Оптимизация эксперимента в химии и химической технологии
..pdfВыборочные коэффициенты эксцесса и асимметрии определяют ся по формулам:
(11.115)
4t T
*п
* |
Н |
|
1 |
V I |
- |
|
(11.116) |
|
v3 - |
4 - |
|
4 |
У |
(*/— * )* -3. |
|||
|
4 |
|
« 4 |
t T |
|
|
|
|
Распределения этих оценок сложны |
и мало |
изучены, |
Однако из- |
|||||
вестны дисперсии этих величин: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
6 (в -1 ) |
|
(11.117) |
||
|
(Yl) |
(л + 1) (л + 3) ' |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
. |
|
24л (л - 2 ) (л - 3 ) |
|
(11.118) |
|||
W |
(л + 1)2 ( л + 3) (л + 5) ’ |
|||||||
|
||||||||
где п — объем выборки. |
|
D(уг*), |
можно |
оценить, |
значимо ли |
|||
Зная дисперсии L>(yi*) |
и |
выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если
Ivli < * V |
(11.119) |
\Ъ\<Ь~\/ D {yl), |
(11.120) |
то наблюдаемое распределение можно считать нормальным.
Пример 13. Размер частицы никелевого катализатора замерен с точностью до 1 мкм. На выбодке объема п=200 проверить, подчиняется ли распределение размеров частиц нормальному закону. В таблице приведены отклонения разме ров частиц катализатора от номинального. Результаты сгруппированы в 10 интер валов длиной h= 5 мкм.
Интервал h |
Границы интер |
Середина интер |
Число точек |
Относительная' |
валов xi^.i-7-х^ |
вала хi |
в интервале п^ |
частота р* |
|
1 |
—20-=— 15 |
—17,5 |
7 |
0,035 |
2 |
— 15ч— 10 |
— 12,5 |
11 |
0,055 |
3 |
— Юнг - 5 |
- 7 ,5 |
15 |
0,075 |
4 |
—5нг0 |
- 2 ,5 |
24 |
0,120 |
5 |
Онг5 |
2,5 |
49 |
0,245 |
6 |
5нгЮ |
7,5 |
41 |
0,205 |
7 |
Юнг 15 |
12,5 |
26 |
0,130 |
8 |
15нг20 |
17,5 |
17 |
0,085 |
9 |
20нг25 |
22,5 |
7 |
0,035 |
10 |
25 нгЗО |
27,5 |
3 |
0,015 |
Р е ш е н и е . Проверим гипотезу нормального распределения размера частиц катализатора (случайная величина X), определив коэффициенты асимметрии и эксцесса. Данные таблицы служат для определения выборочных среднего, дис-
версии, третьего и четвертого центрального моментов случайной величины X для сгруппированных данных по формулам:
|
|
_ |
1° |
|
|
|
10 |
|
|
__ |
|
|
ю |
|
|
__ |
|
|||
|
|
* = 2 |
Pixi> 4 = |
2 |
|
p*it o —-r)2- |
= 2 |
|
р*to - |
jc)3' |
|
|||||||||
|
|
|
i-1 |
|
|
|
i-1 |
10 |
|
|
|
|
i-l |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J*4= 2 |
P * ( X i — X ) * , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где pi*—'относительная частота, определяемая по формуле |
(II.6). Необходимые |
|||||||||||||||||||
для расчета данные (суммы) приведены в таблице. |
|
|
|
|
|
|
' |
|||||||||||||
; |
|
х« |
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
* |
|
|
i |
I |
7 |
|
Ун |
|
|
|
|
* Г * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 V |
|
|
|
|
||
1 |
—17,5 —0,6125 |
—21,8 |
|
475,2 |
—10360 |
225853 17,43 |
—352,6' |
7904,9 |
||||||||||||
2 |
—12,5 —0,6875 |
—16,8 |
|
282,2 |
—4742 |
79659 |
15,52 |
—260,8 |
4381,2 |
|||||||||||
3 |
- 7 ,5 |
—0,5675 |
-1 1 ,8 |
|
139,2 |
—1643 |
19388 10,44 |
—123,2- |
1454.1 |
|||||||||||
4 |
- 2 ,5 |
—0,3000 |
- 6 ,8 |
|
46,2 |
—314 |
21381 |
|
5,54 |
—37,7 |
256,6 |
|||||||||
5 |
|
2.5 -0,6125 |
—1,8 |
|
|
3.2 |
|
- 6 |
|
|
10 |
|
0,78 |
|
—1.5 |
2,4 |
||||
6 |
|
7,5 |
1,5375 |
3.2 |
|
10,2 |
|
30 |
|
105 |
|
2,09 |
|
6,2 |
21,5 |
|||||
7 |
|
12,5 |
1,6250 |
8,2 |
|
67,2 |
|
551 |
4125 |
|
8,74 |
|
7116 |
587,7 |
||||||
8 |
|
17,5 |
1,4875 |
13,2 |
|
174,2 |
2300 |
30300 |
14,81 |
|
195,5 |
2580,6 |
||||||||
9 |
|
22,5 |
0,7875 |
18,2 |
|
331,2 |
6029 |
109720111,59 |
|
211,0 |
3840,2 |
|||||||||
10 |
|
27,5 |
0,4125 |
23,2 |
|
532,2 |
12487 |
289702 |
|
7,98 |
|
187.3 |
4345.5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
« |
Суммы: |
I |
4,295 |
1 |
|
|
|
|
|
|
I |
04,92 |
—114,2 |
25375* |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
В результате |
получим |
х=4,30 |
|
мкм, sx=9,71 |
мкм, рз*= —114^2 |
мк*м, |
||||||||||||||
=25375 мк*м. Определим коэффициенты асимметрии |
и эксцесса по |
формулам |
||||||||||||||||||
(IL115) |
и (11.116): |
|
• |
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
у[ = ~ |
= — 0,1247, Yj = —j - — 3 = |
|
-0 ,1 4 5 5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
s , |
|
|
|
|
s . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
и их дисперсии — по формулам (11.117) и (11.118): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
„ |
* |
|
24-200(200— 2) (200^-3) |
|
„ |
|
|
i / Т Г Т - |
|
|
|||||||||
|
|
(Y s)~ |
(200+ 1)2(200 + 3 )(2 0 0 + 5) |
~~ |
,ИЗ; ' |
Ш |
= |
|
||||||||||||
|
Таким образом, имеем |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 V 'D (YI) = 0,51 и |
I v t l |
= |
0.1247 < з К ^ > ( ¥ ^ . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
5 V i>(v5) = |
1.70 н |
1 Va I |
= |
0,1455 < 5 ] 0 ( У ^ ) - |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
\ |
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, наблюдаемое распределение можно считать нормальных'
62
Проверим полученный вывод при помощи критериев Пирсона и Колмогорова. Составим для вычисления этих критериев таблицу
|
Границы |
|
|
|
|
( n ^ n p ^ * |
/ |
п 1 |
n p i |
n Fn (.х) |
n F ( x ) |
n \ Fn ( x ) - F ( x ) \ |
|
интервалов |
|
|
a p t |
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
— 00 — 15 |
7 |
4,7 |
7 |
4,7 |
2,3 |
1,12 |
|
2 |
- 1 5 - — 10 |
11 |
9,50 |
18 |
14,2 |
3,8 |
1,18 |
|
3 |
- 1 0 - - |
— 5 |
15 |
19,5 |
33 |
33,7 |
0,7 |
|
4 |
— 5 - - |
0 |
24 |
31,6 |
57 |
65,3 |
8,3 |
1,81 |
5 |
0 - - |
5 |
49 |
40,3 |
106 |
105,6 |
0,4 |
1,87 |
6 |
5 - - |
10 |
41 |
38,9 |
147 |
144,5 |
2,5 |
0,11 |
7 |
10-- |
"15 |
26 |
29,2 |
173 |
173,7 |
0,7 |
0,20 |
8 |
15-- |
20 |
17 |
15,6 |
190 |
189,3 |
0,7 |
10,002 |
9 |
20-- |
25 |
7 |
7,7 |
197 |
197,0 |
0,0 |
0,001 |
10 |
25-- + о о |
3 |
3,0 |
200 |
200 |
0,0 |
1 |
Вероятности pi вычислены по формуле (1.64). В качестве параметров взяты их оценки: х=4,3 мкм, sx= 2,71 мкм. Например, для второго интервала имеем
*— 10— 4,3 |
- 15- |
4'3 ) =Ф / = 2 Щ _ Ф |
= |
|
р2 = Ф |
||||
9,71 |
9,71 |
) |
V 9,71 ) |
\ 9,71) |
= Ф ( — 1,472) — Ф ( — 1,987) = — 0,4292 + 0,4767 = 0,0475,
и после умножения яр2= 200 *0,0475=9,5. Так как для первого и последнего ин тервалов npi<5, первых два и последних два интервала объединены в один. Величина х2 определяется следующим образом:
8
(rij — ЯР/)2
Х2= S npi 6,296.
/-1
Число степеней свободы f = 8—3=5. По табл. 4 приложения Хо,95 = 1М* Так как
найденное по выборке Х2= 6,296<Хо,95 » т° критерий4 Пирсона позволяет наблю
даемое распределение считать нормальным.
Для применения критерия Колмогорова посчитаны разности n\Fn(x)—F(x)\. Для данного случая
nD = max п \ Fn (x) — F (х) | = 8,3.
По формуле (11.108) находим X=nDftf п = 0,59. По табл. 3 для уровня значимости р=0,2, Ло,8= 1,07. Таким образом, найденное по выборке
1= 0,59 < ^0,8
икритерий Колмогорова .также позволяет считать рассматриваемое распределе ние нормальным.
18.Критерий согласия со2. В отличие от критерия у } Пирсона критерий со2 (омега-квадрат) основывается на непосредственно наблюденных (несгруппированных) значениях случайной величи ны X .
Пусть имеется веряется гипотеза личины есть F ( x ) .
выборка объема п случайной величины X . Про о том, что функция распределения случайной ве Построим эмпирическую функцию распределе
ния Fn(x). Для сравнения эмпирического распределения |
Fn (x) с |
предполагаемым теоретическим F(x) рассмотрим величину |
|
Ш |
|
■>2 = J [Fn{ x ) - F (x )fd F (х), |
(11. 121) |
предполагая, что F(x) имеет производную^ т. е. плотность вероят ности
|
|
|
d F ( x ) = F ' ( x ) d x = f ( x ) d x . |
|
|
(1 1 .1 2 2 ) |
|||||
Преобразуем выборку в вариационный ряд |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
х \ < Х 2 < Х 3 . . . < Х „ |
|
|
|
|
||||
и разобьем всю область интегрирования на интервалы |
|
||||||||||
|
|
( — о о , |
J f j) , ( * ь |
х 2) ........... (.Хп - и |
Х п) , ( Х п , |
+ о |
о ) . |
|
|||
Тогда, принимая во внимание (11.121), получим |
|
|
|
||||||||
|
Xi |
|
л— 1 ** + 1 |
|
|
. |
+ « |
|
|
||
ш2= |
| [ 0 - F (x)pdF + ^ |
j |
^ L - F H x j ^ d F + j |
[ \ - F { X№ F , |
|||||||
|
|
|
Л -1 |
Д-ь |
|
|
|
*П |
|
(11.123) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
(f |
|
|||
|
■*1 |
F2(x)dF = F*(x) |
|
FHxi) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
r |
v |
k p |
x- xk+\ |
r |
|
k i 3 |
r„ |
|
* l 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.124) |
|
|
|
1" oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j* [1 — F {x)]2dF = |
|
•3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0)2 '= |
^ ( * 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л -1 |
|
|
|
|
к - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
V - F ( x n))3 |
|
|
|
(11.125) |
|||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Объединяя члены, зависящие от F(Xk) |
(с данным k = l , 2, ... , п ) , |
||||||||||
находящиеся в двух суммах (11.125), получим |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
к- 1 |
|
|
2k— 1 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(*а)- |
2л |
Г- |
(11.126) |
|||
|
|
|
12л2 |
л |
j J j l |
|
|
|
Равенство (11.126) показывает, каким образом критерий ш2 за висит от отдельных членов вариационного ряда. Точное распреде ление о2 очень сложно, но исследования показали, что уже при я >40 распределение произведения лсоп2 близко к некоторому пре дельному распределению, для которого составлены таблицы'. По этим таблицам определены критические значения для величины «о»2. В табл. 4 приведены квантили (то2) Г_р.
|
|
|
Т а б л и ц а 4 |
|
Квантили распределения по2 |
||
р |
|
р |
|
0,5 |
0,1184 |
0,05 |
0,4614 |
0,4 |
0,1467 |
0,03 |
0,5489 |
0,3 |
0,1843 |
0,02 |
0,6198 |
0,2 |
0,2412 |
0,01 |
0,7435 |
0,1 |
0,3473 |
0,001 |
1,1679 |
Если вычисленное значение /гео2 меньше табличного (/2CO2) I- p, |
||
то гипотеза о совпадении теоретического |
закона распределения |
|
F(x) с выборочным Fn (x) не отвергается. При /ко2^ |
(nco2)i_p ги |
|
потеза отклоняется. Уровень значимости р выбирают обычно рав |
||
ным 0,5. Критерий со2 полнее, чем критерий Пирсона, |
использует |
|
информацию, заключающуюся в данных |
выборки. В группировке |
данных, которая производится при применении критерия Пирсона, имеется определенный произвол. Сама группировка приводит к не которой потере информации, содержащейся в выборке. Кроме того, распределение /ко2 значительно быстрее, чем %2, сходится к пре дельному закону, особенно в области больших значений со2, которые
только и существенны для вероятностной оценки.
19. Критерий Вилькоксона. Критерий Вилькоксона применяется для проверки гипотезы принадлежности двух выборок одной и той же генеральной совокупности. Пусть имеются выборки случайных величин X и Y объема ш и п. Преобразуем выборки в вариацион ные ряды:
< х 2 <. . . < Хщ,
№ < У2 <• . . < Уп-
Нулевая гипотеза Но заключается в равенстве функций распределе ния F(x)=F(y). Альтернативная гипотеза Н формулируется в виде неравенства F(x)<F(y).
Критерий Вилькоксона основан на распределении общего числа инверсий, под которым понимается следующее: элементы обеих выборок располагаются в общую возрастающую последователь ность, например,
У\Х1У2У3Х2У4Х3Х4У5. • • ХтУп • |
(П• 1 2 7 > |
Если какому-либо значению х предшествует некоторый у, то эта пара дает инверсию. Так, в последовательности (11.127) х\ дает одну инверсию с у\> х2 дает три инверсии (с у\, Уг и */з) и т- А*
При т> 10 и п> 0 общее число инверсий и распределено при близительно нормально с математическим ожиданием
тп
ти (11.128)
~2~
и дисперсией
о * = - ^ ( я + п - 1 ) . |
(11.129) |
При уровне значимости р = 0,05, согласно (II.50), критическими значениями для нулевой гипотезы будут
и < ти— 1,96ац,
(11.130)
и > ти + 1,96ац.
Пример 14. В таблице приведены^ результаты определения концентрации усвояемой Р2О5 в сложном удобрении двумя методами: цитратным с фотоколо-
риметрическим окончанием (х) и сернокислотным методом с фотоколориметрическим окончанием (у). Требуется проверить нулевую гипотезу Н0 о том, что
распределения погрешностей двух методов одинаковы.
М етод |
|
|
|
|
|
Номер пробы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
10 |
|
И |
|
12 |
|
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
* |
16,3 |
15,5 |
16,7 |
16,0 |
13,7 |
11,0 |
12,5 |
|
13,4 |
14,4 |
14,7 |
16,9 |
15,7 |
13,5 |
14,0 |
||||
У |
16,5 |
15,9 |
16,6 |
15,8 |
13,3 |
11,2 |
12,4 |
|
13,6 |
14,9 |
14,6 |
16,8 |
16,2 |
13,8 |
14,3 |
||||
Р е ш е н и е . Расположим данные в общую возрастающую последовательность |
|||||||||||||||||||
X |
У |
У |
X |
у- |
X |
X |
У |
|
X |
|
|
У |
|
X |
|
У |
|
X |
У |
11,0 |
11,2 |
12,4 |
12,5 |
13,3 |
13,4 |
13,5 |
13,6 |
13,7 |
13,8 |
14,0 |
14,3 |
|
14,4 |
14,6 |
|||||
X |
У |
X X |
У У |
X |
У |
|
X |
|
|
У У |
|
X |
|
У |
X |
||||
14,7 |
114,9 |
15,5 |
15,7 |
15,8 |
|
16,0 |
16,2 |
16,3 |
16,5 |
16,6 |
16,7 116,8 |
16,9 |
|||||||
|
|
|
|
[ 15*9 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число инверсий для х равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ц = 2 + 3 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 |
3 —I- 8 — 1Q |
11 + |
13 + |
14 = |
94. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам (11.128) и (11.129) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
14-14 |
= 98, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
тп = ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
14-14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а1 = |
12 |
- ( 1 4 + 1 4 + 1 ) = = 4^4, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
аи= 21,8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При уровне |
значимости |
р = 0,05 критическими |
|
значениями |
для |
нулевой ги |
|||||||||||||
потезы,, согласно |
(11.130), будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
и < 98 — 1,96-21,8, |
|
и < 55,3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
и > 9 8 + |
1,96-21,8, |
|
и > |
140,7, |
|
|
|
|
|
|
|
Число инверсий, равное 94, не попадает в критическую область и поэтому у нас нет оснований считать методы существенно различающимися по точности.
20. Проверка гипотезы нормальности по совокупности малых выборок. Пусть имеется достаточно большое число п независимых выборок одного и того же объема т. Требуется проверить гипотезу нормальности генеральных совокупностей, из которых взяты выбор ки, при условии, что параметры этих совокупностей могут иметь разные значения. Рассмотрим относительное отклонение
*ik — xk
(11.131)
Sk
где xih- i - й элемент /г-й выборки; хи, S/t — среднее и среднеквадра
тичное отклонение k -\\ выборки.
Можно показать, что распределение величины т не зависит от параметров генеральной совокупности т и а, а зависит только от объема выборки т. Плотность вероятности величины т равна
|
m |
/00 = |
ш |
У л V / + 1 |
т*2 \ |
2 |
| тз I |
< |
г------- |
1 j |
при |
У / + 1 , |
||
|
|
|
|
(11.132) |
|
при |
I v I |
> |
V / + 1» |
где число степеней свободы f= m —2. Из (11.132) при разных значе ниях т получим:
1
1
/ ( * ) —
2 ] / з
/ - т
' ( * ) - |
Я |
\ |
5 ) |
/ ( * ) =
а У ъ
И 1 < 1 / 2 ;
W \ < V *
1 D | < 2;
\ x \ < V J . |
(11.133) |
Из (11.133) следует, что при т = А относительные отклонения в от дельных выборках подчиняются равномерному распределению, если исходные совокупности нормальны. Этим можно воспользо ваться для проверки гипотезы нормальности, если число выборок достаточно велико.
При т ф 4 из-за отсутствия нужных таблиц приходится перехо дить от величины т к величине г\:
% V J
ч = — |
— |
- |
(И. 134) |
У / + 1- Т |
2 |
|
Можно доказать, что при исходных нормальных совокупностях ве личина 11 имеет распределение Стьюдента с f = m—2 степенями сво боды. При проверке гипотезы нормальности по большому числу малых выборок из каждой выборки случайным образом отбирает ся по одному значению. Здесь возможно некоторое упрощение — можно отобрать только первые измерения, только вторые и т. д. Такой отбор также можно рассматривать как случайный. Если чис ло элементов в выборках велико, например /тг> 10, то может быть сделано несколько самостоятельных проверок гипотезы, например, по первым и последним элементам каждой выборки. Затем, если т = 4, для каждого отобранного значения по формуле (II.131) вы числяется т, если т ф 4, по формуле (II. 134) г). После перехода к. величинам т и г) для проверки гипотезы равномерного распределе ния т или распределения Стьюдента г] (и, следовательно, нормаль ности исходного распределения) может быть применен любой из рассмотренных ранее критериев согласия.
Пример 15. Требуется проверить гипотезу нормального распределения кон центрации (г/л) аммиачной селитры во вторичном паре после реакционного аппа рата'в производстве аммиачной селитры по результатам четырехкратного опреде ления в 40 пробах (таблица ниже).
>6 пробы |
|
|
X3 |
*4 |
№пробы |
|
|
|
|
1 |
5,97 |
6,39 |
6,05 |
5,64 |
21 |
4,09 |
4,19 |
3,96 |
4,18 |
2 |
5,56 |
6,02 |
5,14 |
5,46 |
* 22 |
4,87 |
5,10 |
4,38 |
4,20 |
3 |
4,51 |
5,32 |
5,06 |
4,30 |
23 |
2,93 |
4,60 |
2,93 |
4,03 |
4 |
5,28 |
4,40 |
4,88 |
4,83 |
24 |
3,86 |
4,40 |
4,92 |
4,17 |
5 |
5,36 |
5,52 |
4,60 |
5,49 |
25 |
5,74 |
5,06 |
4,81 |
5,52 |
6 |
4,82 |
4,99 |
5,42 |
5,34 |
26 |
5,26 |
6,01 |
6,09 |
6,07 |
7 |
5,61 |
4,83 |
5,37 |
5,27 |
27 |
6,45 |
5,99 |
5,77 |
6,05 |
8 |
4,79 |
4,51 |
5,54 |
5,75 |
28 |
5,13 |
5,19 |
5,08 |
5,35 |
9 |
4,69 |
5,62 |
6,77 |
6,19 |
29 |
5,18 |
4,59 |
4,90 |
5,26 |
10 |
5,30 |
5,60 |
6,16 |
6,11 |
30 |
4,94 |
4,44 |
4,66 |
5,01 |
11 |
4,28 |
4,47 |
4,10 |
4,53 |
31 |
4,56 |
4,12 |
4,63 |
4,24 |
12 |
4,32 |
4,03 |
4,49 |
4,04 |
32 |
3,84 |
3,22 |
3,28 |
3,16 |
13 |
3,17 |
4,85 |
4,43 |
4,39 |
33 |
2,86 |
3,78 |
3,75 |
3,03 |
14 |
4,41 |
4,04 |
4,01 |
3,82 |
34 |
4,00 |
3,48 |
4,00 |
4,35 |
15 |
5,66 |
6,24 |
5,95 |
5,49 |
35 |
3,95 |
4,05 |
4,20 |
4,40 |
16 |
5,19 |
5,45 |
5,14 |
5,08 |
36 |
3,98 |
5,06 |
3,94 |
4,52 |
17 |
5,02 |
4,45 |
5,22 |
4,82 |
37 |
3,87 |
3,09 |
3,86 |
3,49 |
18 |
4,35 |
4,43 |
4,32 |
4,26 |
38 |
4,64 |
4,33 |
‘ 3,94 |
4,40 |
19 |
5,10 |
4,67 |
4,57 |
4,79 |
39 |
4,63 |
4,16 |
4,24 |
4,50 |
20 |
5,17 |
4,83 |
4,68 |
4,79 |
40 |
4,14 |
5,24 |
4,П |
4,44 |
Р е ш е н и е . Возьмем из результатов четырех параллельных определений каж дой пробы первое (*i) и вычислим для каждого из 40 значений величину т по формуле (11.131). Результаты вычислений сведены в таблицу.
|
X |
SX |
л*1 X |
Хх—X |
№ |
X |
sx |
Л*! —X |
|
.V, — л: |
|
|
т ■=■ |
|
X=Я " V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*лг |
1 |
6,01. |
0,31 |
—0,04 |
—0,137 |
21 |
4,11 |
0,11 |
—0,02 |
|
—0,141 |
|
2 |
5,55 |
0,36 |
0,91 |
0,0413 |
22 |
4,64 |
0,42 |
0,23 |
|
0,557 |
|
3 |
4,96 |
0,34 |
0,45 |
—1,316 |
23 |
3,62 |
0,83 |
—0,69 |
|
—0,831 |
|
4 |
4,93 |
0,24 |
0,35 |
1,467 |
24 |
4,34 |
0,45 |
—0,48 |
|
—1,067 |
|
5 |
5,24 |
0,43 |
0,12 |
0,272 |
25 |
5,28 |
0,42 |
0,46 |
' |
1,083 |
|
б |
5,14 |
0,28 |
—0,32 |
— 1,131 |
26 |
5,86 |
0,40 |
—0,60 |
|
— 1,493 |
|
7 |
5,27 |
0,33 |
0,34 |
1,044 |
27 |
6,07 |
0,28 |
0,39 |
|
1,358 |
|
8 |
5,15 |
0,59 |
—0,36 |
—0,603 |
28 |
5,19 |
0,12 |
—0,06 |
|
—0,486 |
|
9 |
■5,82 |
0,89 |
- 1 ,1 3 |
—1,272 |
29 |
4,98 |
0,30 |
0,2 |
|
0,652 |
|
10 |
5,79 |
0,41 |
—0,49 |
— 1,189 |
30 |
4,76 |
0,26 |
0,18 |
|
0,677 |
|
11 |
4,35 |
0,19 |
—0,07 |
—%0,334 |
31 |
4,39 |
0,25 |
0,17 |
|
0,702 |
|
12 |
4,22 |
0,22 |
0,10 |
0,445 |
32 |
3,38 |
0,31 |
0,47 |
|
1,481 |
|
13 |
4,21 |
0,72 |
— 1,04 |
-1 ,4 3 7 |
33 |
3,35 |
0,48 |
—0,50 |
|
— 1,035 |
|
14. |
4,07 |
0,25 |
0,34 |
1,378 |
34 |
3,96 |
0,36 |
—0,04 |
|
0,120 |
|
15 |
5,84 |
0,33 |
—0,18 |
—0,531 |
35 |
4,15 |
0,20 |
—0,2 |
|
— 1,022 |
|
16 |
5,22 |
0,16 |
—0,03 |
—0,153 |
35 |
4,38 |
0,53 |
—0,4 |
|
—0,749 |
|
17 |
4,88 |
0,33 |
0,14 |
0,436 |
37 |
3,58 |
0,37 |
0,29 |
|
0,792 |
|
18 |
4,34 |
0,71 |
0,01 |
0,141 |
38 |
4,33 |
0,29 |
0,31 |
|
1,078 |
|
19 |
4,78 |
0,23 |
0,32 |
1,391 |
39 |
4,38 |
0,22 |
0,25 |
|
1 |
129 |
20 |
4,87 |
0,21 |
0,30 |
1,444 |
40 |
4,48 |
0,53 |
—0,34 |
|
- 0 ,6 5 1 |
|
|
Из формулы (11.133) следует, что |
при т = 4 плотность |
распределения |
вели |
|||||||
чины т равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/ |
(т) = -----— |
при |
и к |
Уз, |
|
|
|
|
2 У з
€СЛИ исходные совокупности подчиняются нормальному закону. Проверим эту гипотезу при помощи критерия со2. Расположим полученные значения т в вариа ционный ряд, и для каждого элемента ряда посчитаем значения эмпирической функции распределения Fn(т) по формуле
2k — 1
(11.135)
2п
где л -40; /г=1, 2, . . . , п и теоретической функции F(x). Результаты расчета
сведены в таблице. В этой таблице значения т расположены в порядке возра стания.
Принимая во внимание, что
/ (т) = |
0 |
при л: < |
У Т 9 |
|
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
.1 |
|
|
- |
^ |
( ч + V j ) , |
(11.136) |
-------- udu = |
||||||
2 У 3 |
|
2 Уз |
|
|||
k = |
1. |
2... |
|
п. |
|
|
Так, при п = —1,494 |
|
|
|
|
|
|
/=■{— 1,494) |
— 1,494 + |
У з |
|
|||
|
|
|
|
0,0687. |
|
2 Уз~
Номер |
|
F( * ) |
|
F W - F ^ ) |
|
опыта |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
1 |
-1 ,4 9 4 |
0,0687 |
0,0125 |
0,0562 |
0,003161 |
2 |
-1 ,4 3 7 |
0,0852 |
0,0375 |
0,0477 |
0,002273 |
3 |
-1 ,3 1 6 |
0,1201 |
0,0625 |
0,0576 |
0,003318 |
4 |
—1,272 |
0,1328 |
0,0875 |
0,0453 |
0,002053 |
5 |
—1,189 |
0,1568 |
0,1125 |
0,0443 |
0,001959 |
6 |
—1,131 |
0,1735 |
0,1375 |
0,0360 |
0,001297 |
7 |
—1 ;об7 |
0,1920 |
0,1625 |
0,0295 |
0,000869 |
8 |
—1,035 |
0,2012 |
0,1875 |
0,0137 |
0,000188 |
9 |
— 1;022 |
0,2050 |
0,2125 |
—0,0075 |
0,000057 |
10 |
—0,831 |
0,2601 |
0,2375 |
0,0226 |
0,000511 |
11 |
—0,749 |
0,2838 |
0,2625 |
0,0213 |
0,000455 |
12 |
—0,651 |
0,3122 |
0,2875 |
0,0247 |
0,000609 |
13 |
—0,603 |
0,3259 |
0,3125 |
0,0134 |
0,000179 |
14 |
—0,531 |
0,3467 |
0,3375 |
0,0092 |
0,000084 |
15 |
—ч0,480 |
0,3613 |
0,3625 |
—0,0012 |
0,000001 |
16 |
— о;зз4 |
0,4037 |
0,3875 |
0,0162 |
0,000263 |
17 |
—0,153 |
0,4557 |
0,4125 |
0,0432 |
0,001868 |
18 |
—0,141 |
0,4594 |
0,4375 |
0,0219 |
0,000478 |
19 |
—О; 137 |
0,4605 |
0,4625 |
—0,002 |
0,000004 |
20 |
—0,041 |
0,5119 |
0,4875 |
0,0244 |
0,000596 |
21 |
0,12 |
0,5346 |
0,5125 |
0,0221 |
0,000489 |
22 |
0,141 |
0,5408 |
0,5375 |
0,0033 |
0,000011 |
23 |
0,272 |
0,5785 |
0,5625 |
0,0160 |
0,000257 |
24 |
0,404 |
0,6165 |
0,5875 |
0,0290 |
0,000842 |
25 |
0,445 |
0,6285 |
0,6125 |
0,0160 |
0,000257 |
26 |
0,557 |
0,6608 |
0,6375 |
0,0233 |
0,000543 |
27 |
0,652 |
0,6881 |
0,6625 |
0,0256 |
0,000657 |
28 |
0,677 |
0,6954 |
0,6875 |
0,0079 |
0,000063 |
29 |
0,702 |
0,7027 |
0,7125 |
—0,0099 |
0,000097 |
30 |
0,792 |
0,7287 |
0,7375 |
—0,0088 |
0,000077 |
31 |
1,044 |
0,8014 |
0,7625 |
0,0389 |
0,001511 |
32 |
1,078 |
0,8112 |
0,7875 |
0,0237 |
0,000561 |
33 |
1,083 |
0,8126 |
0,8125 |
0,0001 |
0,000000 |
34 |
1,129 |
0,8259 |
0,8375 |
—0,0016 |
0,000134 |
35 |
1,358 |
0,8920 |
0,8525 |
0,0295 |
0,000871 |
36 |
1,378 |
0,8978 |
0,8875 |
0,0103 |
0,000106 |
37 |
1,391 |
0,9015 |
0,9125 |
—0,0110 |
0,000120 |
38 |
1,444 |
0,9168 |
0,9375 |
—0,0207 |
0,000427 |
39 |
1,467 |
0,9235 |
0,9625 |
—0,0390 |
0,001522 |
40 |
1,481 |
0,9275 |
0,9875 |
—0,0600 |
0,003597 |
|
|
|
|
|
0,032057 |
2 |
|
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
Значения эмпирической функции распределения определены по формуле (11.135). Так, при T=TI имеем
2.1 — 1 |
|
Fn ОТ) — |
0,0125. |
2-40 |
Для определения критерия лсо2 в формулу
п
2k — 1
(И.137)
2п
Л -1