Методы оптимизации эксперимента в химической технологии
..pdfполучим
2 |
x * |
- 9* - |
k ( |
k |
- l ) х иг хг |
(V.70) |
||
J=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (V.70) в (V.68), |
|
получим |
|
|
|
|||
i= l |
= 2 |
|
pj—*<*—0 2 |
*L*jг |
(V-71) |
|||
1=1 |
|
|
|
i=l |
|
|
||
С учетом соотношения (V.63) имеем |
|
|
||||||
N |
л |
|
N |
|
|
|
N . |
(V.72) |
ЗЛ2 * л = 3 2 |
f t—*(*—о 2 |
|||||||
/=! |
|
|
t-1 |
|
|
|
i=4 |
|
Отсюда |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 S |
PJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = \ |
|
= ШкА |
(V.73) |
|
и |
|
|
k (k +2) |
|||||
|
|
|
N |
А |
|
|
||
|
h |
|
|
2/=1______ |
|
(V.74) |
||
Тогда |
|
Nk(k + |
2) |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
(V.75) |
|
дX2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если все N точек ротатабельного плана расположены на одной |
||||||||
сфере, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi = PH |
■■■= Рлг и р? = PH |
• • • = & . |
|
|||||
из (V.75) имеем |
Х4/А§ = */(* + 2) |
|
|
|||||
|
|
|
и определитель матрицы (ХтX) равен нулю. Поэтому необходимо, чтобы точки плана были расположены на нескольких сферах. Для некоторого числа факторов радиус сферы, на которой лежат точки ядра плана, совпадает с радиусом а сферы, на которой лежат звездные точки. Чтобы информационная матрица была невырожденной, в ротатабельный план вводят точки, лежащие на сфере с нулевым радиусом, —п0точек в центре плана. Пусть N точек плана расположены на s сферах по пи точек на каждой сфере, тогда
i=l |
и=\ |
i=l |
«=1 |
(V-76) |
S * J e |
2 "«fa* |
2 |
р?= 2 |
При |
^2 = 1 имеем |
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
Я“РU |
k N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k + 2 |
|
|
Если точки ядра плана пя и звездные точки па расположены на одной |
|||||
сфере |
Ря = Ра ив центре плана имеется по точек, тогда |
|
|||
|
N = па+ пя+ по = п + /ц |
|
|||
и из (V.77) имеем |
|
|
|
|
|
|
_ kN |
fe (П + я,,) |
* |
(V-78) |
|
|
4 _ А + 2 п*р4 |
(ft + 2 ) n > |
Jfe + 2 |
||
|
|
Таким образом, наличие п0 точек в центре плана обеспечивает вы полнение условия (V.65). Величина звездного плеча в ротатабельных планах может быть определена из соотношения (V.63):
при к< 5
при |
5 |
|
2*+ 2а*=3- 2*; |
а = 2*/4 . |
|
|
(V.79) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ft—1 |
|
|
|
||
|
|
|
2*-1 + 2а4= 3 • 2*-1; |
а = |
2 4 . |
|
|
(V-80) |
||||
В табл. 45 приведены значения |
а, п0 и радиуса сферы, на которой |
|||||||||||
расположены точки ядра плана |
ря |
для различного числа факторов в |
||||||||||
ротатабельных униформ-планах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Т а б л и ц а |
45 |
Величины звездных плеч и количества точек ' |
|
||||||||
|
в центре плана в ротатабельных униформ-планах ' |
|
|
|||||||||
Параметры |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плана |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
|
2 |
|
|
|
||||||||
Ядро плана |
2 2 |
|
2 з |
24 |
25 |
|
|
2 5 - 1 |
2е |
2 в - 1 |
27 |
2 7 - 1 |
Ря |
1,41 |
|
1,73 |
2,00 |
2,24 |
|
2,27 |
2,45 |
2,45 |
2,64 |
2,64 |
|
а |
L 41 |
|
1,68 |
2,00 |
2*38 |
|
2,00 |
2,83 |
2,38 |
3,36 |
2,83 |
|
по |
5 |
|
6 |
7 |
10 |
|
|
6 |
15 |
9 |
21 |
14 |
Матрица ротатабельного плана второго порядка неортогональна, так |
||||||||||||
как |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
Ф®» |
/ = |
1» |
2, |
|
|
|
|
||
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N а |
а |
|
|
у, |
и= 1,2, |
|
|
|
|||
|
1 |
xJtxui Ф о, /=£и; |
k . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты bjj коррелированы между собой и со свободным членом Ь0. Поэтому для определения коэффициентов уравнения регрес сии необходимо решать систему нормальных уравнений, обращая мат-
Рицу (Х тX)
В = (х тX)'1 х тг .
Специфический характер матрицы (X тX) для ротатабельных планов Позволяет провести процедуру обращения этой матрицы в общем виде и получить формулы для расчетов коэффициентов уравнения регрессии И их дисперсий:
|
bo = j f |
|^2Х* (к + |
|
2) Д |
У1 - |
2М: 2 x ) i Vi |
|||
|
|
С |
N |
|
|
|
|
/ = *. 2 , . . . , k; |
|
|
b j = — 2 |
|
|
|
|
||||
|
Са |
N |
|
|
|
|
|
|
|
b u j = |
а п |
2 x u i x j W i » |
и |
|
/ * |
и * / = 1 , 2 , |
|||
|
|
^—1 |
|
|
|
|
|
|
(V.81) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jk iV |
^ = 4 - |
[С»(Л + 2)Х4-* 1 |
|
2 |
4 v i + c* ( l - x4 > 2 2 |
|||||
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
/=i i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
ДГ |
ч |
|
|
|
|
—2х4с 2 |
yi |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
/=i |
J |
||
|
|
52 |
_ |
2АЦ (к + 2) £2 . |
|||||
|
|
&0 "" |
|
|
уу |
|
|
воспр • |
|
|
|
|
5 2 |
|
= |
— |
5 |
2 |
|
|
|
|
bj |
|
дг |
|
воспр * |
||
|
|
'2.W = |
с* |
|
|
|
|||
|
|
X4W |
В0СПР |
||||||
|
р2 |
__ Л[(^+ 1)Х4 —(fe— 1)]C« ^ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
воспр * |
где k — число |
факторов, |
|
|
|
|
|
|
|
_______ 1________
2Х4[(Л + 2)Х4-Л ]
Константа Х4 определяется по формуле (V.77). Выражения (V.81) можно упростить, объединив константы:
N |
к |
N |
|
Ь0 = а х 2 У1 — а % 2 2 х пУ*' |
|
||
f=i |
/=11=\ |
|
|
N |
|
1» 2 , . . . , k l |
(V.82) |
bj = «з |
ХНУ1» / = |
(=\
N
but = |
04 2 |
X u ix jiu i; |
и ф / ; |
j , |
u = |
1, |
2 ,... |
, k; |
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
к |
N |
|
|
N |
|
|
|
h i |
= «&2 |
* ) iy i + a« 2 |
2 |
x j i ^ |
~ |
a7 2 |
«л; |
|
|
|
i=\ |
/=1 |
i=i |
|
|
<=i |
|
|
|
= aA : sbj = аз 4 : |
sl ii} = |
|
: 56/y = (“s + |
««)5£ • |
(V.83) |
Значения констант, входящих в выражения (V.82), приведены в табл. 46.
|
Т а б л и ц а |
46 Вычисление коэффициентов регрессии |
|
|
||||||
|
|
при ротатабельном планировании дЛя к^ 7 |
|
|
|
|||||
Число не |
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зависимых |
опытов |
"о |
|
а , |
а2 |
|
|
|
<*ь |
|
перемен |
N |
а |
Яэ |
аА |
а ъ |
|
||||
ных к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
13 |
5 |
1,412 |
0 , 2 |
0 , 1 |
0,125 |
0,25 |
0,1251 |
0,0187 |
0 , 1 |
3 |
2 0 |
6 |
1,682 |
0,1663 |
0,0568 |
0,0732 |
0,125 ‘ |
0,0625 |
0,0069 |
0,0568 |
4 |
31 |
7 |
2 ,0 0 |
0,1428 |
0,0357 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0037 |
0,0357 |
5* |
32 |
6 |
2 ,0 0 |
0,1591 |
0,0341 |
0,0417 |
0,0625 |
0,0312 |
0,0028 |
0,0341 |
5 |
52 |
1 0 |
2,378 |
0,0988 |
0,0191 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
а,0015 |
0,0191 |
6 * |
53 |
9 |
2,378 |
0,1108 |
0,0187 |
0,0231 |
0,0312 |
0,0156 |
0 , 0 0 1 2 |
0,0187 |
6 |
91 |
15 |
2,828 |
0,0725 |
. 0,0098 |
0,0125 |
0,0156 |
0,0078 |
0,0005 |
0,0098 |
7* |
92 |
14 |
2,828 |
0,0703 |
0,0098 |
0,0125 |
0,0156 |
0,0078 |
0,0005 |
0,0098 |
7 |
163 |
2 1 |
2,333 |
0,0398 |
0,0052 |
0,0066 |
0,0078 |
0,0039 |
0 ,0 0 0 2 |
0,0052 |
* Полуреплика.
При использовании ротатабельных планов второго порядка отпадает необходимость в постановке дополнительных параллельных опытов для оценки дисперсии воспроизводимости. Дисперсию воспроизводимости определяют по опытам в центре плана:
|
S |
o |
|
2 М - ? ) ! |
Уа |
s* |
= U --I______________ |
(V . 84) |
воспр |
По— I |
По |
Число степеней свободы дисперсии воспроизводимости равно |
/воспр — (До— D-
Остаточную дисперсию определяют по формуле
|
N |
А |
2 |
2 |
( y t - y i ) 2 |
__ *=1_________ |
||
^ОСТ |
|
f t _f |
Число степеней свободы остаточной дисперсии f OCT = А - /. Адекватность уравнения регрессии проверяют по критерию Фишера:
^ У ^ в о с п р . |
(V.85) |
где 5?д —дисперсия адекватности, которая определяется из соотношения
s ад ^ад — s ocrf°ст |
^оспрвоспрf'воспр1 |
' |
|
г |
^ост^ост |
^воевосарno ffIвоспр |
(V.86) |
|
|
5 ад ~ |
f ад |
|
foa —число степеней свободы дисперсии адекватности;
f ад = f ост / воспр*
Уравнение адекватно, если F<F}_P (/!, / 2), где/1 —число степеней свободы дисперсии адекватности;^ —число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.
Значимость коэффициентов проверяют по критерию Стьюдента. Если незначимым оказался один из квадратичных эффектов, после его ис ключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать.
Пример 3. Требуется установить влияние примесей, содержащихся в экстракционной фосфорной кислоте, на степень разложения (у, %) флотационного концентрата фосфорита Каратау. В качестве факторов, от которых зависит степень разложения, были выбраны следующие: zi - температура процесса, °С; Z2 —концентрация MgO в фосфорной кислоте, мас.%; гз —концентрация SOa в фосфорной кислоте, мас.%; Z4 —концентрация АЬОз в фосфорной кислоте, мас.%; z&—концентрация F в фосфорной кислоте, мас.%. •
Основной уровень; интервалы варьирования и границы области исследования при ведены в таблице.
|
Z, |
Z7 |
Z3 |
и |
Z5 |
А |
50 |
2,1 |
2,0 |
1,33 |
0,75 |
d z j |
20 |
0,9 |
1,0 |
0,37 |
0,25 |
+ 2 |
90 |
3,9 |
4,0 |
2,07 |
1,25 |
- 2 |
10 |
0,3 |
0,0 |
0,59 |
0,25 |
Область изменения независимых факторов соответствует диапазону изменения кон центраций примесей в промышленной экстракционной кислоте.
Р е ш е н и е . Для определения уравнения регрессии используем ротатабельный план второго порядка (табл. 47).
Т а б л и ц а |
47. |
Ротатабельный |
план |
второго порядка |
для |
Л —5 |
|
|
|
|
|||||||
Номер |
|
|
*2 |
* з . |
* 4 |
* 6 |
Уи % |
Номер |
|
Х2 |
* 3 |
Ха |
* 5 |
Уи % |
|||
опыта |
|
|
опыта |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
34,7 |
17 |
- 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
25,0 |
|
2 |
-1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
+ |
1 |
-1 |
41,4 |
18 |
4-2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
33,3 |
||
3 |
+ 1 |
-1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
39,0 |
19 |
0 |
- 2 |
0 |
0 |
0 |
42,0 |
|||
4 |
- 1 |
|
-1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
+ |
1 |
39,2 |
20 |
0 |
4-2 |
0 |
0 |
0 |
49,2 |
|
5 |
+ |
1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
-1 |
29,5 |
21 |
0 |
0 |
- 2 |
0 |
0 |
17,5 |
|||
6 |
-1 |
|
+ |
1 |
-1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
26,6 |
22 |
0 |
0 |
4-2 |
0 |
0 |
41,0 |
7 |
+ |
1 |
-1 |
|
-1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
30,0 |
23 |
0 |
0 |
0 |
- 2 |
0 |
35,6 |
8 |
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
+ 1 |
-1 |
34,5 |
24 |
0 |
0 |
0 |
4-2 |
0 |
27,2 |
||
9 |
+ 1 |
+ |
1 |
+ 1 |
-1 |
-1 |
32,2 |
25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- 2 |
39,0 |
|||
1 0 |
-1 |
|
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
4-1 |
41,4 |
26 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4-2 |
30,0 |
|||
11 |
+ 1 |
-1 |
|
+ 1 |
-1 |
|
4-1 |
33,7 |
27 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
35,4 |
||
12 |
-1 |
|
-1 |
|
-и |
-1 |
- 1 |
40,9 |
28 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
36,4 |
||
13 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
-1 |
|
+ 1 |
23,9 |
29 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
33,2 |
|||
14 |
-1 |
|
+ 1 |
-1 |
-1 |
|
-1 |
|
33,3 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
32,4 |
|
15 |
+ 1 |
-1 |
|
-1 |
- 1 |
|
-1 |
|
27,7 |
31 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
37,7 |
|
16 |
-1 |
|
-1 |
|
- 1 |
-1 |
-И |
35,9 |
32 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
36,9 |
Число |
опытов в матрице планирования |
для Ат —5 равно 32. |
Ядро плана |
представ |
|
ляет собой полуреплику 26-' с генерирующим |
соотношением |
дв = xuexaxt. |
Величину |
||
звездного |
плеча а —2 определяем по табл. |
45. |
Переход от натуральных переменных г |
к безразмерным х проведен по формуле (V.3). По эксперименту в центре плана опре
деляем дисперсию воспроизводимости Твоспр -4,47 |
с числом степеней свободы /воспр — |
||||||||||
- л о - 1 - 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По данным табл. 47 рассчитываем коэффициенты уравнения регрессии второго |
|||||||||||
порядка и их ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 = 35.41: |
fc, = 1,07794; |
|
62 = — 0,146; |
63 = |
4,5098; |
||||||
*4 = |
— 0,542; |
6Ь = — 1,3; |
Ьп = |
— 1 ,5; |
6„ |
= |
2,66; |
||||
6зз = — 1,47; |
|
644 = |
— 0,93; |
655 = |
— 0,15; |
612 = |
0,147; |
||||
5,3 = |
0,256; |
|
6 ,4 = 1 ,6 1 ; |
6,5 = 0,0534; |
623 = |
0,736; |
|||||
6*4 = |
— 0,198; |
6„ |
= 0,403; |
634 = |
0,401; |
636 = |
0,256; |
||||
645 = |
0 ,9 3 ; |
sjy = |
0,43; |
sbuj = 0 ,5 3 ; |
sb jj~ 0,394. |
Значимость коэффициентов проверяем по критерию Стьюдейта: |
|||||||
/ , = |
1,07/0,43 = |
2,48; |
<12 = |
0,147/0,53 = |
0,278; |
||
/ , = |
0 ,1 4 6 /0 ,4 3 = |
0,34; |
/ , 3 = |
0,256/0,53 = |
0,483; |
||
/3 = 4 ,5 1 /0 ,4 3 = 10,4; |
|
/ 14 = |
1,61/0,53 = |
3,04; |
|||
/4 = |
0 ,5 4 2 /0 ,4 3 = |
1,26; |
|
/ 16 = |
0,0534/0,53 = 0,1; |
||
/ 5 = |
1 ,3 /0 ,4 3 = 3,02; |
/23 = |
0,736/0,53 = 0,1375; |
||||
/ „ = |
1,5/0,394 = |
3,82; |
/ 24 = |
0 ,198/0,53 = |
0,374; |
||
|
/ , , = |
2,66/0,394 = |
6,75; |
|
|||
/ 33 = |
1,47/0,394 = |
3,73; |
|
/ „ = |
|
0 ,4 0 3 /0 ,5 3 = |
0,762; |
/44= |
0 ,9 3 /0 ,3 9 4 = |
2,36; |
|
/ 34 = |
0 ,4 0 1 /0 ,5 3 = |
0,758; |
|
/56 = |
0 ,1 5 /0 ,3 9 4 = 0,38; |
/ 46 = |
0 ,9 3 /0 ,5 3 = |
1,75. |
|||
Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости р —0,05 и числа |
|||||||
степеней свободы / —5 - (о^. (5) —3,18. После |
отсева незначимых коэффициентов, для |
которых (-отношение меньше табличного, и пересчета получаем уравнение регрессии вида
у = 36,2 + 4,51*8 — 1 ,3 * 5 + 1 .Olxjx^ — 1,45*2 + 2,82*2 _ 1 ,5 3 *2
Проверка адекватности по критерию Фишера показала, что оно адекватно эксперименту:
^оспр = 4 -47; |
= 15-35: F = 3 -43= f o,9 5 (20.5) = 4 ,5 . |
Полученное уравнение позволяет определить степень разложения флотоконцентрата фосфорита Каратау при различных температурах в зависимости от содержания приме сей в кислоте.
7. Критерии оптимальности планов. При определении критериев оптимальности планов для Бокса и его школы характерным является эмпирико-интуитивный подход. Сначала ими было предложено считать оптимальным ортогональные планы, позднее —ротата бельные. План ортогонален, если ему соответствует диагональная информационная матрица. Полученные по ортогональным планам оценки параметров независимы. План ротатабелен, если соответствующая ему ковариационная матрица инвариантна к ортого нальному вращению координат. Выполнение этого условия делает любое направление от центра эксперимента равнозначным в смысле точности оценки поверхности отклика.
Свойства ортогональности и ротатабельности планов чрезвычайно удобны в прак тическом отношении, что способствует широкому применению этих планов в экспери
менте. Линейные ортогональные планы 2к и 2к~Р обладают также свойством ротатабельности. Композиционные ротатабельные планы, предложенные Боксом и Хантером, не ортогональны. Если же в качестве критерия оптимальности выбирать ортогональ ность, то неизбежны некоторые потери в точности оценок параметров и регрессионной функции.
Одновременно с развитием идей Бокса развивалось второе, чисто теоретическое направление в планировании эксперимента. Наибольший вклад в его развитие внес американский математик Кифер. Концепция Д-оптимальности, развиваемая Кифером, является естественным продолжением теории эффективных оценок Фишера. В теории Фишера эффективность оценок задается только оптимальным способом обработки результатов эксперимента. При обработке экспериментов методом наименьших квадратов для линейного уравнения регрессии находят совместно эффективные оценки этих коэф фициентов. При этом эллипсоид рассеяния оценок имеет наименьший объем. Объем эллипсоида рассеяния связан с определителем информационной матрицы следующим образом:
„(k+2)k/2nk'2
Vk= ----гг---- |
(V.87) |
где г (*+■)- гамма-функция.
В концепции Кифера эффективность обусловливается еще и оптимальным распо ложением точек в факторном пространстве. План эксперимента, при котором объем эллипсоида рассеяния минимизируется на множестве планов в заданной области, назы вается Д-оптимальным. Согласно (V.87) Д-оптимальному плану должен соответствовать максимальный определитель информационной матрицы.
Кифером предложен ряд критериев оптимальности планов. Все эти критерии, как и критерий Д-оптимальности, фактически сводятся к некоторым требованиям, предъяв ляемым к виду ковариационной, а следовательно, и информационной матрицы. Так, план называется А -оптимальным, если его ковариационная матрица имеет наименьший след (сумму диагональных элементов). А-Оптимальный план позволяет минимизировать среднюю дисперсию оценок параметров. План называется Е-оптимальным, если максимальное характе ристическое значение соответствующей ему ковариационной матрицы оценок параметров минимально. Эхо значит, что ^-оптимальный план минимизирует максимальную ось эллипсоида рассеяния оценок параметров. План называется G-оптимальным, если он обеспечивает наименьшую по всем планам максимальную дисперсию предсказанных значений у в области планирования и, следовательно, обеспечивает отсутствие в области планирования точек, в которых точнос;п> оценки поверхности отклика слишком низкая.
Боксом и Дрейпером предлагается еще один критерий оптимальности планов, позволяющий минимизировать систематическое и общее смещение, возникающее при аппроксимации поверхности отклика полиномом более низкого порядка, чем это требуется для адекватного описания.
В настоящее время наиболее развита теория построения Д-оптимальных и G-опти мальных планов. В общем виде задача построения Д-оптимальных планов не решена. Наиболее разработанными можно считать методы получения Д-оптимальных планов для оценки одного параметра. В работах Кифера, Вольфовица, Хоула и Коно введено понятие непрерывного плана и построены непрерывные Д-оптимальные планы для полиноминальной регрессии первого и второго порядков при ограничениях на гиперкубе и /:-мерном шаре; для тригонометрической регрессии с различными весовыми функциями на от резке. Границы эксперимента чаще всего задаются гиперкубом. Д-Оптимальные планы первого порядка при ограничениях на кубе можно задать в виде ПФЭ 2к. Д-Оптималь- ными планами являются также некоторые дробные реплики полного факторного экспери мента, и планы Плакетта —Бермана для числа факторов к, удовлетворяющих условию к+ 1, кратны четырем. Эти планы в то же время ортогональны и ротатабельны.
Д-Оптимальные непрерывные планы второго порядка на кубах размерности 2—5 для полиномов второго порядка, предложенные Кифером и Вольфовицем, как правило, содержат очень большое число наблюдений; так, например, при к —5 в таком точном плане должно быть более 1500 измерений. В связи с этим при помощи ЦВМ были найдены несимметричные планы второго порядка с достаточно малым числом экспе
риментальных точек, которые близки к Д-оптимальным по таким |
характеристикам, |
как определитель информационной матрицы, средняя и максимальная |
дисперсия пред |
сказанного значения параметра оптимизации. Была проведена также сравнительная оцеВка с позиции D-оптимальности характеристик некоторых композиционных планов вторОРО порядка при ограничениях на кубе для /с—4, 5, 6 . Выбор того или иного плана ис_ следования определяется постановкой задачи и возможностями эксперимента.
8. Исследование поверхности отклика. Решение задачи оптимизации.
Уравнение регрессии второго порядка, адекватно описывающее по**™ стационарную область, исследуют для определения координат оптимума. Кроме того, представляет интерес изучение свойств поверхности от клика в окрестности оптимума. При этом полезно перейти от полинома второго порядка, полученного по результатам опыта, к стандартному, каноническому уравнению:
У -У , = *11*1 + *22 *2 + • • • +*hft Х\ . |
( V .8 8 ) |
|
|
где у5 —значение выхода'в центре поверхности; Х\, Хч, |
^ —канони |
ческие переменные, являющиеся линейными функциями факторов xv х2, х к\ А.и, Ай , ...,Хкк —коэффициенты канонической формы.
Первый этап канонического преобразования —перенос начала коор динат в особую точку поверхности отклика —центр поверхности. Коорди
наты центра S определяются решением системы уравнений |
|
|
# U o . | £ - o . ... |
(V.89) |
|
дхг |
’ дх2 |
|
Рис. 38. Канонические поверхности и их сечения для к — 2
При аппроксимации поверхности отклика полиномом второго порядка приходится решать систему к линейных уравнений. Если определитель этой системы равен нулю, то поверхность не имеет центра. В этом случае можно или перенести начало координат в точку с наилучшим значением выхода, или совсем не переносить центр. При этом для нецентральной поверхности оптимум будет лежать на границе области определения факторов. Если поверхность имеет центр, то в него пере носят начало координат. При этом в уравнении поверхности исчезают члены, содержащие линейные эффекты, и изменяется свободный член. Коэффициенты при вторых степенях и взаимодействиях инвариантны относительно переноса. Второй этап —поворот координатных осей в но вом центре таким образом, чтобы исчезли члены с эффектами взаимо действия; свободный член инвариантен относительно поворота. В ре зультате получим уравнение вида (V.88). Поверхности второго порядка классифицируются по их каноническим формам (рис. 38).
1. Все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки. Поверхность —эллиптический параболоид (рис. 38,а). В центре поверх ности максимум при Хп < 0 и минимум —при Хи> 0.
2.Коэффициенты имеют разные знаки. Поверхность —гиперболиче ский параболоид, «седло» (рис. 38, б). В центре поверхности —«мини- Макс».
3.Один или несколько (но не все) коэффициентов близки к нулю.
При этом центр лежит далеко за областью экспериментирования. По верхность такого типа называется «возрастающим возвышением» («греб нем»).
4. Возможен еще вырожденный случай параллельных плоскостей, который не представляет практического интереса (рис. 38, в).
При Х22=0 (рис. 38, г), перенеся начало координат в точку S (обычно вблизи центра плана), получаем уравнение параболы:
у -- yS — ^1 1 ^ 1 + ^22 % 2 - |
(V.90) |
Перейдем от уравнения регрессии второго порядка для к =2, полу ченного по экспериментальным данным
Л
У = Ь 0 + Ь2х2 + Ь12хгх2 + ЬХ1Х~Х+ Ь22х~ , (V .91)
к каноническому уравнению (V.88). Определим координаты точки S — центра поверхности. Для этого необходимо решить систему уравнений:
т— = 0, |
26ц xl -(- bx2 X2 + Ь1—0; |
дхх |
(V.92) |
|
|
----- = 0 , |
b 12X 1 + %Ь22Х2 + ^2 — 9 • |
дх2 |
|
Решение, системы (V.92) дает координаты центра х ]5 и x2s. Подставив их в уравнение регрессии (V.91), получим значение выходной величины в точке S - y s. Перенесем начало координат в .точку S (ys, x]s, x2s). Старые координаты хр х2, у связаны с новыми х \, х2, у' соотношениями:*
*1 = xls + х{ ,
** = x2S+ *2 ’ |
(V.93) |
y = ys + y'-
В новой системе координат уравнение (V.91) примет вид
у — Уз= *11 ( ) + Ьм ( *2 ) + * 1* Х1 *2 •
На втором этапе преобразования при помощи поворота осей коорди нат освободимся от эффекта взаимодействия. Для этого необходимо повернуть оси координат на такой угол а, чтобы
ctg 2а = (Ьц — Ь22)/Ь12• |
(V.94) |
Тогда получим в новой системе координат Xv Х2, у уравнение регрессии ' в каноническом виде:
0 - < /, = Xu*i + *я |
(V.95) |
Старые координаты xv х2 связаны с новыми соотношениями |
|
хх= (Хх+ xls)cos а — (Х2+ х2s) sin о, |
|
х2 = (Хх + Xls) sin а+ (Х2+ |
(V.96) |
X2s) COS а. |
Для определения коэффициентов канонического уравнения Хм и X22 воспользуемся следующими двумя инвариантами уравнения (функ циями коэффициентов, которые не изменяют своего значения при любом преобразовании координат):
h = Ь1Х + Ь22 = const, |
(V.97) |
|
Ьц |
|
Ч2Ь12 |
= |
const. |
|
|
|
/* = |
|
|
Ь22 |
|
||
|
xUb12 |
|
|
|
|
||
Из (V.95) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь ц |
+ ^22 = |
^11 + |
^22 > |
(V- 98) |
||
|
^11 ^22 — V |
= |
|
|
4^12 |
||
|
|
|
|
||||
Так как в данном преобразовании X12*=0, получим соотношения для |
|||||||
определения Хм и |
Х2 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
Ьц + ь22= хп + \22t |
(V.99) |
|||||
|
bn Ь22— хи ^12 = ^11 ***' |
||||||
|
|
||||||
Используя теорему |
Виета, |
А.ц |
и |
Х2 2 |
можно определить |
как корни |
|
квадратного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
X* - |
(Ьп + М |
X + |
(*„ ьгг |
- |
V*ь?2) = 0. |
(V. 100) |
В многомерных задачах каноническое преобразование осуществляется методами линейной алгебры. Составим из коэффициентов уравнения регрессии второго порядка, полученного по эксперименту,