Механика сплошной среды
..pdfпростым |
умножением на |
В1тВп и А1тАЬ приводятся |
соответствен |
||
но к |
|
|
|
|
|
|
°mn= М8тп+ 2 (IX—Щ Етп в Э, |
|
|||
|
^тп= Рётп 4“ №§тп ® Л• |
|
|||
Конечно, |
в общем случае |
(9.11) |
все значительно |
сложнее, что |
|
видно из |
(9.15), (9.15'), |
(9.15") |
и других отмеченных выше пред |
||
ставлений. |
/) |
при x=eonst рассматривается как тра |
|||
В гл. V процесс Z(x, |
ектория 6- и 5-мерного вектора в пространстве его компонент и
даются |
некоторые |
канонические |
представления |
функционала |
||||||||||
(9.14) |
|
на основе понятий длины дуги и кривизны траектории |
век |
|||||||||||
тора деформации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.11) |
опе |
|||
Уже отмечено, что в определяющих соотношениях |
||||||||||||||
ратор |
?l (Z(x)) в Л |
можно рассматривать как функцию линейных |
||||||||||||
операторов над Z( T ) |
типа |
(9.19), |
не зависящую от 2(т): она оди |
|||||||||||
накова |
для различных |
процессов |
Z' = Z(xif т) и Z" = Z(x2, т) в |
|||||||||||
двух |
различных точках xi=const, |
X2 = const |
среды. Возникает во |
|||||||||||
прос |
сравнения |
и параметров |
различия |
2/ (t) и Z"(t), |
т. е. их |
|||||||||
геометрических образов. |
|
Z=(zij) |
в соответствие |
поставим |
||||||||||
Симметричному |
тензору |
|||||||||||||
б-мерное линейное пространство Е6 |
ортогонального |
вектора |
z в |
|||||||||||
репере |
а& (& = 0, |
1 ,...,5 ; |
а*а/ = бм), |
причем |
так, чтобы 5-мерное |
|||||||||
подпространство (&=1, 2 ,..., 5) |
соответствовало девиатору |
2, а |
||||||||||||
свертка двух тензоров уц2 ц |
равнялась скалярному |
произведению |
||||||||||||
yz. Тождество уz = yhzk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при замене |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Уи — Уи + -у- УФи, |
гц==гц + |
~ ^ ф |
|
|
(9.43) |
|||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yz = уиги =зуигц + -^-Увгв |
(/, / = |
1, |
2, |
3; k= 0, 1, |
|
,5 ) |
(9.43') |
|||||||
и приводит к преобразованиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Z o ^ - ^ Z e ; |
У |
j - z t/= ^ z k; |
У |
^ z k= $ z ih |
(9.44) |
причем матрицы р{) и р£' определяются одной и той же табл. 4.
Если в точке х среды задан процесс деформации (9.8) 2= б, значит он имеет заданную траекторию в 6-мерном пространстве вектора деформаций э= е
Т а б л и ц а 4
\ |
k |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
11 |
l/VT |
|
cos Ро |
|
sin |
Ро |
|
0 |
0 |
0 |
|
22 |
1 / / 2 ~ |
—sin(po + |
n/6) |
cos (Ро + Jt/6) |
0 |
0 |
0 |
|||
|
33 |
1 / / 2 |
sin |
|
я /6 ) |
— cos (Ро |
— |
я /6 ) |
0 |
0 |
0 |
|
|
(ро — |
|
|
0 |
0 |
|||||
|
12,21 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
cos я /6 |
|||
|
2 3 ,3 2 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
cos я /6 |
0 |
|
|
3 1 ,1 3 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
cos я /6 |
которая характеризуется шестью внутренними геометрическими параметрами — длиной дуги s и пятью компонентами Kk(t) тензо
ра кривизны к траектории процесса
d s ( t ) = \ d * \ = V k f i k d t = V |
вц (t) в ц (0 dt, s {t) = J | dB (x)|, |
(9.46) |
||||
d2e |
d3e |
j |
dm+1e |
) |
(m= 1,2, |
5). |
*m(t) — fm ( | d$2 |
ds3 |
Г |
dsm+1 |
|||
ds2 |
|
|
|
|||
где fm— известные |
функции |
указанных производных (см. § |
18); |
а также ориентацией траектории в пространстве Ее, т. е. ориента
цией репера Френе в начале процесса |
t= t0, s= 0, иначе |
говоря — |
|||||||
|
ортогональными |
преобразованиями процес |
|||||||
|
са в 6-мерном |
пространстве |
е, (/)= О е(/)> |
||||||
|
где О — постоянная матрица |
0 70 = /, за |
|||||||
|
висящая |
от |
6X6— (6+ 5+ 4+ 3+ 2+ 1) = 15 |
||||||
|
параметров. |
Заметим, |
что |
преобразование |
|||||
|
лагранжевой |
системы |
|
координат в теле |
|||||
|
принадлежит к |
указанным |
преобразовани |
||||||
|
ям в Ее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждой точке 5 (момент t) на траек |
||||||||
|
тории деформации z = a(s) |
в Ее можно изо |
|||||||
|
бразить |
соответствующий |
оператору (9.11) |
||||||
|
?= 5 вектор напряжения y = S; получается |
||||||||
|
аналог образа процесса |
деформации в Ее |
|||||||
|
движению материальной точки по траекто |
||||||||
|
рии г= г(/) |
под |
действием |
силы |
&(t). За |
||||
|
время dt |
совершаемая |
работа ^ d r |
соответ- |
|||||
Рис. 9.1 |
ствует скалярному произведению |
|
|||||||
|
ydz= Skbhdt= Sl'det/, |
|
|
|
|
(9.47) |
т. е. работе внутренних сил в единице объема за время dt в точке х= const среды (рис. 9.1). Этот образ процесса подробнее рас-
смотрен в гл. V. Здесь отметим лишь, что если в Е%установлено квазилинейное соотношение
y= chz\ |
(k=0, 1, |
, 5), |
(9.48) |
Zk — линейный по t оператор над z, а |
сохраняются при преоб |
||
разовании матрицей Рг/, то |
(9.48) дает |
|
|
|
yti=ch(zh)(J. |
|
(9.48') |
§ 10. ОСНОВНОЙ ПОСТУЛАТ МСС И ТЕРМОДИНАМИКА
Состояние вещества среды (окрестности точки х = const) опре деляется переносным движением окрестности (векторы перемеще ния и, скорости v, ускорения w, вихря о>) и внутренними харак
теристиками |
(температура |
Т, |
векторы |
Е, D, Н, В, тензоры <§ 5, |
||||
1?), изменяющимися во времени. Все |
эти параметры |
считаются |
||||||
однозначными |
функциями |
х, |
ty т. е. среда |
локально |
макроско |
|||
пически однородна. В МСС |
могут рассматриваться |
и /г-значные |
||||||
параметры для макроскопически неоднородных /г-фазных сред. |
||||||||
При изучении уравнений состояния и термодинамики вещества |
||||||||
переносным |
движением окрестности |
х можно |
пренебречь, если |
|||||
рассматривать |
постоянную достаточно |
малую |
массу Am и объем |
|||||
AV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Amg= p gAV= Г |
pdV. |
|
|
|
||
|
|
|
|
AV |
|
|
|
|
При этом с любой заданной точностью внешние |
силы, действую |
|||||||
щие по границе Д2, взаимно уравновешены, т. е. |
|
—£Ра= |
||||||
=0(а)-+ 0 (3.11), |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
\ P(v)d2 = |
0, |
Г л:х P(v)d 2 = 0 , |
|
|
||
|
|
AS |
|
AS |
|
|
|
|
с точностью о (а), так как объемные интегралы имеют еще более высокий порядок малости. Нарушение условий А£Ра = 0 (а)-+0 происходит на поверхностях разрывов (см. § 11). В этом смысле непрерывные процессы, происходящие в частице среды, называ ются равновесными. В принципе такой выбор AV возможен и в эксперименте для квазиравновесных процессов. Работа внешних сил сведется только к работе поверхностных сил за счет дефор маций объема Д1Л Но из (8.28)
б% = j P(v)v6M2 J S^beadV m S^euAV,
Д2 |
ДУ |
и потому отнесенная к единице объема мощность внешних сил численно равна мощности внутренних напряжений
Ь'Аг |
б'А |
|
|
|
|
|
|
|
|
™дубГ= |
61 |
~ |
ч ’ |
|
|
|
( 10. 1) |
||
b'A = Siibzij= a iiVi]bt. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Вследствие непрерывности |
компонент |
Vij, |
по х очевидно, |
что |
|||||
величина —6М = —S^8eij |
представляет |
работу |
рассматриваемой |
||||||
системы (массы Amg), сообщаемую через |
границу AS окружаю |
||||||||
щей среде за время бt. |
|
|
|
|
|
|
во-первых, |
||
Приток тепла к частице в МСС характеризуется, |
|||||||||
теплопроводностью и полем |
вектора |
потока |
тепла |
q(x, |
t) |
или |
|||
q(x, /), причем по определению |
вектора |
q приток тепла |
через |
||||||
замкнутую поверхность AS к заключенной |
внутри AV массе |
за |
|||||||
время бt равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6'Qr = — [ q n d m = — f qnd m . |
|
(10.2') |
|||||||
AS |
|
|
AS |
|
|
|
|
|
Во-вторых, местным источником тепла мощности рq$ в секунду на единицу объема различной физико-химической природы.
Преобразуя интеграл (10.2') в объемный, получим
— J q n d m = — 6t J divqdV = J 8'QdV^6'QrAV. |
(10.2) |
||
AS |
A V |
A V |
|
Следовательно, величину |
|
|
|
|
6'Q= —div q8t ^ |
6'QT=8'QT/hV |
(10.3) |
можно назвать плотностью притока тепла за время бt, а величину б'QT— притоком тепла к массе Amg от окружающей среды; чис ленно она равна притоку тепла через границу AS, а с обратным знаком, т. е .—6'<3т^ divq6^AK, равна количеству тепла, выде ляемому массой Amg в окружающую среду. В лагранжевых и эй леровых координатах имеем
div q=Vj<7‘ (х, t)= - y |
d(Aqi) = |
dQj (X, t) |
А |
dxl |
dxi |
qt=(\Э1, Q i= qe,. (10.3')
Размерность вектора q выбирается так, чтобы величина б'QT име ла размерность работы, 6'QT/6t— мощности на единицу объема.
Приток тепла 6'QT в МСС рассматривается как тепловая
энергия, сообщаемая в единицу объема среды за время бt окру жающей этот объем средой. Предполагается, что 8'QT можно определить в опытах с помощью калориметрических измерений, основанных на измерении температуры Т (х, t) или Т(х, /). По добно тому как работе б'А соответствует изменение макроскопи ческих характеристик механического состояния 6ег/ предпола-
гается, что количеству тепла б'QT соответствует изменение макро скопической характеристики состояния бт], так что
8'QT=pT8r\, |
(10.3") |
причем т] называется плотностью энтропии. Физический смысл ве личин 7, т] как статистических характеристик внутреннего состоя
ния частицы Дtrig (системы SN) выяснен в § 2; |
Г пропорциональ |
|
на средней |
кинетической энергии хаотического |
движения частиц |
системы, г] |
— среднему значению логарифма функции распределе |
ния. Предполагается, что макроскопическое состояние вещества в
окрестности точки х = const |
среды характеризуется некоторым на |
|
бором макроскопических независимых |
между собой параметров |
|
процесса П(т), заданного на интервале |
и соответствую |
|
щим набором независимых |
между собой параметров реакции |
R(t), определенной в момент т = t.
Полный набор параметров термомеханического процесса и со
ответствующий |
набор |
параметров |
реакции представляются, на |
пример, парами |
|
|
|
П(т) = |
(Г(т), |
?(т)), R(t) = |
{r\(t), 5(0); |
или другими, отмеченными в конце параграфа.
Полный набор П и соответствующий набор R для термо-элек-
тро-магнито-механических процессов |
в МСС |
получается |
из |
пре |
|||||||
дыдущих дополнением векторов |
электрической |
и магнитной |
ин |
||||||||
дукции D ( T ) , В ( т ) в |
состав |
П(т) |
и самих |
электрического и маг |
|||||||
нитного векторов Е(£) |
и Н(^) — в R(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В общем случае будем считать, что полный набор параметров |
|||||||||||
процесса и соответствующей |
реакции |
получается |
дополнением |
||||||||
термомеханических параметров параметрами |
Рп(т)= Р(т) и Р(£): |
||||||||||
П(т) = (Т(т), |
1(Т), Р(т)), |
/ ? |
( |
0 (Л= |
( 0 |
, |
S |
( 0 , |
Р ((10) ..4') |
причем они согласуются с совокупностью опытных фактов.
В основу термодинамики и теории уравнений состояния в МСС
положен принцип, называемый |
(основным) |
постулатом макро |
|||
скопической определимости: для данного вещества |
макроскопи |
||||
ческое состояние, |
т. е. реакция |
R(t) |
и любая |
макроскопическая |
|
величина в точке |
х= const, в момент |
t однозначно |
определяется |
процессом П(т). В нем содержится утверждение локальной опре
деленности состояния, т. е. независимости |
R(t) |
в точке х от П(т) |
||
в других |
точках (х' = х+ £), и полноты |
системы |
внутренних (в |
|
смысле МСС) параметров б, 7, р. |
|
только физической |
||
Следовательно, существует определяемый |
||||
природой |
среды и не зависящий от П(т) |
оператор |
по времени |
|
(см. § 9) |
R1(...), такой, что |
|
|
|
Оператор 7?*(П) связан с лагранжевой системой координат х, выбранной при t= t0 в среде, которая может быть анизотропной, и анизотропия может изменяться со временем. Поэтому преобразо вание оператора R1 при ортогональных преобразованиях лагран жевой системы координат х может быть сложным. Только в слу
чае |
начально |
изотропных |
сред при ортогональном преобразова |
нии |
П = 01Г, |
R = OR' из |
(10.4") получим /?' = /?* (ГГ), в общем |
случае /?'=oW (O IT)
Для определенности ниже в основном будем иметь в виду тер момеханические процессы, для которых параметры р отсутствуют. Интуитивно справедливость постулата можно пояснить заменой поверхности А2 частицы A m g совершенно непроницаемыми для внутренних частиц плоскими безынерционными стенками и пред
ставлением <§ (т), Т(т) в виде заданного закона движения стенок и изменения во времени постоянной по объему температуры. Ка жется почти достоверным, что при этом «отдача» («отклик на П») системы через стенки* во внешнюю среду будет определяться толь
ко природой среды, т. е. среднее давление |
на каждую |
стенку и |
|||||
выделение тепла однозначно ею определяются. |
Коши — Ла |
||||||
В термодинамике |
удобнее |
тензор напряжений |
|||||
гранжа S отнести к плотности р, переобозначив о(х, |
/)= 3(х, /)/р, |
||||||
так что (10.4'), (10.4") перепишем в виде |
|
|
|
||||
|
|
П (т) = |
(£ (т), Т (т)), |
|
(10.4) |
||
|
a =S/p, |
R (t) = |
(о (т), |
л (т)) = |
R‘ (П (т)). |
|
|
|
|
|
|||||
Из основного постулата и определения |
вектора |
напряжений |
|||||
на границе |
Pv= S 2Vi, |
работы и притока тепла как интегралов |
|||||
Ч |
= { P(v)v6W2=6MAF, |
6'Qr = |
— J ЯпШЪ, |
(10.5) |
которые в принципе в квазистатических опытах можно измерить для любых процессов, тензор напряжений 5, мощность бМ/б/ и скорость притока тепла 6'QT/8t будут определенными функциона лами процесса, однозначно определяемыми природой вещества
~ = fA (П (т)) = -^ - Фи (П (т)),
~ т- = /г (П (т) ) Ф |
т (П (т)) = Т (t) |
r\f (П (т)), (10.6) |
(П (т)), |
о'/ = ~ L |
(П (т)), |
|
Р |
|
Л'(П) называется функционалом энтропии. Выделение множителя Р=Роl V 8 не вносит ограничений, так как определитель g вы-
ражается через тензор 8. Представление функционалов или опе раторов, зависящих от параметра (см. § 9), в виде производных по параметру t от других функционалов, принятое в (10.6), не на кладывает на них других ограничений, кроме условий интегрируе мости /а , / т по времени t. Предполагается существование интегра лов
Ф л (0 = р и 1 (1 ) . т щ й т,
|
^0 |
(io.7> |
|
t |
t |
||
|
которые с обратными знаками (—Фа, —Фт) можно назвать ме ханической энергией и тепловыделением в точке х= const, переда ваемыми за время t—10 частицей постоянной массы с единичным начальным объемом и начальной плотностью ро= р(^о)=рЛУ в окружающую среду через ее границу. Последняя строка равенств (10.6), устанавливающая связь между тензорами напряжений, де формаций и температурой, называется уравнениями состояния.
Внося в (10.6) выражение 6'Л/6/ (10.1) через мощность внут ренних напряжений, получим соотношение
a'/el7= - L s i/-% L= ^ _ 0 ^ |
(Ю.8) |
рdt dt
которое при подстановке в него функционалов fV (10.6) должна быть тождеством для любого t:
Ot |
(10.8') |
01 |
Введенные скаляры и тензоры записывались выше как функ ции времени t для точки х = const, чтобы подчеркнуть, что рас
сматриваемые функционалы f и Ф — операторы по параметру т в
интервале |
над П(т), т. е. тензором деформаций |
8 и тем |
||
пературой |
Т в той же точке x=const. Эти |
функционалы |
зависят |
|
от х лишь |
потому, что в конечной области |
G пространства |
опре |
|
делены поле 8 и поле Г, т. е. функции х, t |
|
|
|
|
|
£ = Ё(х, т), Т= Т( х , т), |
х е С . |
|
(10.9) |
В области |
G определено также поле вектора потока тепла |
q(x, |
f)=Q(x, t). На основании соотношения (10.3) из (10.6) получаем
уравнение распространения тепла
р7’-^-'Ч'(П(х, т)) = —divq, ot
ИЛИ
= pfr= —div <7.
■Сумма
Ф л+ Ф г= «<(П(х, т)) |
(10.11) |
называется функционалом внутренней энергии, или внутренней энергией. Из (10.6) получаем закон сохранения энергии
pdu=8'A + 8'QTt |
(10.12) |
из которого после подстановки выражений 6'A, 6'Qr получаем функциональное уравнение в лагранжевых координатах
p_aiL= s i/J e f/_ _ div q |
(10.13) |
dt dt
Из уравнений (10.10) и (10.13) находим основное термодинамиче ское равенство (тождество), связывающее работу внешних сил с функционалами внутренней энергии и энтропии
6ц—Г6т1= — 6'Л; — 6,A = a88= aii6elh |
(10.14) |
РР
где символ б означает приращение (дифференциал) по времени. В частности, из (10.5') и (10.6) находим коэффициент теплопро водности при постоянных деформациях:
т дг№ |
dd>T |
0 при |
д%(Л_= о |
(10.15) |
— — |
||||
dT/dt |
йТ |
* |
dt |
|
Поле вектора потока тепла q(x, t) в МСС определяется полем температуры Т (х, £), а именно пространственным градиентом тем пературы
g ==grad Г = (у тГ) э т= |
э т= дТ(х: 1) е„ |
(10.16) |
д \т |
дх1 |
|
причем q направлен в обратную сторону по отношению к grad Т9 т. е. в сторону убывания Т, Вектор g может быть включен в чис
ло параметров процессами(т) = (<§ (т), |
Т(т), g(x)), |
а поток теп |
|
л а — в реакцию R(t) = (a{t)9 ri(0» |
Ч(0)- Но тогда |
только компо |
|
нента q будет иметь вид |
|
|
|
q ( 0 = 4 ( I . |
т, |
g), |
(10.17) |
причем по закону Фурье в Л: |
|
|
|
q (0 = -A g (/);A (/) = |
A ,(|f 7); |
|
В эйлеровом пространстве Э(*, t):
Ч(лг, t)= Q l (х, t) eit
Q‘ (х ,t ) = — M (,x,t)dT ( x , t)/dxf, |
(10.17") |
причем переход от (10.17') к (10.17") связан с преобразованием: матрицы Л от Л к Э (§ 9).
А — положительно определенная матрица теплопроводностиу. определяемая природой вещества, зависящая, вообще говоря, or
Г, <§ и, может быть, даже q:
A = A (T ,|',g ); |
(Ю.18): |
она предполагается известной на основании специальных измере ний теплопроводности вещества с использованием закона Фурье (10.17). Для изотропных сред часто предполагают:
q = -X g, |
(10.18') |
причем скаляр К зависит только от температуры и плотности
Я(х, t) = l ( x , t)= X (р, 7).
На основании (10.10) |
получается уравнение теплопроводности: |
||
в (Л) и (Э) в виде |
|
|
|
р7 an^ ,° |
= div (A grad 7 (х. /)) + р<7р |
|
|
р7 йц (*’ 0 - = |
div (A grad 7) + р</р |
(10.19) |
|
или через функционал и(ё?у Т) |
в лагранжевых координатах в ви |
||
де (10.13). |
|
|
формуя |
В § 3 (V) дано другое представление второй строки |
(10.6), сводящееся к замене функционала Фг суммой двух других,,
иуравнения теплопроводности в виде
Тк\= T s —w*9
рТ -^ - = div (AgradT) + pw* |
(10.20) |
at |
|
Определение s(S, T\ и w*(iГ Т) через т|, следовательно, неод нозначно и требует дополнительного условия, которое конкретизи руется для различных сред или процессов заданием функционала
w*=w\ (П (т)) ^ 0, |
(10.21) |
w* имеет размерность мощности на единицу массы. Из (10.6) и (10.20) следует соотношение
pTds=8'QT-\- pw*6t, |
(10.22) |
называемое в МСС уравнением баланса энтропии, a s(<?f, Т)
энтропией. Из (10.12) и (10.22) следует
Р (dty+ sdT)=8'A—рw*dt,
(10.23)
б'А = 8 ‘Ыгц, ф = w—Ts.
Сопоставление равенств (10.12), (10.22), (10.23), аналогичных полученным в статистической механике для равновесных обрати мых процессов (§ 2), во-первых, дает некоторое основание для принятой выше терминологии (внутренняя энергия, энтропия, if — функционал свободной энергии) ; во-вторых, позволяет опре делить в МСС макрообратимые термомеханические процессы как такие, в которых рассеяние равно нулю (до*=0), и функционалы энергии и энтропии являются функциями мгновенного состояния
процесса H(t) = (<2>(t), T(t)) в момент x=t, т. е.
ш* = 0; R (t)= R ‘(П (т)) ^ |
Я (П (/)), |
|
|
ы(/) = «(П(/)), |
ф (/)-ф (П (/)), |
5(0=5(П(/)). |
(Ю.24) |
Поскольку функционал |
/?'(П(х)) является непрерывным для |
любых физических процессов, он — функция линейных функцио налов процесса (§ 9)
р (/) -- К |
(0, тх(/), |
, тп (/)) = (П (т)) . |
|
|
или |
= (т о! (П (т)), |
,т'(П (х))) |
|
|
|
|
1, ... , п). |
|
|
^ (0 = К ( П ( т )), |
(fc=0, |
(10.25) |
||
Здесь т£(П )— линейные функционалы |
(линейные |
операторы) |
||
над П(т). Например |
(§ 9), |
t |
_ |
|
|
|
|
||
р(/) = р'(П(т)) = |
5;П(т)^Яп(<, Т), |
(10.25') |
||
|
|
to |
|
|
|
t . |
t |
_ |
|
m h (t) = J I (X) dx H e {t, T) + f t |
(X) dxHT(t , X), |
|
||
to |
to |
|
|
где ff(t, т ) — тензор (или матрица-функция (t, т)) с ограничен ным дифференциалом по т.