- •механика
- •материалов
- •РАСЧЕТ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ВОЛОКНИСТОГО КОМПОЗИТА МЕТОДОМ СЕЧЕНИИ
- •КРИТЕРИЙ МЕЖСЛОЙНОЙ ПРОЧНОСТИ УГЛЕПЛАСТИКОВ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
- •дМху
- •параметр, характеризующий волнообразование вдоль
- •ТЕОРИЯ КОМПРЕССИОННОГО ФОРМОВАНИЯ ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЛОКНИСТЫХ СРЕД*
- •ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА ОХЛАЖДЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ИЗДЕЛИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •V^foip)
- •ГДе rj — вязкость среды;
- •УПРУГОМЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТЕНКИ АОРТЫ ЧЕЛОВЕКА В ВОЗРАСТНОМ АСПЕКТЕ
- •ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ ЛЯВА В ОРТОТРОПНЫХ РЕГУЛЯРНО-СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •В. Л. Бердичевский
- •Я. X. Арутюнян, В. Б. Колмановский
- •Р. Уайт, Т. Джебелл
- •ДАЛЬНИЙ ПОРЯДОК В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
- •А. Смит
- •ПРИКЛАДНАЯ ИК-СПЕКТРОСКОПИЯ
- •V ВСЕСОЮЗНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ПО МЕХАНИКЕ ПОЛИМЕРНЫХ И КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
В связи с принятыми допущениями углы поворота нормали к средин ной поверхности для несущего слоя при деформировании равны фж=
dw . dw
—= ^ - ; фу= ~~ду~' ^ глы п0®°Рота 'нормали для связующего слоя обо
значим через фхс « фус, тогда углы поперечного 'сдвига будут р*с=фжо+ dw „ . , dw
Для всего пакета слоев оболочки принято считать справедливой ги потезу ломаной нормали; перемещения а1, vz на поверхностях контакта слоев считаются неразрывными, прогиб w одинаков для всех точек нор мали. Средний угол поворота нормали к срединной поверхности полного пакета слоев обозначен срж в плоскости x — z и <ру — в плоскости у —г. Углы поворота нормалей в слоях и для всего пакета в среднем связаны соотношениями вида
dw
hc^ x c = h - ^ - + ( fx{h+hc),
или с учетом (1): |
dw |
|
dw |
|
фу-- (1 |
||
ф х = (1 s ) ф х с s • |
dx ’ |
в)фуо S |
|
|
™ 4 |
dy |
При выводе основных соотношений для оболочки использованы урав нения движения и соотношения упругости для двух типов слоев, а также геометрические соотношения и метод энергетической континуализации работы [2].
Уравнения движения имеют вид:
dNx dS |
„ |
d2u |
л |
dNy |
dS |
d2v |
= 0; |
(2) |
||||
dx |
' |
dy |
~рН — = 0; |
dy |
|
I t 2 |
||||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
||||||
|
dw |
|
dw |
|
|
|
dw |
dw |
|
d Q x |
|
|
l x |
dx + S |
|
|
+ |
|
+ S dx |
d2w |
|
+ dx |
|
||
|
dQy |
d2mx |
d2mxy |
d2m |
- p H |
= 0; |
|
|||||
|
|
dy |
dx2 |
dxdy |
+- dy- |
~dtT |
|
|||||
|
|
dMx |
|
dM.xy |
|
d2ф* |
= 0; |
|
|
|
||
|
|
|
dx |
|
dy |
- - Q x - p l ~ d F |
|
|
|
|||
|
|
dM„ |
+: |
дМху |
|
d2фу |
= 0. |
|
|
(3) |
||
|
|
|
dy |
dx |
Q y |
p H |
|
|
||||
|
|
|
dt2 |
|
|
|
Приведенная 'плотность p равна: p= spn+ (1 —s)pc; приведенный момент
, Я3 инерции — /= у 2".
Для случая, когда несущие слои — ортотропные, с осями упругой симметрии, совпадающими с направлениями х н у , зависимости между усилиями и моментами, с одной стороны, и перемещениями, — с другой,
|
du |
1 |
/ |
dw |
\ 2 |
|
Г |
dv |
(0 |
1 |
f dw |
|
|
|
1 |
||||||||||
NX=BX ■dx~^~ 2 |
\ |
dx |
У -1 +£ц 1-~dy ~ ~ R +~2 |
< dy |
||||||||
Nv |
du |
1 l |
dw \ 21 |
Г dv |
CO |
1 |
Jf dw |
|||||
d x + 2 |
\ |
dx |
) |
\1 +By \-~dy ~ ~ R +~2 '< dy |
||||||||
|
S = B , l a% |
dv |
|
dw |
d w ) : |
|
|
|||||
|
—— + - |
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
' д у |
dx |
|
dy |
|
,(4), |
|||
|
|
|
Mx— Dx |
d(px |
|
|
dq>y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
~dx" -D„ |
dy |
|
|
|
|||||
|
My=Dv <5ф у |
+Dy дф* |
M: |
|
= DQ^ dq>x |
. dyv |
||||||
|
dy |
|
|
|
dx |
XV |
|
dy |
|
dx |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ , d2w , d2w \ mx= - \ dx - ^ + d y —^ - - ) ;
dy
tfixy——da
my- - y ld y, d2w |
d2w |
•dy.’ |
|
dy2 |
~dtf~ |
d2w |
|
dxdy |
|
Qx= gx ( |
dw |
■<fx ); < W . ( £ - + * . ) |
|
dx |
|||
|
|
Согласно принятым гипотезам, коэффициенты упругости для всего пакета слоев, входящие в зависимости (4), следующим образом выража ются через коэффициенты упругости Сц. £ 12. С22 и С66 несущих слоев (обозначения соответствуют [1]) и через модули поперечных сдвигов Gx
и Gv связующего слоя: |
|
|
|
|
|
Bx—sHCnj |
By= sHC22\ |
By—sFIC12; |
|
||
) H2R • |
|
|
H2 n |
D c = ^ B c ; |
|
DV— 12 BV> |
D»-*X2B»' |
||||
12 Bx’ |
|
||||
h2 |
, |
h\ . |
. h2 |
|
|
|
dv— [ 2 BV' |
dy- ~ [ 2 Bil’ |
|
||
|
gx=kx2GxH', |
gy —ky2GyH. |
|
Здесь kx2 и ky2 — коэффициенты поперечного сдвига. Эти коэффициенты зависят от распределения касательных напряжений по толщине.
Представленные выше нелинейные уравнения динамики многослой ной оболочки с анизотропными слоями в определенных частных случаях (изотропия, линейные колебания) совпадают с уравнениями работ
[1, 4, 5].
2. Нелинейные колебания пластинок и оболочек исследованы в моно графии [6]. В данной работе собственные нелинейные колебания много слойной цилиндрической панели с анизотропными слоями при больших прогибах рассматриваются на основе изложенной выше модели.
Края панели со сторонами а вдоль образующей и b по дуге свободно оперты (см. рис. 1)-
Исходные уравнения движения (2) и (3) преобразуем следующим образом. Будем пренебрегать тангенциальными силами инерции. Тогда первые два уравнения (2) можно удовлетворить введением функции уси-
лий в срединной поверхности F: |
|
d2F |
d2F |
d2F |
|
|||||
|
>^ у=д^2 >B = ~dxdy' ^'Равне' |
|||||||||
ния движения (3) после введения функции усилий будут иметь вид |
|
|||||||||
, , |
1 |
d2F |
|
„ |
, |
dmx |
|
dwу |
„ d2w |
|
L(w, F)+ — |
——- —b V ^ w - V A ^ + g x - — |
+ г » ^ — ря — s °; |
|
|||||||
|
R |
dx2 |
|
|
|
dx |
|
dy |
dt2 |
(5) |
|
/ |
d2 |
|
d2 |
\ |
|
|
d \ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
\ |
Dx~d^~+D(i~d 2 /,<P*+(Z)>1+£)g) |
dxdy |
|
|
|||||
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
dw |
\ |
r d2wx |
|
|
( 6) |
|
|
|
|
|
|
|
- f ' - w — 0’ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
/ |
_ d2 |
_ |
d2 |
\ |
|
|
d2w |
|
|
|
\ DG~M |
+ |
vw > |
Фу+ {D>l+DG)~ d ^ i ~ |
|
|
||||
|
|
|
l |
dw |
\ |
d2wv |
|
|
|
|
|
|
~ 8y \ ~&T+((V ) |
~ pI~ d ^~ =0- |
|
|
В уравнении (5) использованы обозначения |
|
|
|
|
||||||
, , |
d2w |
d2F |
d2w |
d2F |
|
|
d2w |
d2F |
|
|
L{w, F) |
дх2 |
ду2 ' |
ду2 |
_ _ - 2 - |
дхду |
|
|
|||
|
дх2 |
|
|
dxdy |
|
|
||||
|
|
|
d2w |
d2w |
|
|
|
|
||
|
d4w |
|
|
d4w |
|
d4w |
|
|
||
Дополним уравнения (5) —(7) уравнениями неразрывности деформа |
||||||||||
дни срединной поверхности для цилиндрической оболочки: |
|
|
||||||||
d*F |
|
d4F |
|
d*F |
|
|
|
1 |
d2w |
|
ctu- г -.—И(2ац+ас) |
dx2dy2 |
+ax |
|
: — X(W, W) — |
dx2 * |
|
||||
v dx* |
|
|
dy4 |
|
|
|
R |
|
||
BVBG |
CLy |
BXBG |
|
= |
|
ВцВи |
(IQ=IJBQI |
Q= |
||
Здесь ax= |
” |
|
|
|
Q |
|||||
Q |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
d2w |
I |
|
d2w |
\ |
|
|
|
= B G(BxBy~Bll2)-, |
X(w,w) = дх2 |
dy2 “ |
\ |
dxdy |
/ |
|
|
|||
Итак, имеем систему четырех уравнений |
(5) —(8) с четырьмя неиз |
|||||||||
вестными w, <р*, фу |
и F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражения для функций прогиба и углов поворота нормали в сред нем по толщине пакета слоев принимаем в виде
ay=/(/)sin ах sin 0г/; 9*= (D*(/)cosocxsinpi/; 9y=Oy(^)sinaxcospt/,
(9)
где а=л/а; р= я/Ь. Подставив функцию прогиба в уравнение неразрыв ности деформаций (8) и выполнив интегрирование, найдем функцию усилий
|
f2 |
/ l |
|
д2 |
\ |
+ |
|
/='=— |
( ---- -cos2ax-l----- cos 2рг/) |
||||
|
32 |
VOyd2 |
|
ах |
|
|
f |
sin ах sin ру |
|
|
ff рху2 |
рух2 |
|
+~a2R |
ay+(2all+aG)^ 2 |
+ ax^ |
|
2 |
2 ’ |
где Ь = а/Ь '— отношение длин 'сторон панели. Под рх и ру понимаются сжимающие усилия, действующие по кромкам панели.
Уравнения движения (5) интегрируем методом Бубнова. В резуль тате получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
{ - ^ - [ < 4 + (2dy+d^tf+dy® *] + ^ ( g x - H p x) +?L - (gy-Hpy) +
|
|
|
|
|
|
f |
1-3 |
b2Rav |
32 |
|
|
|
R2 |
|
ay+(2all+aG)'Q2+ax'&i |
3b2R |
|
||||||
X |
|
|
1 |
1 |
я4 |
/ |
1 |
1 |
\ |
,, 16 |
Я |
Qy-\~ (2flp, + CLQ) тЭ12 + cixffl ] ^2+Тб“ \ |
a4ax +‘b4dy |
) |
f + я2 |
R Pv+ |
|||||||
|
|
|
|
+gx— Q>x+gv-j-<bv+pHf=0- |
|
|
( 10) |
||||
Из уравнений |
(6), |
(7) с учетом аппроксимаций |
(9) получаем: |
|
|||||||
|
g * - f + |
{ ~ D |
x+ 4 r DG+g* ) Фх+ {Dtl+DG)^ b ~ ф У+Р1ф * = °> |
||||||||
|
а |
\ |
п* |
о* |
|
|
|
|
|
|
|
g v ^ f + ( ^ + . D o ) - ^ ^ x + ( ^ D G+ ^ DV+SV ) фУ+Р1фУ=0- (12)
к безразмерному виду делением (для коэффициентов упругости) и умно жением (для коэффициентов податливости) на Вх.
Входящий в уравнение (17) параметр частоты <о02 соответствует коле баниям идеальной панели при малых перемещениях без действия сжи мающих усилий:
СОо2 я*НВХ Р* В»
рЪ2Ь*
Для коэффициентов р0 и rj, характеризующих нелинейность, имеем
I -4- |
|
16 |
-------------------------------- |
||
2*2 К_ 1+ |
1 + ■б2 (2 0 у+ CLQ) /о.у+ '(Ид*]йу |
|
Ро= -Зя2 ау |
|
Р*в (1 Рх/рв) |
n2{f2 |
1+Д у/ |
|
ч=- 16йу |
Р*в(1—Рх/Рв) |
Чтобы найти амплитудно-частотную характеристику нелинейных ко лебаний, воспользуемся приемом, изложенным в работе [7]. Примем гармоническую аппроксимацию для безразмерной стрелы прогиба: £= = J4 COS©/ или £=.<4 COST и подставим эту функцию в уравнение движе ния (17). Далее применим метод Бубнова, удовлетворяя условию орто гональности результата подстановки к функции COST на временном от резке, равном четверти периода колебаний. В результате получим выражение
характеризующее амплитудно-частотную зависимость нелинейных коле
баний. Здесь v = —п— —\ТГ~• |
|
|
о)о (1 -Рх/Рв) /а |
3. |
Вычисления проводились с помощью ЭВМ серии ЕС по программе, |
составленной на алгоритмическом языке ФОРТРАН. В качестве при мера была рассмотрена панель с отношением сторон #=1,2, отноше ниями Ь/Н= 25 и b/R = 0,5. Упругие постоянные материалов несущих и связующих слоев в расчетах принимались различными, а коэффициент армирования 5 = 0,8 во всех случаях.
Сплошными линиями на рис. 3 показаны кривые, характеризующие зависимости амплитуды А от квадрата относительной частоты v2 — для
w |
С*22 |
ri , С 12 л г>г\ @ х |
G y |
оболочки с упругими характеристиками |
— |
= 0,1; — =0,03; |
gry= |
= 0,003. Графики на рис. 3 и 5 соответствуют отсутствию продольных усилий рх= 0. Штриховыми линиями на рис. 3 показаны кривые для бо лее жесткой в направлении у оболочки, чем предыдущая. Для нее
CWCii = 0,5. Цифрами на кривых рис. 3 и 4 указано число слоев п. Как видно из графиков, увеличение числа слоев приводит к тому, что нели нейные эффекты становятся более существенными. В целом же кривые вначале (при относительно небольших амплитудах колебаний) характе ризуют «мягкую» нелинейность, а затем — с увеличением амплитуды — «жесткую». При этом чем ниже жесткость в направлении окружной ко ординаты, тем «мягче» нелинейная характеристика.
Кривые, характеризующие амплитудно-частотные характеристики, на рис. 4 позволяют оценить влияние продольных усилий рх на динамиче ское поведение панели. Они относятся к тем же оболочкам, что и кривые на рис. 3. Отличие заключается лишь в том, что штриховые линии отра жают здесь нелинейные амплитудно-частотные зависимости панели, на ходящейся под действием продольных сжимающих усилий (рх= 0,5рв). С увеличением амплитуды колебаний £ от 0 до 1 частоты сжатых пане лей падают до минимума, а затем возрастают. При амплитудах свыше £= 2 частоты колебаний сжатых панелей становятся больше, чем частоты колебаний панелей, не подвергающихся действию продольных усилий.
Влияние податливости связующих слоев на нелинейные амплитудночастотные зависимости иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 5, относящимися к панелям с шестью несущими слоями. Сплошная линия соответствует панели с теми же свойствами слоев, что и на рис. 3 и 4. Штриховая линия соответствует случаю Gx/Cn = GvJCn ^ 0,03, а штрихпунктирная — Gx/Cn = Gv/Cn = 0,0015. Видно, что снижение жест кости связующих слоев приводит к усилению нелинейных эффектов в бо лее существенной мере, чем увеличение числа слоев.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.
2.Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.,
1980. 375 с.
3.Малмейстер А. К-, Тетере Г А., Тамуж В. П. Сопротивление полимерных и компо зитных материалов. 3-е изд. Рига, 1980. 572 с.
4.Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972. 432 с.
5. Герштейн М. С., Халюк С. С. Свободные колебания многослойной |
оболочки. |
— |
В кн.: Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, |
1980. Т. |
2, |
с.57—63.
6.Рассказов А. О. К теории колебаний многослойных ортотропных оболочек. — Прикл. механика, 1977, т. 13, № 8, с. 23—29.
7.Григолюк Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стерж ней. — Изв. АН СССР. Отд-ние техн. наук, 1955, № 3, с. 33—68.
Грузинский институт |
Поступило в редакцию 03.05.82 |
субтропического хозяйства, Сухуми |
|
УДК 624.074.001:678.067
В. Ю. Сирюс, Г А. Тетере
УСТОЙЧИВОСТЬ И ОПТИМИЗАЦИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК из композитов
ПРИ КОМБИНИРОВАННОМ НАГРУЖЕНИИ
1. Рассмотрим задачу устойчивости ортотропной, шарнирно опертой, цилиндрической оболочки из композитного материала на основе полиме ров с учетом ползучести при комбинированном нагружении осевым сжа тием и внешним давлением (рис. 1). Для исследования процесса ползу чести оболочки с вязкоупругим связующим учтем деформацию попереч ных сдвигов. В качестве физических соотношений, связывающих напряжений и деформации примем линейные интегральные зависимости Больцмана—Вольтерры с учетом ползучести не только в плоскостях, перпендикулярных срединной поверхности оболочки, но и в плоскостях армирования. Допустим, что оболочка имеет начальную неправильность формы, характеризуемую прогибом Wo(x,y), и что форма начальных не совершенств находится в «резонансе» с формой потери устойчивости оболочки, т. е. что начальная форма поверхности оболочки с течением времени не изменяется, но происходит только нарастание амплитуды прогибов [1]. Начальные прогибы WQ(X, IJ), введенные в расчет на устой чивость, — возмущения, которые задаются и подчиняются в нашем слу чае условиям шарнирного опирания. Физические соотношения и аппрок симация неизвестных перемещений u(x,yf t) и v(x,y,t) прогиба w(x, y,t), углов поворота нормального элемента yXz{x,y,t) и yyz{x,yj) и началь ного прогиба w0(x, у) даны в [2J.
В квазистатической постановке задачи для исследования основного процесса ползучести оболочки на бесконечном интервале времени по от ношению к некоторым возмущениям в виде начальных несовершенств при экспоненциальных ядрах ползучести получаем следующую систему
линейных дифференциальных уравнений: |
|
|
1Ш |
) = [А]-1Ш }- [В ]{х(х)}). |
(1) |
Здесь {^(т)}т = {Хг(т), |
1,..., 5} — вектор неизвестных параметров ап |
проксимации. Коэффициенты постоянных симметричных квадратных матриц [ А ] и [Б] содержат параметры свойств материала, оболочки и на грузки; вектор {g} характеризует начальные несовершенства оболочки; точка означает дифференцирование по безразмерному параметру вре мени x = t/r\ г — время релаксации напряжений. Представим ненулевые элементы матрицы [А]:
А \ \ = А х х х х < Х ? ~ \ - А х х у у Я ? ) |
^ 12= |
{ А х х у у 4”А х у х у ) CLTly |
Л 13= |
А х х у у О с; |
|
Л 22= А у у у у П ? 4г А ХуХуО?\ |
Л 2 3 = — А у у у у П \ |
Л 33--Л у у у у 4"Л X2XZ&? 4"Л y z y z t l 2
a2NX n2Rq h h
п*
л 34= Л x z x z t t R ; Л зб = Л y z y z f t R \ Л 44—-J g - Л 11 + Л x z x z R 2 '*
h2 h2
^ 45==”l2 ^ 55~~\2 ^ 22^~^yzvz^ 2*