscp, второе - на sincp, а за
тем складывая, находим
д и ( О |
. 2 |
) 1 3v/ о |
. 1 \ |
— lcos“cp-hsin |
ср)=------Icos'cp + snrcp). |
||
дг |
|
г Зср |
|
Умножая первое равенство на sincp , второе - на coscp,
а затем вычитая из первого второе, получим
1 OU |
2 |
• 2 \ o v |
2 |
- 2 |
------- Icos cp + sin ср)=— Icos cp + sin cp |
||||
г Зср |
|
dr |
|
|
С учётом тождества cos2cp + sin2<p = l приходим к условиям Коши - Римана в полярных координатах
ди _ 1 |
dv |
dv _ |
1 ди |
|
дг г |
Эф ’ дг |
|
(2.124) |
|
|
г Эф |
|||
Производную /'(z ) удобно вычислять по одной из |
||||
формул: |
|
|
|
|
|
|
ди |
.dv'' |
|
|
|
-----НI— |
|
|
|
|
дг |
дг J |
|
|
1 |
( dv |
,дил |
|
/'(* ) = - |
— + 1— |
(2.125) |
||
|
z^3(p |
Эф, |
Пример 2.24. Найти производную функции f(z ) = Vz.
Функция -v/z является двузначной. Рассмотрим в ком плексной плоскости С с разрезом по отрицательной части дей ствительной оси ту её ветвь /(z ), для которой /( l) = l. Функ-
цию f(z ) |
запишем в виде f{z)= 4 r - е 2 |
где z =r-e"JI |
- я < ф < к |
Эта функция при г * 0 (т.е при z ФО ) удовлетво |
ряет условиям Коши - Римана (2.124) в полярных координатах.
Если f(z) = м(г,ф) + /у(г,ф)
v = (r^)= V rsin ^ -. |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
ди _ |
1 |
ф |
ди |
дг |
— т=cos—, |
— |
|
2л/г |
2 |
Эф |
|
dv |
1 |
. Ф |
dv |
|
---- 7=Sin— , |
|
Э^ 2^7 2 Эф
Стало быть,
ди _ 1 |
dv |
dv _ |
1 ди |
дг г |
дср |
дг |
г Эф |
Отсюда при г * 0 (при z * 0)
/ ' « |
ф , . . |
ф |
1 |
cos—т г sm —----- |
|||
^ |
2 |
2 |
2->/r J „ r * 2 / ( 2) |
2Vr -e 2
Учитывая последнее соотношение, можно записать
(производная найдена для ветви функции Vz , расположенной справа).
2.17. Правила дифференцирования функции комплексного переменного. Аналитические функции
Из определения производной функции комплексного пере менного и свойств предела получаем основные правила диффе ренцирования, аналогичные соответствующим правилам диф ференцирования функций действительного переменного [3]. Пе
речислим их: |
|
|
|
||
1) |
|
постоянная |
функция /(z ) = ^ = const |
при |
условии |
что z е С , |
имеет производную в каждой точке комплексной |
||||
плоскости С, причём /'(z ) = 0, z е С ; |
|
|
|||
2) |
функция /(z )= z , Z G С , дифференцируема |
в каждой |
|||
точке комплексной плоскости С, причём /'(z) = 1, z е С ; |
|
||||
3) |
если функции /(z ) и g(z) имеют производные в точке |
||||
z0e С |
то |
функции |
a /(z )+ p -g (z ) (a,p еС), |
/(z) |
g(z) |
(g(z0)* 0 ) также имеют производные в точке zo, причём
(а • f(z ) +р • g(z))'|(z = z0) = а • f \ z ) +p • g'(z)
' ( / ( Д g(z))'|(z = z0) = /'( z 0)-g(z0) + /( z 0)-g'(z0) (2.126)
( Д |
2Л |
( . |
. ч |
/'(2) g(z0) - / ( z 0) g'(z0). |
|
——- |
(z =z0) = ---------------— 2--------------> |
|
|||
|
) |
|
|
|
|
4) |
если |
функция со = /(z) дифференцируема |
в точке ZQ |
||
а функция |
W = f (z0) дифференцируема в точке соо = / (zo), то |
||||
сложная функция |
W = |
g(_/(z)) дифференцируема в точке z0, |
|||
причём |
|
|
|
|
|
|
W'(Z0) =(g(/(z)))'|(z = z0) = g'(co0) • /'(Z 0) • |
(2.127) |
Пример 2.25. Найти производную функции /(z ) = zm, где
т - целое отрицательное число.
Функция /(z ) = zm дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, причём
Определение. Функцию fiz), определённую в окрестности точки z0 G С, называют аналитической (голоморфной) в этой точке, если fiz) дифференцируема в некоторой окрестности г0. Функцию, аналитическую в каждой точке области D с С , назы вают аналитической в этой области. Часто говорят о функции, аналитической в замкнутой области D , подразумевая под этим, что все точки D являются точками аналитичностиДг).
Существуют функции комплексного переменного, анали тические во всей комплексной плоскости С. Их называют целы ми функциями.
Для проверки функции на аналитичность пользуются кри терием дифференцируемости функции комплексного перемен ного. Приведём его.
Пусть дана функция f{z) = u{x,y)+iv{x,y). Выделим дейст вительную Re f(z) = и(х. у) и мнимую lm f(z) = v(x, у) части функции Дг), а затем проверим в окрестности точки z0(x0, уо) дифференцируемость функции и и v (установить непрерывность частных производных) и выполнение условий Коши - Римана.
Пример 2.26. Проверить на аналитичность функцию /(z ) = cos z
Запишем cos z = cos(x+ iy) =cosx• ch y - isinx- shу Соста вим функции H(x,y) = cosx-chy; Hv(x,y) = -siiu-shy, они диф
ференцируемы в R', т.к. их частные производные
ди |
|
ди |
— = -sinx-chy, |
— = cos х-shy, |
|
дх |
|
ду |
dv |
, |
dv |
— = - cos х-shy, |
— = -s in ^ c h y |
|
дх |
|
dy |
являются непрерывными в R2 При этом в R2 выполнены усло вия Коши - Римана. Это означает, что функция cosz является аналитической в С. Тогда
(cos z) = -sin z- ch у - icosx•sh у = -sin(x+ iy) =-sin z .
В заключение этого пункта рассмотрим вопрос о единст венности аналитической функции.
Теорема 1. Если /(z) - аналитическая в точке z = а функция и Да) = 0, то либо Дг) = 0 в некоторой окрестности этой точки, либо у точки z = а есть окрестность, в которой нет других нулей функции Дг), кроме z = а. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в работе [1].
Теорема 2 (о единственности аналитической функции). Если две аналитические в области D c C функции f(z)
иfi(z) совпадают на множестве Е с D , которое имеет хотя бы од ну предельную точку а е D , то f\(z) =/ 2(z) всюду в области D.
Для доказательства рассмотрим функцию /(z ) = f {{z) - - Л 00, она является аналитической в области D как разность аналитических функций. На множестве Е с D по условию тео ремы f{ z )= 0. Надо показать, что f{ z ) = 0 в D, т.е. что множе ство M = { z e D :/(z ) = 0}, включающее Е, совпадает с D. Так как Е с М , то точка а, являясь предельной точкой множества Е,
будет предельной точкой и множества № |
В силу аналитично |
сти Дг) в области D эта функция непрерывна в каждой точке |
|
Z е D , и в частности в точке а, предельной для множества М. |
|
Поэтому |
|
lim /(z) = 0 = /( a ) |
(2.128) |
z->a |
|
М
Это означает, что z = а - нуль функции Дг). По теореме 1 либо /(г ) = 0 в некоторой окрестности г = а, либо у этой точки есть
окрестность, в которой нет других нулей функции j[z). В по следнем случае точка г = а не могла бы быть предельной дня множества М.
Итак, в некоторой окрестности точки z = а имеем f'{z)= 0. Очень часто на практике в теории функций комплексного переменного используют относительно упрощенный вариант
теоремы единственности. Сформулируем его в виде следствия. Следствие. Пусть функция Дг) является аналитической
в области D и Дг) = С = const на некоторой кривой у, лежащей в D, тогдаДг) = С = const и в самой области D.
Рассмотрим конкретный пример. |
|
Пример 2.27. Показать, что |
|
sin2 z-i-cos2 г = 1, г е С . |
(2.129) |
Так как sin г и cos z - аналитические в С функции, то Дг) = = sin2z + cos2z - 1 также является аналитической в С функцией. Поскольку Дг) = 0, при z = х е R, то в силу следствия Дг) = О всюду в С.
2.18. Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части
Пусть функция f(z) =u(x,y)+iv(x,y) является аналитиче
ской в области D, кроме того, функции и(х,у) и v(x, у) имеют
непрерывные частные производные до второго порядка включи тельно.
Продифференцируем первое из условий Коши - Римана (2.118) по переменной х, а второе по переменной у, получаем
д2и _ |
d2v |
д2и _ |
d2v |
, ч |
дх2 |
dxdy ’ |
ду2 |
dxdy |
|
Складывая равенства (*) и учитывая, что смешанные производ ные функций не зависят от порядка дифференцирования в силу их непрерывности [3], находим
д2и |
д2и |
дх2 |
(2.130) |
ду2 |
Аналогично находим
= 0 . |
(2.131) |
дх2 ду2
Действительную функцию и(х,у), имеющую непрерывные ча стные производные второго порядка в области D и удовлетво ряющую дифференциальному уравнению (2.130), называют гар монической функцией в D, а дифференциальное уравнение - уравнением Лапласа.
Уравнение Лапласа часто записывают в виде
Дм = 0, или У2и = 0,
где Д = V2 = — —н----j называют оператором Лапласа [11]. Gr ebe" ду‘
метим, что не любая пара гармонических функций образует аналитическую функцию. Функция /(г ) = м(х,у)+п’(.т,у) будет
аналитической. Если гармонические функции и(х,у) и v(x,y) связаны друг с другом условиями Коши - Римана, то их можно назвать сопряжёнными гармоническими функциями [4].
Замечание. Зная одну из сопряжённых гармонических в об ласти D функций и{х,у) и v{x,y), можно восстановить другую.
Покажем, что для всякой гармонической в односвязной об ласти D функции и(х,у) существует сопряжённая с ней гармо ническая в D функция v(x,_y). При этом функция v(x, у) опреде лена с точностью до постоянной.
Действительно, условия Коши - Римана (2.118) можно рас сматривать как систему дифференциальных уравнений относи тельно неизвестной функции v{x,y). При этом задача состоит в восстановлении функции по её частным производным. Соста вим выражение
ди , |
ди |
, |
(2.132) |
------ах +— ау |
|||
ду |
ду |
|
|
Оно является полным дифференциалом, если |
|||
Л= _а_Гaw |
или |
д2и |
д2и |
3x1 дх |
---- + |
= 0 . |
|
|
дх2 |
|
Но это равенство верно, так как функция и(х,у) является гар монической. Поэтому в обозначенной области D существует та кая функция v(x,y), т.е. всюду в D верны равенства
3v ди
К ? )- С
дх д >
Функцию v(x,y) по её дифференциалу (2.132) можно восстано вить с помощью криволинейного интеграла
^ |
[ |
ди |
ди |
(2.133) |
|
--- cb н---dу +С, |
|||
(*0.Л>) |
ду |
дх |
|
|
|
|
где точки (х0;у0) и (х,у) принадлежат области D.
Замечание. Так как под знаком криволинейного интеграла (2.133) стоит полный дифференциал, рассматриваемый в одно связной области D, этот интеграл не зависит от пути интегриро вания. Если область D является многосвязной, то интеграл (2.133) может зависеть от пути интегрирования. В этом случае подынтегральное выражение не является дифференциалом функции по всей области D и для функции v(x,y) сопряжённой гармонической функции нет.
Для определения функции v(x,y) можно непосредственно
использовать условия Коши - Римана, иногда это более удобно.
__ |
dv |
ди |
.. |
|
Из уравнения — = |
|
найдем |
|
|
|
|
v(x,y) =- j — dx + (?iy), |
(2.134) |
где неопределённый интеграл в правой части от функции —
ду
двух переменных х и у взят по переменной х. Поскольку в этом случае переменная у рассматривается как параметр, то постоян ная интегрирования может зависеть от этой переменной и вхо дит в правую часть в виде некоторой функции ср(у). С помощью
второго условия Коши - Римана неизвестную функцию v(x, у)
можно определить с точностью до функции одной переменной у. Эту функцию можно найти исходя из первого условия Коши - Римана.
Подставим уравнение (2.134) неизвестной функции v(x,y)
0v |
ди |
|
|
|
|
в уравнение — = ----- . Тогда получим |
|
||||
ду |
дх |
|
|
|
|
|
д |
(ди |
, |
, |
ди |
|
ду |
J— |
d * + <P(v) = — , |
||
|
ду |
|
|
дх |
откуда
ди д сди
Правая часть найденного уравнения не зависит от перемен ной х, поскольку
|
д2 |
гди. |
д2и |
д ( д гди , \ |
|
д2и |
д2и |
0 . |
|
дх2 |
н------- I——dx = |
дх2 |
ду\дх*ду |
, |
— |
— т = |
|||
дхду 3 ду |
|
дх2 |
ду" |
|
|||||
Поэтому |
это |
уравнение |
позволяет |
найти |
функцию |
ф(^) |
с точностью до постоянного слагаемого.
Если аналитическая функция восстанавливается по своей действительной или мнимой части через определение сопря жённой гармонической функции, то ответ будет получен в виде
f{z) = u(x,y)+iv(x,y).
Пример 2.28. Проверить, является ли функция и(х,у) =
= х2- у 2 + 2х действительной частью некоторой аналитической функции, и если является, то найти эту функцию.
Находим |
|
|
|
ди |
2х +2, |
|
д2и |
— = |
|
= - 2 . |
|
дх |
|
|
ду2 |
Таким образом, функция и{х,у) |
имеет непрерывные част- |
||
ные производные второго порядка |
д2и |
д2и |
|
и — - + — - = 0 , x j e R , |
|||
|
|
•Эх" |
ду |
т.е. она гармоническая на всей плоскости XOY и поэтому явля ется действительной частью некоторой аналитической в С
функции. Найдем |
гармоническую |
функцию |
v(x, у) , |
сопря |
|
жённую с функцией ы(х,у). Из условий (2.118) Коши - |
Римана |
||||
следует |
|
|
|
|
|
Эу |
ди |
5v |
Зи . |
. |
|
— = ----- = 2у, |
— = — = 2х + 2 . |
|
|||
дх |
ду |
|
дудх |
|
|
Следовательно, можно записать
v(*> у) = \{2х +2)dy +ф(х) = 2ху + 2у +ф(х).