Основы метода конечных элементов
..pdfГ л а в а IV
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Большой и важный класс научно-технических проблем связан с во просами устойчивости или колебаний некоторых систем и их элементов (см., например, [49]). Математически эти проблемы формулируются в виде задач на собственные значения некоторых операторов. В насто ящей главе рассматривается решение методом конечных элементов задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных операторов второго и четвертого порядков, а также затрагиваются вопросы применения МКЭ для подобных задач в более общих случаях.
IV. 1. Постановка задач
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Простейший пример задачи на собственные значения возникает при исследовании проблемы устойчивости стержня длины /, один конед которого защемлен, а на другой — свободный — действует в центре тяжести концевой, площади сжимающая сила Р, направленная вдоль оси стержня [49]. Допустим, что все поперечные сечения стержня оди наковы и их главные оси инерции лежат в двух фиксированных на правлениях.
Если значение Р выше некоторого критического, то, как известно, прямолинейное положение стержня становится нестабильным и в со стоянии устойчивого равновесия стержень имеет изогнутую форму. Рассмотрим начало потери стабильности при продольном изгибе, т. е. рассмотрим положение равновесия стержня, незначительно отлича ющегося от прямолинейной формы. Пусть начало координат располо жено в точке приложения силы Р, а ориентация осей х, у такая, как на рис. 25. В слабоизогнутом положении равновесия, незначительно от личающемся от прямолинейного, уравнение упругой линии у (х) име ет вид
М = РЯ = - Е 1 - g —
где М — изгибающий момент, Е — модуль упругости, J — осевой момент инерции сечения, а = EJ — жесткость на изгиб.
Предполагая жесткость постоянной (а = |
const) |
|
и принимая PIа = Я = |
о»2, записываем уравне |
|
ние в виде |
|
|
- g - = — %у = |
— со2г/, О < * < / . |
|
|
|
(IV.1) |
Из рис. 25 непосредственно вытекают |
следу |
ющие краевые условия для искомого решения:
у(0) = о, ^ - ( 0 = 0. (IV.2)
Таким образом, задача отыскания критической нагрузки Р и соответствующей формы устойчи вого равновесия стержня при продольном изги бе свелась к решению математической задачи (IV. 1), (IV .2), т. е. к отысканию значений чис лового параметра X = со2, при которых задача
имеет нетривиальные решения. Эти значения параметра X назы ваются собственными числами задачи, а отвечающие им решения
у(х) — собственными функциями задачи.
Вданном простом примере поставленная математическая задача решается весьма просто, в замкнутой форме. Действительно, общее решение дифференциального уравнения (IV. 1) имеет вид
у (х) = сгcos сол: + с2sin сох,
а учет краевых условий дает
|
|
|
|
|
сх = |
0, |
сос2cos со/ = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Из второго равенства следует, что при |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
со/ = |
(2k — 1) я/2, k = 1, |
2, |
|
|
|
|
|
||||
задача |
(IV. 1), |
(IV .2) |
имеет |
нетривиальные |
решения |
yk (х) |
= |
|||||||
|
(2k |
—1) я |
Х' |
которые |
соответствуют |
|
собственным |
|
числам |
|||||
= с2sin ^— |
2Г - |
|
|
|||||||||||
задачи %к= |
|
2/1)я ) , k = |
1, 2, |
Итак, |
критические |
нагруз- |
||||||||
ки при |
продольном |
изгибе |
стержня |
имеют |
значения Рькг |
= |
а!Кь.лки |
— |
||||||
= а т - о |
а соответствующие формы |
положения устойчивого |
||||||||||||
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12/s_1) л
равновесия стержня — ук(х) = с sin - — г— х, где с = const.
К совершенно аналогичной задаче на собственные значения при водит исследование продольных колебаний стержня длины I, один ко нец которого (х — 0) свободен, а второй (х = I) жестко закреплен [48] (рис. 26). Смещение у (х) при продольных колебаниях удовлетворяет дифференциальному уравнению
— E^ ( s № -% -) = ®2PS(X) У< 0 < х < 1 ,
где s (х) — площадь поперечного |
сечения, |
р — |
|
|
||
плотность |
и Е — модуль |
упругости материала, |
|
1 |
||
из которого сделан стержень. Искомое реше |
|
|
||||
ние у (х) |
должно удовлетворять |
краевым |
усло |
|
|
|
виям |
|
|
|
х=0 |
x=z |
I |
|
-| -(0) = о, |
0(0 = |
0. |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Здесь требуется найти круговые частоты о соб- |
Рис. 26- |
|
||||
ственных |
колебаний и формы у (х) колебаний, |
|
|
|||
отвечающие этим частотам. Эта задача тоже может |
быть решена в |
|||||
замкнутом виде, если s (х) = const. |
|
|
|
Однако в общем случае дифференциальных уравнений с перемен ными коэффициентами решение задачи на собственные значения со пряжено со значительными трудностями и строится в основном чис ленными методами, в частности, решение может быть найдено методом конечных элементов.
Рассмотрим более общую задачу на собственные значения
- |
-З г(к(х)-^ ') + Я(х)и = |
Хр{х)и, |
0 < х < 1 , |
(IV.3) |
|||
|
и(0) = |
0, и (0 = |
0, |
|
|
(IV.4) |
|
где функции k (х) >= k0 > 0, dk |
q (х) ^ |
0, |
р (х) ^ р0 > |
0 непрерыв |
|||
ны на [0, /], |
А. — числовой параметр. |
Задачу |
(IV.3), |
(IV.4) |
можно |
записать в виде операторного уравнения в гильбертовом пространстве Н = L2(0, /)• Для этого достаточно ввести оператор А формулой
|
|
|
A u = - - — {k(x)— jA-q(x)u, |
(IV.5) |
||||||
оператор В формулой Ви = |
р (х) и, и в |
качестве области определения |
||||||||
D (А) с: La (0, |
/) принять |
множество |
функций |
|
|
|||||
|
|
|
ы (х)£С 2 [0 ,1], и(0) = |
0, |
ы(1) = |
0, |
(IV.6) |
|||
а в качестве D (В) взять все |
пространство |
Ь2(0, |
0, |
|
||||||
|
|
|
D ( 4 ) C |
D ( B ) = |
|
L 8(0 , 1). |
|
|
||
Теперь задачу (IV.3), (IV.4) |
можно |
представить в виде операторного |
||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аи = ХВи. |
|
|
(IV.7) |
|||
Если |
р (х) = |
1, |
то уравнение |
(IV.7) |
|
принимает |
вид Аи = |
%и, т. е. |
||
В = |
I — тождественный оператор. |
(IV.5), |
(IV.6)) — положительно |
|||||||
Оператор |
А |
(см. соотношения |
определенный в силу условий, наложенных на коэффициенты урав нения (IV.3). В этом легко убедиться, повторив дословно рассужде ния п. 1 параграфа II .1, относящиеся к оператору, заданному той же формулой (IV .5), но на множестве функций, удовлетворяющих более общим краевым условиям (см. (II.5), (II.6)). Нетрудно проверить и то, что энергетическое пространство На рассматриваемого оператора
состоит из тех же функций, что и пространство W \ (О, I ); норма в Н д определяется соотношением
i |
|
II и(А= [и, и]А = j [k (х) |
+ q(лг) ы2] dx, |
причем в силу условий, наложенных на k (х) и q (х)9справедливо не равенство
dx==k0 |
2 |
(IV.8) |
|
О
Теперь для доказательства существования собственных значений задачи (IV.3), (IV.4) достаточно показать, что оператор А удовле творяет условиям теоремы 1.7, т. е. что любое множество элементов, ограниченное в энергетической норме, компактно в норме исходного
пространства Н |
= |
L 2 (О, I). |
|
и (х) |
ограничено |
в энергети |
||
Итак, |
пусть |
множество М функций |
||||||
ческой норме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H U < C , |
V U£ M CZHa. |
(IV.9) |
||
Но тогда согласно |
(IV.8) будет ограничено в Ь2(0, /) множество про- |
|||||||
изводных |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-^-1 |
при \/и(х)£М. |
(IV. 10) |
|||
|
|
|
II |
||Ь2 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, для любой функции и (х) £ W2 (0, I) справедливо ра |
||||||||
венство |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) = ^ d |
t , |
|
(IV. 11) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
которое можно представить в виде |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
и(х) = |
J k (х, t) |
dt, |
(IV. 12) |
|
где функция k (х, |
t) |
|
о |
|
|
|
||
задана соотношением |
|
|
||||||
Интегральный |
оператор |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
K v = |
и(х) = j k(х, t) v (t) dt, |
V $L2(0, l) |
|
|||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
является оператором Фредгольма, который, как известно (см. [661), вполне непрерывен в пространстве L2 (0, Г). Иными словами, этот оператор преобразует любое ограниченное множество из Ь2(0, /) в мно
жество, компактное в этом же пространстве. Отсюда, полагая v (х) = ?
=и учитывая (IV .9) — (IVЛ2),
непосредственно убеждаемся, что множество функций и (х) £ М будет компактным в L2(О, I) = Н\ это и требовалось показать.
Таким образом, установлено, что задача (IV.3), (IV.4) имеет бес конечную последовательность собственных чисел
О< ^
сединственной предельной точкой на бесконечности и соответствую щую им ортонормированную в Н систему собственных функций
иг(х), и2(х), |
ип(х), |
Вопрос о построении МКЭ приближений к собственным значениям данной задачи будет рассмотрен в параграфе IV.2.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого поряд ка. Коснемся кратко постановки задач на собственные значения для операторов четвертого порядка. В качестве примера, приводящего к такому виду задач, рассмотрим устойчивость сжатого стержня на уп ругом основании [49]. Пусть стержень длины I и переменного сечения, подвергающийся действию осевой сжимающей силы Р, лежит на уп ругом основании. Пусть сила, действующая на единицу длины стерж ня при прогибе на величину у, пропорциональна прогибу, т. е. Ку- Тогда при малом изгибе (рис. 27) уравнение упругой линии имеет вид
х
м = Ру + ^Ку(Ъ)(х-Ъ)с11 = — а - ^ - , а = EJ (х),
О
где, как и в предыдущем примере М — изгибающий момент, Е — мо дуль упругости, J (х) — момент инерции сечения стержня с абсцис сой х.
После двукратного дифференцирования получаем дифференциаль ное уравнение
d2 |
( т/ \ |
d2y |
\ , г,.. |
г, d2y |
(TV. 13) |
~d#v w |
"S * "/'1' 1'® ------- ' |
|
|||
При жестком закреплении обоих концов стержня краевые условия |
|||||
следующие: |
|
|
|
|
|
У(0) = |
У(1) = |
0, |
-| _ (0 )= ---g -(Z ) = 0. |
(IV. 14) |
(В случае шарнирного закрепления концов краевые условия таковы:
{/(0) = у (0 = 0, - Й -(0 ) = - 3 - ( / ) = о.)
Задача (IV. 13), (IV. 14) как задача об устойчивости сжатого стер жня состоит в отыскании значений «критических нагрузок» Р, при ко торых уравнение (IV. 13) имеет нетривиальные решения, удовлетво
ряющие (IV. 14). Наиболее интересной является наименьшая |
крити |
||
ческая нагрузка. |
|
|
|
В операторной форме в пространстве Н = L2 (U, I) задачу |
(IV. 13), |
||
(IV. 14) можно записать в виде |
|
|
|
Аи = |
ХВи, |
|
|
где |
|
|
|
Au = E ^ l j W J§f\ + Ku, |
Ви = |
|
|
к = Р, |
|
|
|
D (Л) — множество функций и (х), |
удовлетворяющих условиям |
||
и(х)£С*{0,1], |
и (0) = |
«(/) = О, |
(IV. 15) |
^ - ( 0) = -£-(/) = о, |
|
||
D (В) — множество функций и (х), |
удовлетворяющих условиям |
||
и(х)£С2[0, I], |
«(0 ) = |
ы (/) = 0. |
(IV. 16> |
Таким образом, рассматриваемый пример из технической механики привел к решению задачи на собственные значения операторного урав нения
Аи — ХВи = 0.
Рассмотрим теперь достаточно общий пример задачи на собствен ные значения для уравнения четвертого порядка
== ^ [ ро (х)и ----- ^ |
~сйГ)] ’ |
® <~- Х<~' ^ |
|
(IV. 17) |
|||||||
|
«(0 ) = |
« (I) = |
0, |
|
дс=0 |
dx |
L |
’ |
(IV. 18) |
||
где все коэффициенты ограничены |
и |
неотрицательны: |
|
||||||||
k {x)^ k0> 0 , |
р (х) > |
р0 > |
0, |
< ?(* )> ?0> |
0. |
Ps(*) > |
р > 0 , |
s = l , 0 . |
|||
Нетрудно |
проверить, |
что в этих |
предположениях |
операторы |
|||||||
|
. |
d* |
{ . |
d2u \ |
d |
I |
du |
\ , |
|
|
|
|
A u |
|
|
~ d ^ J |
dx ( Р d x ) ' ^ ^ |
|
|
||||
|
|
В *-------^ |
- ( р. - е -) |
+ М . |
|
|
области определения которых D (А) и D (В) устанавливаются соот ношениями (IV. 15) и (IV. 16), являются положительно определенны
ми, причем
i
I». »1д“ $[*(-гг),+р(-аг) +«“*K
о
(IV. 19)
[и, «1а = j [рх |
+ Ро«2] dx. |
Отметим, что На в данном случае составляют функции, принадле-
09 |
0 |
1 |
жащие W} (0, |
/), а Нв — функции из W2 (О, /). |
Для доказательства существования бесконечного числа собствен
ных значений задачи |
(IV. 17), (IV. 18), т. е. операторного уравнения |
|
|
Аи = ХВи, |
|
достаточно проверить выполнение условий теоремы 1.9. |
||
Итак, пусть М а |
На — множество функций |
и (х), ограниченных |
в метрике Н а '- |
|
|
i |
+p(-gj-) +<7«2]d*<c, |
vU£ M CZHa, |
||ы^= |
откуда следует
<,v2o>
о
Как известно, для любой функции и (х) £ W\ (0, /), удовлетворя ющей условиям (IV. 18), справедливы равенства
|
|
|
|
t) |
d2u |
dt, |
|
|
|
о о |
|
~dF |
|
||
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
~~dt~ ~ |
|
|
|
|
|
которые можно |
представить в виде |
|
|
|
|
||
“ (*) = / м |
* . |
О -^ г -Л , |
м * , 0 |
x — t, 0 < ^ х, |
(IV.21) |
||
- { * 0> |
x < t ^ l , |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
- |
г |
- |
о |
1, |
0 < |
/ < |
(IV.22) |
° |
< t < l . |
||||||
|
|
|
|
|
|
Интегральный оператор (IV.21) как оператор Фредгольма пре образует любое множество, ограниченное в L2 (0, 0, в множество, ком пактное в L2 (0, /); следовательно, если и (л) £ М, то с учетом (IV .20) можно утверждать, что множество М компактно в L2 (0, I). А это оз начает, что из любой бесконечной части множества М можно выделить последовательность (м„ (лс)}, сходящуюся в L2 (0, /):
i
ип(х) = |
i)-^ r-d t, ип{х)£М. |
о
Если теперь к элементам этой последовательности применим оператор*
Фредгольма (IV.22)
/
то получим множество элементов { - ^ } — множество первых произ
водных,— компактное в пространстве Ь2(О, I) (см. (IV.20)). В силу
компактности |
множества |.^У| из него можно выделить |
подпоследо |
|||
вательность |
|
сходящуюся в пространстве Ь2(0, /). |
Таким об |
||
разом, установлено, |
что из множества функций и (х) G М, ограничен |
||||
ного в метрике |
НА, можно |
выделить |
подпоследовательность функций |
||
{iinx(а:)}, элементы |
которой |
сходятся |
в L2(0, /) вместе со своими пер |
выми производными. Иными словами, из М можно выделить последо вательность {tin, (а:)}, сходящуюся в метрике Нв (см. (IV. 19)). А это означает, что множество М9ограниченное в метрике НАу компактно в
Нв, что и требовалось показать. |
что задача |
(IV. 17), |
(IV. 18) |
имеет |
||
Таким образом, установлено, |
||||||
бесконечную |
последовательность |
собственных |
чисел |
0 < |
^ |
К2^ |
^ |
и соответствующую им систему собственных |
элемен |
тов uly и2у ..., иПУ..., которую можно считать ортонормированной в Нв•
IV.2. Решение задач на собственные значения методом конечных элементов
Для численного решения задач на собственные значения, сформулированных в вариационной форме, с успехом применяется вариант МКЭ, основанный на процессе Ритца. Возможность этого следует из теоре мы II.4, устанавливающей полноту кусочно-полиномиальных функ
ций из подпространств Рп в пространстве W2 (0, /)•
Получение соответствующей дискретной задачи в данном случае осуществляется вполне аналогично дискретизации методом конечных элементов дифференциальных краевых задач с положительно опреде ленным оператором (см. гл. II). Поэтому остановимся на данном во
просе весьма бегло, ограничиваясь рассмотрением |
следующей задачи |
||||
с постоянными |
коэффициентами: |
|
|
|
|
|
— k |
+ qu = Ы, |
0 < * < / , |
(IV.23) |
|
|
|
м (0) = |
м (/) = |
0, |
(IV. 24) |
где k = const > |
0, q = |
const |
0. |
|
|
Отыскание наименьшего собственного числа Я, и соответствующей собственной функции иг этой задачи сводится к отысканию минимум^ функционала
R(u) = |
и£НА. |
(IV.25) |
Напомним, что в данном случае На и Щ (0, /) состоят из одинаковых
функций, т. е. допустимые функции при минимизации функционала
о.
(IV .25) принадлежат W2 (О, Г). Для построения методом конечных эле ментов приближения uN(х) к функции, доставляющей минимум функ ционалу (IV.25), достаточно применить процесс Ритца, описанный в п. 5 параграфа 1.2, с базисными функциями МКЭ (ф^ (х)}. Однако
здесь, как и при решении соответствующих краевых задач, можно стро ить непосредственно допустимые функции vN(х), являющиеся кусоч но-полиномиальными функциями требуемой гладкости из конечно-
мерных подпространств Рп a |
W2 (О, I). Эти функции на каждом эле |
||
менте [xi_i, я*], i = 1, 2, ..., |
N, имеют вид |
||
VN (X) = ft, + |
М + |
+ р„хп, |
|
где Pi — неизвестные числовые |
коэффициенты, вычисляемые через |
||
значения допустимой функции vf = x/f = |
vN(xj) в узлах xf элементов. |
||
Теперь для получения дискретной задачи МКЭ достаточно приме |
нить к вспомогательной функции метода неопределенных множителей
Лагранжа |
i |
|
i |
|
|
F (vN) = j (k ( - ^ - ) 2 + qЮ |
2) dx — X§ {vNf dx |
(IV.26) |
о |
0 |
|
стандартный алгоритм, подробно описанный в параграфе II.2.
оо
Пусть, например, vN(х) £ Р\ с= W2(0, /). т. е. допустимые функции принадлежат подпространству кусочно-линейных полиномов, удовле творяющих условию
vN(0) = vN(l) = 0.
С помощью тех же рассуждений, что и в п. 1 параграфа II.2, функ ционал (IV .26) можно записать как функцию параметров v{ = vN(х{),
xt — ht, |
i = 0, |
I, |
N, h = |
UN: |
|
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
F (vN) = |
Y |
<^нК{0>1 — X £ |
tojMpf, |
|
||
|
|
|
i=l |
|
i=l |
|
|
где a>f = |
lvi-u vj\, |
Ki==K\ + |
K°i, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
— I |
К0 _ |
ЯН [2 |
1] |
|
|
— 1 |
I ’ |
K i~ — [i |
2J- |
||
Введя общий вектор |
|
|
|
|
|
||
|
|
(0Г = |
[u0, vlt |
. . . , Ojvl, |
|
будем иметь
F (VN) = <атК(й — X(OrM(0.
Здесь трехдиагональные матрицы К и М строятся обычным образом из элементарных матриц Kt и М(. Приравняв к нулю частные произ
водные функции F (vN) по всем неизвестным параметрам vlt v2, |
VN—I, |
||||||
получим систему |
(N — |
1)-го |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
Kv = Ши, |
|
|
(IV.27) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
K = kK1 + qK\ |
М = К \ |
|
|
|||
" 2 |
— 1 |
|
|
|
" 4 |
1 |
|
— I |
2 |
— I |
0 |
К о |
1- 4 , 0 |
|
|
|
— 1 |
2 — 1 , |
h |
1 4 1 |
|
||
h |
A |
g |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
— 1 |
2 _ |
|
0 |
1 |
4 _ |
|
|
|
|
|
|
|
(IV. 28) |
Таким образом, дискретизация методом конечных элементов вари ационной задачи о минимуме функционала (IV.25) (или, что эквива лентно, исходной задачи на собственные значения (IV.23), (IV.24))
привела к решению алгебраической обобщенной |
задачи на собствен |
|
ные значения (IV .27). Решив обобщенную задачу |
(IV .27), найдем при |
|
ближения l!i к нескольким первым |
собственным числам Xt исходной |
|
дифференциальной задачи (IV.23), |
(IV .24), а векторы о(<) = [i//*, |
...,i>$-i]r, отвечающие^, дадут значения соответствующих приближен
ных собственных функций щ (х ) во внутренних узлах х ь k — 1,2, ...
...,N — 1, интервала (0, /). Приближение к собственной функции щ (х ), отвечающей собственному числу А* исходной дифференциальной зада чи, можно получить по формуле
ut (х) = 2 |
vii}<pk (х). |
|
||
* = |
| |
|
|
|
Замечание 1. Аналогично выполняется |
решение задачи |
(IV .23), |
||
(IV.24) и при других краевых условиях, например при |
|
|||
du |
«(/) = |
о, |
(IV. 29) |
|
dx |
||||
|
|
|
а также в случае переменных коэффициентов. Отметим только, что функции из энергетического пространства На, в отличие от функций из D {А)у должны удовлетворять только главным краевым условиям и не обязательно должны удовлетворять естественным. Поэтому и до
пустимые функции vN (х) £ Phxс. На можно не подчинять естественным
условиям, например условию |
= 0 в случае (IV.29). |
Замечание 2. Аналогично, следуя методике параграфа II.2, можно получить дискретные задачи и при кусочно-полиномиальных допус тимых функциях более высоких степеней (га > 1). Отметим, что алгебраическая задача на собственные значения всегда будет обобщенной» а матрицы К н М — хоть и ленточные, но с повышением степени по линомов га ширина их ленты будет расти.