1.3. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Широкое применение математического моделирования приводит к определенному изменению методологии науки. При­ ближенный характер математических моделей изменяет требова­ ния к математическому описанию реального мира. Можно гово­ рить о более и менее точных моделях, о моделях, отражающих те или иные свойства объекта, о развивающихся, эволюционных моделях. С одной стороны, возможно существование параллель­ ных, не конкурирующих между собой моделей одного и того же объекта. С другой стороны, когда истинная природа объекта не­ известна, для его описания могут быть предложены конкури­ рующие модели, основанные на различных гипотезах, а сравне­ ние результатов моделирования на качественном уровне позволя­ ет отдать предпочтете одной из гипотез. Таким образом, пере­ ход к использованию моделей приводит, в известной мере, к ос­ лаблению требований к математическому описанию, делает его более гибким, сближает с вербальным описанием объекта.

Математическое моделирование является единственным методом исследования никогда не реализовывавшихся явлений (межпланетные катастрофы, отравление мирового океана), во­ обще не допускающих прямой экспериментальной проверки. Модели таких явлений существуют, что еще раз подчеркивает важность математического моделирования для развития научнотехнического потенциала цивилизации.

Споры о возможности математического описания и исследо­ ваниях сложных технических объектов основаны, главным обра­ зом, на разнице методологических концепций. Противники мате­ матического моделирования исходят из невозможности исчерпы­ вающего математического описания и получения точных решений для сложных систем, природа которых в настоящее время не мо­ жет считаться до конца ясной. Сторонники подразумевают воз­ можность и полезность построения приближенных моделей, опи­ сывающих хотя бы основные характеристики объекта, что является очень важным при проектировании объектов новой техники.

Список рекомендуемой литературы: [4, 9, 10, 12, 19,20,24].

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

НА МИКРО- И МАКРОУРОВНЯХ

2.1. МОДЕЛИ МИКРОУРОВНЯ

Микроуровень —это нижний иерархический уровень де­ композиции объектов проектирования по степени абстрагирова­ ния при составлении математического описания. На этом уровне осуществляется детальное описание физических свойств техни­ ческого объекта. Объекты рассматриваются как сплошные сре­

ды, имеющие	конечные области определения, выделяемые
в трехмерном	геометрическом пространстве. Такие объекты

представляют собой динамические системы с распределенными параметрами. Их также называют непрерывными системами.

Функционирование таких систем описывается дифференциаль­ ными уравнениями в частных производных.

Исследуемые объекты - отдельные детали машин и меха­ низмов, у которых принимаются в расчет все геометрические размеры и другие существенные параметры, например, тепло­ физические свойства и структура материала.

Общий вид математической модели, описывающей физи­ ческие свойства технического объекта с распределенными па­ раметрами, может быть представлен в виде системы п незави­

симых уравнений:
Э<р Э2ф Эф = 0 , /= 1, 2 ... и.	(2.1)
’ дх. ’Эх2 ’ д(

Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты х„ / = 1, 2... п и время !. Фазовая координата ф - функция независимых переменных.

Для получения единственного решения системы (2.1) не­ обходимо задать краевые условия [20, 24]. Краевые условия включают граничные и начальные условия.

Граничные условия - это сведения об искомых функци­ ях ср и/или их производных на границе S области определения объекта Q, характеризующие условия взаимодействия с окру­ жающей средой.

Начальные условия - это значения этих же функций во всей области определения в начальный момент времени. Начальные условия задаются только при решении нестационарных задач.

Граничные условия первого рода означают задание на гра­ нице S области определения объекта Q значений ф$ искомой функции фазовой переменной ф.

При граничных условиях второго рода задают на границе значения частных производных искомой функции по простран­ ственным координатам.

Граничные условия третьего рода представляют собой уравнения баланса потоков, характеризующих обмен энергией объекта с внешней средой.

Задача анализа процесса функционирования ТО заключа­ ется в определении фазовых координат как функций простран­ ственных координат и времени.

Исходное дифференциальное уравнение в частных произ­ водных (2 .1) вместе с краевыми условиями носит название

дифференциальной краевой задачи и представляет собой мате­ матическую модель технического объекта с распределенными параметрами.

Для построения таких моделей используют фундамен­ тальные физические законы. К ним относятся, прежде всего, законы сохранения.

Общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

формулировке,

(2 .2)

Уравнение, соответствующее данной имеет вид

^ = -div(J) + G ,

ot

где ф - фазовая переменная (координата), выражающая суб­ станцию; J - вектор плотности потока фазовой переменной; div(J) - дивергенция вектора J ; G - скорость генерации или уничтожения субстанции.

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементар­ ного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают масса, энергия, количество движения и др., для которых могут быть получены законы сохранения на основе уравнения (2 .2 ).

Рассмотрим процесс построения модели микроуровня на примере тепловых систем и получим уравнение теплопроводно­ сти, которое позволяет выполнять анализ температурных полей в деталях машин.

Уравнение теплопроводности может быть получено на ос­ нове закона сохранения энергии, который применительно к теп­ ловой системе можно сформулировать так: изменение во време­ ни количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внут­ ренними источниками (или поглощения энергии стоками).

По аналогии с уравнением (2.2) можно записать:

^ = -di v(q) +G0 ,	(2.3)
Ot
где Q - количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м3;
q - вектор плотности теплового потока, Дж/(м2 с); G Q -	количест­

во тепловой энергии, выделяемое в единицу времени в рассматри­ ваемом элементарном объеме, Дж/(м3 с). Величина G Q характери­ зует мощность внутренних источников или стоков теплоты.

Изменение количества тепловой энергии в единице объе­ ма dQ пропорционально изменению температуры dT:

dQ = CpdT,

(2.4)

где С - удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта, Дж/кг-К); р - плотность материала, кг/м3

Плотность теплового потока q	в соответствии с зако­
ном Фурье пропорциональна градиенту температуры:
^ = -A.-grader),	(2.5)

где А. - коэффициент теплопроводности материала объекта, Дж/(см-°К).

С учетом выражений (2.4) и (2.5) уравнение (2.3) приво­ дится к виду

— ■= ^ [d iv(A ' §rad(7’)) + C Q ] •			(2-6)
Для однородного изотропного тела X = const. Тогда
~	= ardiv(grad(r)) +	.	(2.7)
ot	Ср
Выражение дивергенции градиента температуры можно
записать в виде:
	й^Т1	й^ Т
div(grad( r # - * r - f - r V +		i E r .	<»>

Для решения уравнения (2.8) должна быть задана функция

Gg= Gg(x,y,z,t) и краевые условия.

При описании граничных условий в зависимости от нали­ чия информации о теплообмене на граничной поверхности при­ нимают различные допущения. В простейшем случае задают

граничные условия первого рода. При этом задается распределе­ ние температуры на граничной поверхности объекта S как

функция координат и времени:
Ts = ф(*, у, z, t), х, у, z e S.	(2.9)

Граничные условия второго рода описывают распределе­ ние производных температуры по пространственным координа­

там на поверхности:
(dTs/dn) = <р(х, у, z, 0, х, у, z е S,	(2.10)

где (d'Ts/dn) - модуль вектора градиента температуры на границе исследуемой области.

Учитывая формулу (2.10), можно отметить, что граничные условия второго рода характеризуют распределение плотности теплового потока на граничной поверхности S.

Граничные условия третьего рода позволяют конкретизи­ ровать характеристики теплообмена с внешней средой. При этом задается распределение плотности теплового потока на граничной поверхности. Функция плотности теплового потока зависит от способа теплообмена.

Например, при конвективном теплообмене плотность те­ плового потока на граничной поверхности пропорциональна разности температуры окружающей среды Тс и температуры

граничной поверхности Т$.
qs = a(Tc - T s),	(2.11)

где а - коэффициент конвективного теплообмена, Дж/(с м2 К). Принимая во внимание, что, согласно выражению (2.5),

модуль вектора плотности теплового потока q.s = -Х(дТ/дп), мож­ но записать следующее уравнение баланса тепловых потоков:

Х(дТ/дп) + а(Тс - Ts) = 0 .

(2 .12)

Выражение (2.12) представляет собой уравнение гранично­ го условия третьего рода при конвективном теплообмене.

Отметим, что выражения граничных условий первого и второго рода являются частными случаями уравнения (2 .12). Так, при а —> оо и X = const или при X -> оо и а = const получаем:

Нш	-L (3775«), = 0 ,	(2.13)
а/Х—>оо	а/Х

в результате Ts = Тс, и приходим к граничным условиям пер­ вого рода.

Если положить а -» 0, получим .частный случай гранич­ ных условий второго рода - при теплоизолированной граничной поверхности.

Для лучшего понимания материалов данного раздела сту­ дентам предлагается самостоятельно рассмотреть граничные усло­ вия при лучистом теплообмене, при генерировании теплового по­ тока на граничной поверхности, а также примеры построения мо­ делей микроуровня для гидравлических и механических систем.

Таким образом, совокупность уравнений теплопроводно­ сти и краевых условий составляет математическую модель теплового объекта на микроуровне. Результатом решения этих уравнений является температурное поле объекта, на основании которого можно судить о его работоспособности, которая опре­ деляется предельными значениями температуры и термических напряжений, допускаемых для соответствующего конструкци­ онного материала.

Модели микроуровня универсальны, поскольку дают наи­ более полное описание физических свойств технического объ­ екта. Однако они чрезвычайно сложны даже для отдельного элемента машины или механизма и требуют значительных за­ трат времени на проведение анализа. Если рассматривать каж­ дый элемент объекта макроуровня как сплошную среду, т.е. как динамическую систему с распределенными параметрами, то эго сделает практически нереальным решение задач оптимизации структуры и параметров объекта.

Поэтому при моделировании достаточно сложных техни­ ческих объектов и технологических процессов приходится при­ нимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделиро­ ванию на макроуровне.