Механика сплошной среды
..pdfсистемы SN- Само среднее значение ЗГ называется макроскопи ческим, или наблюдаемым, значением функции ^"(р, q). Если, начиная с любого момента t0, в конкретном опыте измерять q, р через минимальные доступные отрезки времени Дт, то за время т
накопится |
большое число измерений (qa\ |
pal), |
т. е. найдется |
множество |
состояний системы S^(al) (al = 1 |
2, |
т5/ДО>1). Так |
как потенциалы U', Vе от времени не зависят, то дальнейшие из мерения за пределами интервала дают результаты, почти повто ряющие найденные на достаточно большом отрезке времени т5. Например, в случае «макроскопически неподвижного» монокрис талла при нормальных условиях (давлении, температуре) неко торый меченый атом колеблется около положения, равновесия, проходя все возможные значения координат и скоростей за время порядка 10- 12—10~13 с, и, значит, xs такого же порядка или не сколько большего. В случае газов (Не, Аг, N2) при нормальных температуре и давлении каждая молекула имеет около 5•109 столкновений в секунду, т. е. xs порядка 10-9 с.
Поскольку время xs мало по сравнению с очень малым макро скопическим временем, которое для кристаллов и газов, например, порядка 10—5—10~3 с, то все найденные выше в опыте состояния системы Sw(al) (al = 1, 2, т5/Дт»1) можно считать допусти мыми начальными условиями (1.13) для системы SN. Получается, что как будто вместо одной системы SN при t = t0 мы имеем набор систем S//al), отличающихся начальными условиями.
Производя множество конкретных опытов при макроскопичес ки равноправных внешних условиях (например, с газом в термо статах, являющихся баллонами различной формы из разных ма териалов при одинаковых объемах и температурах с одинаковыми интервалами измерений Дт), получим конечное множество MSN наборов систем
S*(al), V a2), SN<*b\ .... Siv(aB) (b= 1 2, ..., В).
Система SN находится в макроскопически равновесном состо янии (макроскопически равновесна), если в любом конкретном
опыте она равновесна и имеет во всех опытах |
одинаковые xSi |
3F |
с некоторой макроскопически определенной степенью точности. |
|
|
Множество MSN равновесных состояний системы SN, состоящее |
||
из всех R=AB состояний (элементов) |
(a= 1 2, ..., |
А\ |
b= 1, 2, ..., В) при фиксированных внешних |
макроскопических |
условиях, называется равновесным ансамблем системы SN- Число элементов MSN теоретически можно считать как угодно
большим (при Дт->-0, В-+оо), и элементы можно перенумеровать по индексам a, b так, чтобы близким значениям пар чисел (а, Ь) соответствовали близкие по значению (р, q) элементы SN{ab)-
Обозначая через (q*, q*1), (р*, р*1) произвольные фиксирован ные значения координат и импульсов, предполагая конечные раз ности
dpk = Pk'—Pk, dqk = qk'—Ч*
сколь угодно малыми, фазовым объемом в точке (р, q) назовем
величину
dpdq=dp\ ... dpNdqi... dqN=
==dpi'dpi2dpi3... dpN4 p N'2dpN3dq^dqi2dqi3...
.. .dqN4 q N2dqN3.
Число R=AB систем ансамбля предполагается столь большим, что в фазовом объеме dpdq в момент t заключено также большое число систем.
Системы Sfj(ab) при различных а, b неравновероятны. Напри мер, атом в кристалле чаще всего можно наблюдать около поло
жения равновесия, молекулу газа почти невозможно |
наблюдать |
||
в момент столкновения с другой молекулой и т. д. |
|
в состо |
|
Обозначим через R i плотность числа систем |
ансамбля |
||
янии с координатами (р,. р2 .... Рл?; qi, Ч2> •••, |
Qw) = |
(р, |
q), так |
что Ri(p, q)dpdq представляет число систем, импульсы и коорди
наты которых |
находятся в |
объеме dpdq, |
включающем |
точку |
||
(Р. Я)- |
вероятности |
нахождения системы S N |
|
|
||
Плотностью |
в состоянии |
|||||
с данными значениями (рь |
р2 |
рль Чь |
Чл?), |
т. е. в |
точке |
|
(р, q), назовем предел отношения |
|
|
|
|||
|
/(Р, Я)— |
|
(Р. </) 1 |
|
|
(1.34) |
|
|
|
_|л- |
|
|
|
Для любой |
данной ^ (р , |
q) |
естественно |
назвать |
средней по |
|
ансамблю величину |
|
|
|
|
|
|
|
(«^ (Р. Я ))а в = |
j |
& (Р. Я) f (Р. Я) dpdq, |
|
(1.35) |
|
|
|
ГАВ |
|
|
|
|
если /(р, q) нормировать условием |
|
|
|
|||
|
f(p, q) dpdq— 1 |
|
|
|
||
|
ТАВ |
|
|
|
|
|
и макроскопически неподвижную область Гав определить по свой ствам самой системы SN, т. е. по параметрам р функции Гамиль тона Н (р, р, р) и заданным макроскопическим внешним услови ям. Уравнение нормировки непосредственно следует из (1.34) до перехода к пределу /?->оо и означает, что число систем ансамбля
R |
равно АВ. Выражение |
средней по |
ансамблю |
означает, что |
в |
нем функция & (р, q) |
встречается |
столько же |
раз, сколько и |
аргументы этой функции. Например, кинетическая энергия пятой частицы [(Р5)2 + (pi?)2 + (pj?)2]/2m5 встречается в ансамбле столько
раз, сколько тройки чисел (р\, р|, pj?).
Средние по времени и по ансамблю для макроскопически равновесной системы SN построены на одном и том же множест
ве R = AB элементов |
S%b) (а= 1,2, |
, А\ 6 = 1 |
,2 , |
,5), и созда |
ется впечатление, что |
переход от |
средней по |
времени к средней |
по ансамблю есть чисто формальное преобразование, т. е. они рав ны между собой. Это было бы действительно так, если бы кон кретные опыты приводили к тождественным результатам и в каж дом из них за время т система совершала в фазовом пространстве один и тот же замкнутый цикл, т. е. множество MSN сводилось бы к множеству состояний в одном детерминированном движении Sv при точно заданных начальных условиях. Поскольку в этом слу чае (р, q) однозначно определяются интегралами движения, то и /(Р. Q) определялась бы ими, т. е. удовлетворяла бы уравнению Лиувилля. Следовательно, средняя по времени равнялась бы ста тистической средней. Это впечатление ошибочно, так как все пе речисленные условия не выполняются. На макроскопически рав новесную систему наложены лишь очень слабые ограничения, и имеется множество «допусков». (Для газа — допуски на темпера
туру и объем баллона; независимость 2F от вещества баллона и состояния его поверхности; независимость от малых ошибок в па раметрах (хи т. д.). В общем случае не существует и замкнутых циклов у детерминированных систем.
Все равновесные состояния консервативной системы S/V опре делены в неподвижной области Г фазового пространства (р, q), следовательно, и в неподвижном объеме V физического простран
ства, т. е. макроскопически система |
SN представляется неподвиж |
ной. Поэтому интегралы движения |
Q= 0, G= 0 являются триви |
альными, и известен только один интеграл движения, явно не за висящий от времени, — интеграл энергии *
Н(р, q) = K(p) + U (q, ц ) = £ = const,
N 3
(1.36)
k=\ а- 1
Предположение, что в построенном выше ансамбле / = /> и функция /^(р, q) зависит только от #(р, q), определяет так на зываемый канонический ансамбль Гиббса
fN(p,q)= fN{H(p, q,\i))=fN(H). |
(1.37) |
В каноническом ансамбле константа Е имеет различные зна чения для разных систем ансамбля, т. е. функция }N (H) опреде-
* Вопрос о том, является ли при данной Н(р, q) интеграл (1.36) единст
венным, явно не зависящим от /, не решен. Есть работы, в которых предпо лагается существование других.
лена в 6Л^-мерной связной области Г фазового пространства и Н = Е являются ее поверхностями уровня.
Принимаемое для равновесных систем предположение, что ста
тистическое |
среднее значение |
любой |
вГ (р, |
q), называемое также |
|
средним по ансамблю, |
|
|
|
|
|
|
(«г (Р, q)) = |
l ^ (Р, Я) h (Я) dpdq |
(1.38) |
||
|
|
Г |
|
|
|
равно среднему по времени (1.32) |
|
|
|
||
|
(р, q))=<F |
|
(1.39) |
||
называется |
эргодической гипотезой, |
или, |
иногда, |
эргодической |
|
теоремой, доказанной, однако, только для |
некоторых частных |
случаев. Эргодическая гипотеза во многих случаях дает основание для трактовки введенных выше статистических средних как наб людаемых макроскопических параметров системы. Например, если
N (а также |
числа |
сортов N и ..., |
iVT) очень велико и система S,v |
из состояния |
(1.23) |
переходит в |
равновесное с функцией распре |
деления (1.37), то эволюция описывается функцией, определяемой уравнением (1.21), причем некоторые из статистических средних типа (1.31) представляют макроскопические наблюдаемые харак теристики системы.
Плотность массы, скорость движения и закон сохранения массы простой системы. Общий статистический подход к описа нию движения системы при некоторых существенных дополнитель ных определениях и условиях в принципе позволяет получить из уравнения Лиувилля важные для МСС законы неравновесного и неоднородного в пространстве движения системы S M как сплош ной среды. Среди них наименее ограничительным является вывод закона сохранения массы, который и приводится ниже для прос той системы.
Вероятность |
нахождения |
определенной |
частицы |
с |
номером |
k = ly например |
первой ( /= 1), |
в единице объема с центром г, точ |
|||
нее — плотность вероятности |
нахождения |
частицы |
k = l |
в точке |
г в момент t при условии, что импульсы всех частиц и координа
ты всех остальных (кроме |
k = l) частиц |
имеют какие угодно зна |
|||
чения из области |
Г= ГРиГ<7 |
пропорциональна 6N—3-кратному ин |
|||
тегралу от f(t, р, |
q) по всем импульсам |
в пределах области |
Гр и |
||
по координатам в пределах области |
всех частиц, |
кроме |
£ = /, |
||
для которой q/ = r зафиксировано. |
находящихся |
в момент t |
|||
Средним числом частиц системы Su, |
|||||
в единице объема |
V в точке г пространства наблюдателя, |
назы |
|||
вается величина v(f, г), определяемая равенством |
|
|
|||
v= £ |
r) > = ( £ 6 (Яй—г)), |
|
|
||
|
А=1 |
/г=1 |
|
|
|
т. е. математическое ожидание всех точек системы в единице объема; причем интеграл от v(r, i) по всему объему V, занимае мому системой SN, равен числу N частиц системы:
dr = d V = d x4 x4 x\
Макроскопической плотностью называется величина
N |
|
(1.40) |
р (*, r) = ( £ |
(яа—г) } • |
|
k—\ |
|
|
В случае одинаковых масс всех частиц p= mv.
Макроскопическая скорость соответственно определяется через импульсы равенством
|
|
|
|
N |
|
|
|
V ( r ,0 = — ( J ] p ft6 (qft- r ) ) . |
(1.41) |
||
|
|
|
|
k=\ |
|
Уравнение Лиувилля |
(1.21) запишем в виде |
|
|||
/л/ = |
dt |
+ |
S £ [ К |
Ш ы ) ■ |
(1.42) |
|
|||||
|
|
а=1 k—\ |
|
|
|
где v(k=pt/m,l и F“= |
—dH/dqt (FA не зависит от р). |
Умножим |
|||
(1.42) на m/6 (q/—г), |
1=1, 2........N, и просуммируем, по I от 1 до |
||||
N; результат интегрируем по области Г, т. е. вычисляем равную |
|||||
нулю сумму |
|
|
|
|
|
|
N |
|
q, t)8(qt— r)dpdq=0. |
(1.43) |
|
|
|
|
|||
|
/= 1 |
г |
|
|
|
Очевидно, на основании определения (1.40) |
|
||||
/-•=1 |
г |
{(ч' - г) * ^ |
Н г ( 1 т,в (q' - r>) |
|
|
|
|
/=1 |
|
Поскольку для любых I и k согласно (1.20)
I 6(q' - r)^ a (rtf*)dp=8(qi- r ) j 1 L - ( F ^ ) d p = °
ГР |
ГР |
(так как импульс Pka принимает значение на границе области Гр), соответствующая сумма в (1.43) исчезнет; что касается слагае
мых, содержащих вторые члены суммы в (1.42), они содержат выражения типа
( б ( я , — г) |
|
J |
* * |
Для 1фИ функция 6(Я/—г) выйдет из-под интеграла по qka, ин теграл возьмется и будет равен нулю, так как координата qka выйдет на границу области Г9; следовательно, останется сумма, которая на основании определения р и V(r, t) (1.40), (1.41) рав на (при l = k)
J 2 6(4,“ r)i ^ |
(p“/w) |
(р и . |
|
Г Л -1 |
k |
|
а — 1 |
где ха, Va — компоненты |
г, |
V. Таким |
образом, из (1.43) получа |
ется закон сохранения массы
з
(1.44)
СС--1
который из других соображений получается в МСС.
Уравнение сохранения импульса для массы единичного объема
получается |
из |
(1.42) умножением на p<6(q<—г), |
суммированием |
||
по всем / от 1 до N и интегрированием по Г, т. е. из векторного |
|||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
3 |
|
u i - |
, |
р/б(Ф—г)+2 L1£ fpi6(q'~r) |
|
||
|
|
/ = |
1 к—1 а = 1 |
|
|
|
|
+ P/S (q,~ г) — |
(FtfN)1) dpdq= 0. |
(1.45) |
|
|
|
|
|
JJ |
|
При интегрировании по области Г время i является параметром, от которого (через параметры р) может зависеть,граница облас ти Г; на ней согласно (1.20) функция /лг=0 и для всякой Ф(р, q)
dfN (p ,q ,t) |
, . |
д |
----- dt------ |
dpdq = — (0(p, q)). |
Поэтому первая сумма равна (с учетом (1.41))
Вторая сумма при 1фк обращается в ноль, так как производная по таким q f выходит за знак подынтегрального выражения
р,6 (q,—г) - 2 - (п“/Л.) = |
[р/^/л,б (ч,—г)] |
ЧЧ к
и интеграл по Г равен нулю (q f |
принимают значения на границе |
||
Г, и потому fN = 0). Значит, вторая сумма равна |
|||
з |
N |
r) |
dpd~ |
2 12 Pft6 |
|||
а=1 |
Г *=1 |
|
|
Но по определению б(ч*—г) (1.30)
К |
6(qft—Г): |
дха ■б (qft— г) |
и вследствие независимости pft, r>“= p “/mft, fN{p, q, t) от г
Pft6 (qft—r) — (v%f„ ) = - £ - [pft6 (qk—r) vakfN) +
К4
+^ r[ P ft6 (qft—r)i%fN].
Интеграл от первого выражения по Г равен нулю, так как !N= 0 на границе Г; производная по ха при подсчете суммы выхо дит за знак интеграла по Г. Следовательно, вторая сумма в (1.45) равна
- £ г (Pft^S (qft-r)> . |
(1-45") |
СС=1 |
|
Среднее значение всех скоростей o f (Л = 1 2, |
N) примем рав |
ным Va, среднее значение импульсов р* — равным m*V и обозна чим отклонения от средних
Apft=Pft—"JftV. |
(1.46) |
Тогда для (1.45") с учетом (1.40), (1.41) |
получим выражение |
где вектор
N |
Ар» |
6 (qft- r ) ) |
|
|
(1.48) |
||
k=\ |
mk |
|
|
|
|
|
|
называется кинетическим вектором |
внутренних |
напряжений на |
единичной площадке с нормалью, совпадающей с осью ха в точ
ке г. Три вектора о“ин (а=1, |
2, 3) образуют симметричный тен |
зор кинетических напряжений |
(а, (э=1, 2, 3) |
В последней (третьей) |
сумме уравнения |
(1.45), |
слагаемые |
при |
|
1фк обращаются в ноль (интегрируются |
по pka) |
и при l = k |
на |
||
основании тождества |
|
|
|
|
|
dfN |
pOL |
|
dPk |
|
|
FkPk |
~ F‘ ' d p i |
(IШ - F tf .N |
|
|
|
M |
|
d p i |
|
|
и независимости вектора силы F/; от импульсов р получим
k—\ а=1
Здесь dph/dp%=dqh/dqr£= ea—единичный вектор вдоль оси ха. Вектор
F (r ,0 = 5; <Р*07.<)в(Чи-г)> |
(1-49) |
Л=1
представляет некоторую среднюю силу, действующую на единицу объема среды в точке г и возникающую за счет потенциала вза имодействия всех точек системы SN между собой и с внешними телами;
дН |
= дЦ' (q) |
д и ‘ {q’ & = — F'ka — Feka , |
(1.49') |
|
dpi |
дя1 |
|||
dpi |
|
где первое слагаемое дает силу, действующую на /г-частицу со сто роны всех других частиц системы, второе — силу со стороны внешних тел.
В результате уравнение сохранения импульса (1.45) приводит ся к виду
|
у |
<ин |
F' (г, f) + |
P (r, t), |
|
|
|
Ь |
дха |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
ос—1 |
|
|
|
|
(1.50) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
где F e(r, t) |
— главный вектор |
внешних сил, приходящихся на |
||||
единицу объема в точке г в момент t. |
t) всегда |
приводится |
||||
В МСС |
предполагается, |
что |
вектор F'(r, |
|||
к дивергентному виду, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
к , , |
|
|
г м — а=1 /г—1 |
|
|
(1.51) |
|||
|
|
а=1 |
дха |
|||
|
|
|
В некоторых случаях в статистической механике такое приведе ние хотя бы формально удается сделать. Пусть, например, потен циал взаимодействия частиц системы между собой U'(q) пред ставляет собой сумму потенциалов Umn парного взаимодействия частиц m и /г, зависящих от расстояния между ними:
N
v <?>=Y £ £/». (ft*,). |
P |
l = 2 |
( « - « ) * . |
(1-52) |
!,гг—1 |
|
а=1 |
|
|
где сумма берется по всем т , п от |
1 |
до JV |
причем £/mm = 0. |
Вхо |
дящая в (1.51) сумма легко преобразуется к виду
N
в«и—г)= У
изатем на основании тождества ([/m* = £/*m)
dUmk dUkm
ч ~ ч
■— к виду
N k—\
^ [ Н ч т- г ) - Н < \н - г ) Ь |
(1.53) |
Если силы парного взаимодействия частиц k и тп — близко действующие, т. е. пренебрежимы при удалении частиц на рас стояние порядка а, весьма малое сравнительно с характерным линейным размером объема V, а значит, и сравнительно с г, то аргументы 6-функции, входящие в (1.53), будут отличаться на
величину порядка а. Поэтому их разность формально можно за менить разложением в ряд по степеням qm—q^:
6(4m—г)— 6 (qft—Г)= б (qft—г + qm—qft)—б (qft—г)=
= £ |
■« - * > + |
3=1
Если ограничиться только первым (выписанным выше) членом разложения, то подстановка его в (1.53) и в (1.51) приводит F' к дивергентному виду, причем
N |
/?-1 |
|
|
|
|
2 (Fftm (<?£-<&) 6 (qft- r ) > , |
|||
k=-2 т —1 |
3 |
(1.54) |
||
|
|
|||
г |
dUftm |
dUkm |
||
|
||||
|
dqk |
И |
d4 e P- |
|
|
|
P---1 |
|
Если использовать полный ряд, то сумма в (1.51) также приве дется к дивергентному виду и выражение (1.54) будет первым членом разложения вектора напряжения с^пот. Строгое доказа тельство такой возможности здесь не рассматривается.
Представим полный вектор напряжения через его компоненты оаР:
зз
о“= £ |
о“Рер= £ (°кни + Опорт) ер. |
(1.55) |
Р-.--1 |
р -1 |
|
Три скалярных уравнения сохранения импульса из (1.50) получим в виде
Р |
dVV |
|
|
daafi |
|
( Р = 1 2, , |
3), |
(1.56) |
|
|
dt |
|
|
дха |
|
|
|
|
|
причем в рассматриваемом |
частном |
случае |
компоненты |
тензора |
|||||
внутренних напряжений оаР (а, |
(3=1, |
2, |
3) определятся |
формулами |
|||||
|
|
|
|
|
6(qft— r)) + |
|
|
||
|
|
k—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
N k— \ |
(4 - |
О |
(4 - |
|
dUkm |
|
|
|
|
+ m |
|
6 (4ft—Г)), |
|
|
||||
|
|
9km |
|
dPkrn |
|
|
k= 2 m = \
и, как видно, тензор напряжений симметричен: oaP = ofla.