Функции комплексного переменного и их приложения Часть 1
..pdfВ |
проколотой |
окрестности изолированной особой точки |
|||
а е С |
функцию |
можно разложить |
согласно теореме |
Лорана |
|
в ряд Лорана |
|
|
|
|
|
|
/ 0 0 = l |
c |
n{z -aY = ± C n{ z- aT + ± - C ^ - . |
(2.214) |
|
|
п=-<п |
п=0 |
п=\ (Z — а ) |
|
В этом случае говорят о лорановском разложении функции f(z) в окрестности особой точки z = а, причем ряд в правой час ти представления (2.214) называют рядом Лорана в окрестности этой особой точки. Ряды
оо |
|
|
(2.215) |
W |
- a ) " , |
||
/7 = 0 |
|
|
|
03 |
С |
п |
|
у |
|
(2.216) |
t x { z - d f ’
на которые разделяется ряд Лорана, называют соответственно правильной и главной частью лорановского разложения (2.214) функции / (z) в окрестности точки z = а.
|
|
|
|
|
Z |
найти лоранов- |
|
Пример 2.45. Для функции /(z) = cos----- |
|||||||
ское разложение в окрестности точки z = 1. |
z -1 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
Выполним тождественные преобразования: |
|
|
|||||
COS- |
= cos 1 |
' |
, |
1 |
. , |
. |
1 |
+ - |
= cos 1- cos------- sin 1 • sin - |
|
|||||
z -1 |
V |
z - 1 |
|
|
|
|
z - 1 |
Используем ряды Тейлора для косинуса и синуса и учтем, что | z - 1 | > 0:
Z |
|
|
\ |
|
|
. cos 1— |
|
cos |
2!(Z -1)2 + 4!(Z -1)4 |
||
z —1 ^ |
/ |
||
|
1 |
1 |
\ |
|
. sin 1= |
||
|
|
|
|
[ 4 2 -I) |
3!(z-l)3 + 5!(r-l)s |
J |
, |
|
sin 1 |
cost |
|
sinl |
-— ... = |
|
= cosl-------------------------- + ---------- |
|
||||||
|
l!(z -l) |
2 !(z -l)2 |
|
3!(z - l )4 |
|
||
= cos i + |
( |
2 |
. |
2 |
1 |
7 |
) |
/7=1 |
|
|
|
2 n \(z - \) n |
|
|
В полученном разложении правильная часть содержит одно слагаемое cosl, а ряд по отрицательным степеням z - 1 будет главной частью этого разложения.
Теорема 2. Изолированная особая точка z = а е С функции /(z ) является устранимой в том и только в том случае, когда лорановское разложение функции /(z ) в окрестности z = а не содержит главной части, т.е.
/ ( Z ) = f \Cn( z - a ) \ |
0 < |z - а| < /- |
(2.218) |
||
п-О |
|
|
|
|
Замечание 2. Доопределив функцию |
/(z ) |
в точке z = а |
||
в соответствии с пределом Иm /(z) = C0 |
значением / {а) = С0, |
|||
г— |
|
|
|
|
получим функцию, которая имеет представление |
|
|
||
/0 0 = £ C n( z - a ) \ |
|z - <з| < г |
|
|
|
77 = 0 |
|
|
|
|
Согласно п. 2.27 доопределяемая функция является анали |
||||
тической в точке z = а. |
|
|
|
|
Теорема 3. Изолированная особая точка z = а е С |
функции |
|||
/(z ) является полюсом в том и только |
в том |
случае, когда |
главная часть лорановского разложения функции /(z) в окрест ности этой точки содержит лишь конечное число отличных от нуля слагаемых, т.е. в представлении (2.214) для некоторого на
турального т имеем |
С_к = 0, |
к - т л - 1, т +2, |
и С_т, |
так что |
|
|
|
оо |
т |
Г1 |
|
/ ( / > = I C n( z - a ) n + I - |
^ - , 0 < |z - а| < г |
(2.219) |
/7 = 0 |
/7 = 1 (Z — О) |
Определение 5. Порядком полюса z = aeC функции f{z)
называют число т е N , при котором существует конечный от личный от нуля предел:
lim f ( z ) ( z - a ) m=А, Л±0, А* оо . |
(2.220) |
z - + a |
|
Полюс порядка т = 1 называют простым.
Теорема 4. Точка z = а является полюсом функции /(г) порядка т тогда и только тогда, когда эта точка является нулем
функции —-— кратности т.
|
/(* ) |
5. Изолированная особая точка а е С функции |
Теорема |
||
/(z ) |
является существенно особой в том и только в том случае, |
|
когда |
главная |
часть лорановского разложения функции f(z) |
в окрестности точки а содержит бесконечное число отличных от нуля слагаемых.
Теорема 6 (теорема Сохоцкого). Пусть а е С - существен но особая точка функции / ( z ) . Тогда для любого А е С най дется последовательность {zn} точек zneC , сходящаяся к точке
z - а и такая, что f ( z n) —>А при п —>оо.
Теорема 7 (теорема Пикара). Если z = а - существенно осо бая точка функции / ( z ) , то для любого комплексного числа А
(за исключением, возможно, одного значения), можно указать такую последовательность {zn } -» а , что f (z n) = А, п е N .
|
В целях экономии объема работы доказательства теорем |
||
2-7 |
опущены. Подробное их изложение приведено в работах |
||
[2, 4, |
7]. |
|
|
|
В заключение рассматриваемого пункта приведем следую |
||
щее утверждение. |
|
|
|
|
Утверждение. Следующие три условия эквивалентны: |
||
|
1) точка z = а является полюсом функции f(z) |
порядка т\ |
|
|
у |
ф(*) |
кратности ш, |
|
2) точка z = а является нулем функции----- |
||
|
|
f(z) |
точки г = а |
где |
функция cp(z) аналитична в |
окрестности |
|
и ф(а) * 0 ; |
|
|
3) |
изолированная особая точка z = a |
функции /(z ) допус |
|||||
кает следующее асимптотическое представление: |
|
||||||
- 2 - |
~ |
№ |
) |
~ Ж * -в )'" ), |
^ * 0 . |
(2-221) |
|
/(z)--> “ |
>4 |
|
|
|
|
|
|
Пример |
2.46. Выяснить |
характер |
особых |
точек |
функции |
||
1 — COS Z |
|
|
|
|
|
|
|
Для данной функции /(z ) |
точка |
z = 0 будет простым по |
|||||
люсом, так как, во-первых, /(z ) |
является аналитической функ |
цией в проколотой окрестности этой точки, а во-вторых, с уче
том стандартных разложений для функции ех и cos z имеем
1-co sz |
Z2/2 _ А |
|
(е2 - 1)3 -г->° |
z3 |
z ’ |
|
Пример 2.47. Показать, что если точка z - a |
- полюс функ |
||||||||
ции |
/ ( z ) , то для функции g(z) = eJ(<z) |
эта точка будет сущест |
||||||||
венно особой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть т - порядок полюса z = а |
функции / ( z ) . Полагаем |
||||||||
в |
асимптотической |
формуле |
(2.221), |
что |
А = \А\-е,а |
|||||
и z - a - |
ге/ф, запишем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/(z ) ~ \А\ • г 'теКа' т(р |
|
|
|
(2.222) |
|||
|
Для |
точек |
комплексной |
плоскости |
(Z) |
на |
луче |
|||
z - a |
- г |
к/ |
|
|
|
|
а под углом |
а |
||
- е /т , проходящем через точку z = |
ф = — |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
к действительной |
оси, |
из (2.222) |
имеем |
/(z ) |
~ U|r~m При |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z->a |
|
|
стремлении z —>а |
вдоль этого луча г —» 0, а аргументы точек |
имеют значения, близкие к нулю. Поэтому f(z) |
оо, причем |
/(z ) не выходит за пределы малого сектора |
- 5 <argco<5, |
а—> оо .
|
|
|
/(а+я)/ |
проходящего |
|
Аналогично для точек луча z - а - ге |
' т |
||||
|
|
— п |
— Г Р |
|
|
через точку |
|
а -f л |
|
|
|
z = а под углом ср = -------к действительной оси, из |
|||||
|
|
т |
|
|
|
(2.222) имеем / ( z ) ---- \Аг~т |
При стремлении z —>а вдоль |
||||
|
z-ла |
|
|
|
|
этого луча |
Y —►0 и /(z)-> o o |
/ (z) |
теперь |
имеет аргумент, |
близкий к к или - л , а е/(7) -»0 . Это означает, что функция g(z) не имеет предела (ни конечного, ни бесконечного) при z —>а , и поэтому в силу определения 4 z = а - существенно особая точка для g(z).
2.28. Бесконечно удаленная точка как особая. Классификация аналитических функций
по особым точкам
Определение 1. Бесконечно удаленную точку z = оо назы вают изолированной особой точкой функции /( z ) , если в неко-
0
торой проколотой U(z0) окрестности этой точки (т.е. вне неко торого круга с центром в точке z = 0) функция /(z) аналитична.
Определение 2. Изолированную особую точку z = оо на зывают:
1) устранимой особой точкой функции /(z ), если сущест вует и конечен предел этой функции при z —>оо;
2) полюсом функции /(z ), если существует предел
l i m / ( z ) = oo;
z - ± a
3) существенно особой точкой функции /( z ) , если эта функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при
Z ->00.
Замечание 1. Если z = оо - устранимая особая точка функ ции / (z ), то, доопределив функцию в этой точке значением ее
предела при z —►оо, можно причислить точку z = оо к точкам аналитичности функции.
Определение 3. Лорановским разложением функции f(z)
в окрестности изолированной особой точки z = оо называют ряд Лорана функции /(z ) по степеням z, в который эта функция
разложена в области |zj > Л, т.е. вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z = 0.
Итак, если
+00 |
|
/(* )= I с у , \z\>R, |
(2.223) |
то говорят о лорановском разложении функции /(z ) |
в окрест |
ности бесконечно удаленной точки. Из определений 1-3 следует, что изолированная особая точка z = оо функции /(z ) является:
1) устранимой особой точкой, если лорановское разложе ние функции /(z ) в окрестности не содержит положи тельных степеней z (отсутствует его главная часть), т.е.
2)полюсом, если лорановское разложение функции /(z)
вокрестности z = оо имеет конечное число ненулевых слагаемых
сположительными степенями z, т.е.
т |
|
/ 0 0 = Ъ с п2" И > Д , rn zN , |
(2.224) |
где т > 0 и Ст* 0 . Целое число т называют порядком полюса
z = оо функции / (z) ;
3) существенно особой точкой, если лорановское разлож ние функции /(z ) в окрестности z = оо содержит бесконечное
число ненулевых слагаемых с положительными степенями z, т.е.
где среди коэффициентов Си С2, Сз, при положительных сте пенях z бесконечное число ненулевых.
Из представления (2.224) следует, что порядком полюса z - оо будет число т, для которого
Iim № = А,
Z-»cо
где А отлично от нуля и от оо. Последнее дает возможность за писать асимптотическую формулу в полюсе z - оо порядка т:
№~ AzK
Z —> 00
Теорема 1. Бесконечно удаленная точка является полюсом функции f(z) порядка т тогда и только тогда, когда эта точка
является нулем функции — кратности т. /(z )
Пример 2.48. Для функции /(z ) найти полюсы, если
№ = |
1 ' |
|
sin |
|
Z + 1 |
Точки zk = - 1 + — , к £ Z, к ± 0 , будут полюсами второго
кп
порядка. Действительно, эти точки являются простыми нулями
функции sin(z + l)'' |
и поэтому будут нулями второго порядка |
для sin2(z + 1)-1, a zk |
з* 0. Точка z = -1 при этом будет предель |
ной для полюсов |
zk, а бесконечно удаленная точка г 8 ® подно |
сом пятого порядка функции / ( z ) , так как |
|
/(* ) = - |
\2 = z3(z + 1)2 - г5 |
sin
Z + 1 |
Z + 1 |
|
= —------ (включая бесконечную удаленную точку) и выяснить
z —Z
их тип.
Особыми будут бесконечно удаленная точка z = оо и нули
знаменателя, |
т.е. многочлена z3 |
- z 5 = z3(l-z )(l + z). |
Точка |
z0 = 0 будет |
полюсом третьего |
порядка, а точки |
z, = 1 |
и z2 =-1 - простыми полюсами рассматриваемой функции, так
как для ее знаменателя эти точки являются нулями.
Поскольку — —- -» 0 при z —» оо, то в силу определения z —Z
бесконечно удаленная точка z = оо будет нулем рассматривае мой функции, причем кратность этого нуля т = 5, так как
lim z 5 |
1 |
-1 |
|
5 |
|
2-ЮО |
|
|
|
z3 — Z 5 г~*ю Z |
е~
Пример 2.50. Исследовать функцию / (z) =
z 2( z 2 + 9 )
Точка z0 = 0 является полюсом второго порядка, а точки
z, 2 = ±3/ - простыми полюсами, так как числитель дроби -
функция ez - не обращается в нуль, а знаменатель дроби - мно
гочлен z2(z2 +9) - имеет нуль кратности 2 в точке z0 и нули
кратности 1 в точках г, 7. Точка z = оо является существенно
особой точкой этой функции, так как не существует ее предела (ни конечного, ни бесконечного) при z -> оо. Действительно,
lim ——5 |
= оо |
lim |
g |
------= 0 (см. пример 2.44). |
|||
|
+9) |
|
х2(х2 +9) |
Следующий по простоте класс составляют целые функции, не имеющие конечных особых точек и аналитические на всей комплексной плоскости С. Для целой функции /(z ) точка
z - оо |
всегда является изолированной особой точкой. Если |
z = оо |
- устранимая особая точка, то ввиду изложенного выше |
/ (z) = const. Если же z = oo - полюс порядка т е N функции
/(z ) , то главная часть Лорановского разложения функции f(z)
в окрестности точки |
z = oo имеет конечное число слагаемых |
с положительными степенями z, т.е. имеет вид |
|
g ( z ) |
= C,Z + Сг2 г + ... + CmZ m |
Вычитая из /(z ) эту главную часть, получаем также целую функцию (p(z) = /(z ) - g(z) , но с лорановским разложением в
окрестности точки z = oo, не содержащим слагаемых с положи тельными степенями z. Для такой функции z = °o будет устра нимой особой точкой ( ср(z) = const).
Целые функции, для которых z = оо является существенно особой точкой, называют целыми трансцендентными. Таковы,
например, функции е \ cos z, sinz.
Определение 4. Функцию, не имеющую в комплексной плоскости С помимо полюсов других особых точек, называют мероморфной.
Теорема 2. Если функция имеет конечное число изолиро
ванных особых точек в расширенной комплексной плоскости С и все они - полюсы, то эта функция рациональная (рациональ ная функция - это функция отношения двух многочленов).
Приведем краткое доказательство теоремы 2. Пусть
c (v)-л,, |
| С(>)-„+| |
су |
|
gv(z)= (2-<7уГ |
+ ( 7 - < Г " ‘ + ...+ z-a.. |
(2.225) |
|
есть главная часть лорановского разложения |
функции /( ;) |
||
в окрестности полюса av. Обозначим |
|
|
|
g(z) = clz + c2z2 +... + cmzm |
|
(2.226) |
главную часть лорановского разложения функции f(z) в окре стности точки z —оо. Если z =оо является устранимой особой точкой для / ( z ) , то полагаем g(z) = 0 .
-Z ^ » ( z ) . »'=I
Она является аналитической функцией на всей расширен ной плоскости С и, следовательно, cp(z) = const = с0, таким об разом,
|
|
/О ) = с0+ g(z) + £ gv(z) , |
(2.227) |
|||
|
|
|
|
V=1 |
|
|
т.е. /(z ) является рациональной функцией. |
|
|
||||
Итак, представление (2.227) - это разложение рациональ |
||||||
ной функции |
/(z ) |
на целую часть и на правильные простей |
||||
шие дроби. |
|
|
|
|
|
|
Такое |
разложение |
(2.227) впервые |
было получено |
|||
М.Г Миттаг-Леффлером. |
|
|
|
|||
|
2.29. |
Вычет в конечной точке. |
|
|||
|
Вычисление вычета в полюсе |
|
||||
Определение |
1. |
Вычетом аналитической функции |
f(z) |
|||
в конечной точке |
а е С |
называют значение |
контурного |
инте |
||
грала |
|
|
|
|
|
|
2m L
где L - некоторый замкнутый простой кусочно-гладкий контур,
охватывающий |
точку z = а |
и лежащий |
целиком в кольце |
О < |z - а\ < г (г - |
внешний радиус проколотой окрестности). |
||
Обозначение вычета res f ( z ), resaf { z ), |
res [/(z),a]. |
||
|
z - a |
|
|
Тогда согласно определению можно записать |
|||
|
res f{z) = |
Д z)dz. |
(2.228) |
|
г=о |
2т L |
|
Отметим сразу, что если z = а является точкой аналитичности функции /( z ) , то по теореме Коши для односвязной области
вычет этой функции в точке z - a равен нулю.