Основы метода конечных элементов
..pdfсистемы линейных алгебраических уравнений МКЭ |
|
Ах = Ь. |
(1.48) |
Полученная таким образом система линейных алгебраических уравнений (1.48) тождественно совпадает с той системой уравнений, которая была бы получена из (1.45) после исключения в последней всех
/ = U 2 , k.
В результате решения системы уравнений (1.48) получают все неисключенные неизвестные а/, / = 1 , 2 , fe, а в случае необходимости
неизвестные перемещения vl во внутренних исключенных узловых точках вычисляются с помощью соотношений
|
vL= |
LT% |
где |
|
|
fi — f^ |
7 rJ |
|
/в |
/п |
^nrt/r. |
Рассмотренная процедура |
построения суперэлементов может быть |
проведена в несколько этапов, т. е. подструктуры Q1могут быть сами объединены в группы и т. д.
На основании изложенного очевидно, что метод суперэлементов позволяет значительно понизить порядок системы линейных алгеб раических уравнений без непосредственного построения полной систе мы линейных алгебраических уравнений и без снижения точности МКЭ. Вместе с тем в методе суперэлементов могут возникать и новые проблемы, связанные с увеличением ширины ленты матрицы системы уравнений, с алгоритмизацией и др.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В данной главе на примере некоторых краевых задач показывается весь ход постановки и решения соответствующей вариационной задачи методом конечных элементов. Рассматриваются варианты МКЭ, ос нованные на модифицированном процессе Ритца и процессе Бубнова — Галеркина. Исследуются сходимость метода, вопросы его численной реализации, а также оценки точности полученных результатов.
(1.1. Постановка задач
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка. Одна из краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка состоит в отыскании функции и (х), которая на отрезке [0 , /] удовлет воряет уравнению
(П-1 )
и краевым условиям
|
k ^ ~ T x ---- М 1*=° = ё и |
“ (*) = ё * |
(И.2) |
|
Предположим, |
что функции k (х) ^ k0> |
dk |
0 непрерыв |
|
dx* q (х) > |
||||
ны на [0 , /], / |
(х) € |
(0 , /), Р > 0 . |
|
|
К задаче (II. 1), |
(II.2 ) сводится, например, описание процесса ста |
|||
ционарного распределения тепла в неоднородном стержне длины I в ус |
ловиях интенсивного теплообмена с окружающей средой, когда на
конце х = 0 теплообмен |
подчиняется |
закону Ньютона, а на конце |
|||
х = I поддерживается |
температура g2. |
Существуют и другие практи |
|||
ческие задачи, в которых |
приходится |
решать уравнение |
вида |
(II.I) |
|
при соответствующих |
краевых условиях и ограничениях |
на исходные |
|||
данные. |
|
|
|
|
[22] |
В частности, при расчете на прочность вращающихся дисков |
(рис. 17) основное уравнение растяжения диска, полученное в предпо ложении, что на элемент диска действуют распределенные по граням
окружные и радиальные напряжения, а также объемные силы qZJ можно пред ставить в виде
____ ± _ ( л _ ) ___ и |
<< (in ф) |
1 |
_ |
||||
|
dr |
V г I |
г |
|
dr |
J |
|
|
= |
4>{r)f(r), |
a < r < b , |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<p(r) = |
|
rhE |
|
|
|
|
|
|
|
,2 > |
|
|
|
|
|
|
|
1 — Ц2 |
|
|
|
|
/(г) = (1 + |
ц )а Г - |
^dr 1 |
+ |
|||
+ '■ dr |
(1 + ц )a T |
— Яг |
1 — (i2 |
||||
|
|
|
|
||||
и = и (г) — перемещение, Е = |
Е (г) — |
||||||
модуль упругости, |
р = |
(х (г) — коэффи |
|||||
циент |
Пуассона, |
h = |
Н(г) — толщина ь |
||||
диска, |
а = |
а (г) — коэффициент линей |
|||||
ного расширения материала, Т = |
Т (г) — |
||||||
температура диска. |
|
|
|
рис п |
|||
На нагруженном контуре диска (г = |
|||||||
= Ь) могут быть |
заданы радиальные напряжения агь, которые можно |
||||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
г=Ь= ОгЬ,
На внутреннем контуре (г = а) граничные условия зависят от ус ловий закрепления диска. Во многих случаях удобно считать заданны ми силу или напряжения, так что выполняется краевое условие типа
-$Г + Р-7------+ ^ a7’]|r_ e = а‘
Задача (II. 1), (II.2 ), как известно, может быть сведена к задаче с однородными краевыми условиями. Для этого достаточно найти про извольную дважды непрерывно дифференцируемую на [0 , /] функцию Ui (х), удовлетворяющую условиям (II.2 ), и рассмотреть новую неиз вестную функцию w (х) — и (х) — их (х).
Легко видеть, что относительно функции w (х) задача (II. 1), (П.2)
перепишется в виде |
|
|
+ |
+ |
<н-3) |
* - g | -- P w (x )l _ о = |
0, w(l) = 0. |
(И.4) |
Определим оператор А формулой
|
|
(11.5) |
и будем рассматривать |
его в гильбертовом пространстве Н = |
Z,2 (О, |
/). За область определения D (А) этого оператора примем множество |
||
функций, удовлетворяющих требованиям |
|
|
О w e с* [0 , л, |
k-%------p o (* )U o = * 0 , v(l) = 0 . |
(1 1 .6 ) |
Тогда задачу (II.3), (II.4) в операторной форме можно представить в ви де
|
|
|
Aw = |
f, |
(II.7) |
где / = |
/ (х) + |
~ |
Ч"1' |
|
|
Классическим решением задачи (II.7) (или, что то же, задачи (П.З), |
|||||
(II.4)) |
назовем функцию w* &D (Л) |
и удовлетворяющую |
уравнению |
||
(11 - 7). |
|
что |
оператор |
А уравнения (II.7) |
— положи |
Нетрудно показать, |
тельно определенный. Действительно, область его определения D (Л) плотна в пространстве L„ (0, /), так как она содержит множество всех финитных в (0 , [) функций, которое плотно в L2(0 , /).
Симметричность оператора Л следует из явно симметричного выра жения
Г
(Av, w) = рw(0) v (0) + J |б — ■ + qvw\ dx, v, w £D (Л), (II.8)
0
которое получим, интегрируя по частям первое слагаемое в соотноше нии
(Av, w) = — | - iL (ft wdx + J qvwdx
и учитывая, что функции v и w удовлетворяют краевым условиям (II.4).
Положив в формуле |
(II.8) w = о, |
найдем |
|
i |
|
(Av, v) = |
(0 ) + J [fe |
) -f- qv*\ dx, |
|
0 |
|
»
откуда согласно ограничениям на исходные данные следует неравен ство
(Av, v) ^ Ао J (“2J") |
(И.9) |
Так как v £ С2[О, Л и v (/) = О, то, используя представление
° M = - \Xi n r dx
и неравенство Коши — Буняковского, легко убедиться, что
1 ( - 5г ) d x > ± r\ v 4 x .
о о
Таким образом, неравенство (II.9) принимает вид
/
(Av, v) > |
j v4x = у2 (о, v), у2 = |
- , |
|
о |
|
а следовательно, оператор А положительно определенный в L2 (0, /). Согласно результатам, изложенным в п. 1 параграфа 1.2, в энерге тическом пространстве На этого оператора А существует и единственно обобщенное решение w0 (х) задачи (И .7), или, что то же, задачи (II.3), (II.4). Это решение является функцией, доставляющей минимум функ
ционалу энергии
Ф (ш) == [w, w\A— 2 (ш, J) |
(11.10) |
в энергетическом пространстве Н а - На функции w 0 (х) |
функционал |
Ф (w) принимает значение |
|
Ф (ш0) = min Ф (tw) = — [ш0, ш9]л. |
|
К'£Я |
|
Аналогично тому, как это сделано в работе [68] для оператора крае вой задачи с уравнением (II.3) и краевыми условиями до(0) = до (/) = = 0 , можно показать, что в нашем случае Н а совпадает со множеством
функций пространства Wl (0 , I), обращающихся в нуль в точке х — I.
Для функций и, v £ Н а |
энергетическое |
произведение [и, V \A |
имеет |
|||
вид (см. (II.3)) |
|
|
|
|
|
|
[и, v]A= |
J (ft |
|
|
+ quv) dx + pi> (0) до (0), |
|
|
|
0 X |
|
|
7 |
|
|
а энергетическая норма ЦыЦл = |
j |
(^ (~ ^ “) |
+ qu^dx + Р«а(0). |
|
||
Итак, функционал (НЛО) в данном конкретном случае записывается |
||||||
как |
|
|
|
|
|
|
Ф (w) = |
J j f |
c |
+ |
qw%— 2до/] dx -+- Рша(0), |
(II. 11) |
где до £ НА.
Обобщенное решение до0 (х) задачи (II.3J, (II.4) можно найти, ми нимизируя функционал (П .1 1 ) на множестве функций, имеющих
суммируемые с квадратом обобщенные производные первого порядка и удовлетворяющих условию
w (/) = 0 .
Если окажется, что обобщенное решение w0(х) £ D (А), то оно будет и классическим решением задачи (II.3), (II.4).
Вернемся теперь к краевой задаче (II. 1), (II.2 ) с неоднородными краевыми условиями. Чтобы получить для нее функционал, миними зация которого позволит найти обобщенное решение данной краевой задачи, положим в функционале (II.И ) w (х) = ы (х )— мх (х), где
« 1 (х) — введенная |
ранее известная функция. |
Учитывая выражение |
||
/ (х) (см. (II.7)) и то, |
что ых (х) |
удовлетворяет |
условиям (И .2 ), |
полу |
чаем |
|
|
|
|
Ф (и — ul) = F (и) — F (ut) = F (и) — const, |
|
|||
где |
|
|
|
|
F(и) = J \k (х) ( ~ J |
+ q(х) и2 - |
2 uf (х)j dx + |
(0) + 2glu(0). |
(II. 1 2 ) |
Поскольку вид функции, реализующей минимум, не зависит |
от по |
стоянных слагаемых функционала, то и (х) — обобщенное решение за дачи (II.1), (II.2) — можно найти, минимизируя функционал (11.12) на множеств * функций из пространства Wl (0 , [), удовлетворяющих условию и (/) = g2.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами. Если описание исследуемого процес са приводит к решению уравнения вида (II. 1) с разрывными коэффи циентами, претерпевающими разрыв первого рода в конечном числе точек интервала (0 , /), то постановка краевой задачи требует доопреде ления искомого решения: введения дополнительных условий в точках разрывов коэффициентов.
Пусть в уравнении
|
— - ^ [ k ( x)-^ f) + q(x)u = f(x), |
0 < х < / , |
(11.13) |
||||
функция |
k |
(х) ^ k0> 0 — кусочно-непрерывно |
|
дифференцируема, |
|||
a q (*) |
0 — кусочно-непрерывна на отрезке |
[0 |
, |
Л |
и обе |
функции |
|
претерпевают |
разрыв первого рода в точке £ £ (0 |
, |
/); |
f (х) £ Ё2 (0 , /). |
Если согласно характеру исследуемого процесса искомое решение и (х) уравнения (11.13) непрерывно, то наряду с обычными краевыми
условиями, например |
|
и(0) = « (/) = 0, |
(II.14) |
вводят еще и следующие дополнительные условия сопряжения в точ ке разрыва:
1«1—В= 0, [ k = 0, (11.15)
где
№ - * = ф(£ + 0) - ф ( £ - 0).
Однако известны практические задачи, решения которых, как и коэффициенты уравнения, имеют разрывы первого рода. Например, таковой является задача о стационарном распределении температуры в стержне, имеющем при х — | разрез с теплоизоляционными свой ствами. В этом случае речь может идти, например, об отыскании реше ния уравнения (11.13) при краевых условиях (11.14) и дополнительных условиях вида
|
du |
|
|
|
|
(11.16) |
|
ЧГ , - г |
° . |
|
|
|
|
где г — положительная |
константа, а через g |
обозначено |
значение |
|||
функции Кх)^- |
в точке х = |
£. |
|
|
|
|
Точнее, задачу (11.13), (11.14), (11.16) |
можно представить в виде |
|||||
d |
dUi |
<?i (*) « 1 ;= |
M 4 |
0 < x < | , |
(II. 17) |
|
dx |
( м * ) |
dx •) + |
||||
dxd |
(k2{x) |
du2dx -) + |
Яг (x) u2= |
/a (*). |
l < x < l , |
(11.18) |
ui (0 ) = u2(/) == 0 , |
|
(11.19) |
|
dux |
du2 |
1 |
(1 1 .2 0 ) |
M x ) - dx I — &2 M ‘ |
U s = g. |
||
U>2(Z)- » !& ) |
=--rg, |
|
(П.2 1 ) |
где kt (х) — функция, непрерывно дифференцируемая |
на [0 , £], k2(x) — |
||
на [|, Л, ki (х) > k0> 0; функции |
q( (х) > |
0 , i = |
1 , 2 и Д (х), i = |
=1 , 2 , непрерывны на [0 , |1 и [|, Л соответственно.
Решение краевых задач с разрывными коэффициентами, подоб
ных (11.13) — (11.15) или (11.13), (11.14), (11.16), тоже можно свести к решению некоторых вариационных задач. Это можно осуществить тем же методом, что и в предыдущем пункте, т. е. энергетическим.
Остановимся вкратце вначале на задаче (11.13) — (11.15). Можно показать, что в простра 1стве L2(0, I) оператор А данной задачи, опре деленный на множестве D (Л) непрерывных и дважды кусочно-диффе ренцируемых на [0 , Л функций, удовлетворяющих условиям (11.14)
и(11.15), является положительно определенным оператором. Действительно, область определения этого оператора D (Л) — плот
на в |
L2 (0, [), так |
как содержит множество |
М0 с= D (А) функций |
||
ср(х), |
образованных |
«склейкой» (сопряжением) |
|
финитных в (0 , £) и в |
|
(£, /) |
функций: |
|
|
|
|
|
|
{«PiW . |
0 < х < £ , |
(11.22) |
|
|
|
ф(дс)- \ ф а(х), |
£ < х < / , |
|
|
|
|
|
|
где функция фх (х) — финитна в (0, 6). а фа (х) — в (5, I). Данное мно жество М0 плотно в пространстве Lt (0, /).
Поэтому симметричность А непосредственно следует из соотноше ний
(Л«, v) = j [ - |
+ |
Чио\ dx = |
|
|
О |
|
|
=-i |
4 r { k ^ ) vdx~ |
i ^ { |
k i t ) vdx+ |
о |
I |
£ |
|
I |
|
|
+ ^ q u v d x = ^ [ k - ~ ~ + quv\dx, и, v£D(A),
ОО
полученных посредством интегрирования по частям с учетом свойств функций, принадлежащих D (Л), а именно: функции и (х) и v (х) удов летворяют условиям (11.14), (11.15). Доказательство о положительной определенности оператора А, т. е. проверка справедливости соотно шений
|
|
/ |
|
(Аи, и) = |
|
|
dx = |
/ |
/ |
|
|
</* + J ( - ^ - ) 2 dx] > |
у2 j |
= |
V2 («. «)» |
s |
о |
|
|
j » осуществляется |
так |
же, как в п. 1 |
параграфа II.1.
В силу положительной определенности оператора А обобщенное решение краевой задачи (11.13) — (11.15) можно получить, отыскав функцию, которая минимизирует в энергетическом пространстве НА оператора А функционал
F (и) = |
[и, и\А- |
2 (/, |
и) ^ |
j [k ( - ^ - ) 2 + |
- 2fu) dx. (11.23) |
|||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
Такое обобщенное решение и0 (х) существует и единственно. Если |
||||||||||
u0(x)£D (A), |
то |
это |
будет |
решением и |
краевой |
задачи |
(11.13) — |
|||
(11.15) . Можно показать, |
что в |
рассматриваемом |
множестве элемен- |
|||||||
тов На совпадает |
о . |
|
/)» |
т. |
е. На состоит из тех и только |
тех |
||||
с й? 2 (0 , |
||||||||||
функций, которые |
абсолютно |
непрерывны, |
имеют обобщенные |
пер |
||||||
вые производные, суммируемые с квадратом, и в точках х = |
0 , х = / |
эти функции обращаются в нуль [68]. Отметим, что функции из данно го пространства НАне обязательно удовлетворяют второму из условий (11.15) , т. е. условию
k(x) |
du |
= k(x)-%-\ |
|
dx х= £ -0 |
\х.=*-Н |
Это |
условие в данном случае является естественным для оператора |
А |
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим необходимое условие сущест |
вования минимума функционала (11.23). Пусть и (х) = и0(.х) реализу ет минимум данного функционала, v (х) — произвольная функция из
На, Л — произвольное |
вещественное |
число. Тогда |
F (и0 |
+ г\и) |
|||
F (и0). При фиксированной функции |
v (х) функционал F (uQ+ mi) |
||||||
является функцией от л, достигающей |
минимума при |
т] = |
О, следо |
||||
вательно, |
|
dt {UQ+ Щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 . |
|
|
|
|
|
dr\ |
|
|
|
||
Согласно (11.23) имеем |
|
TJ=0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dF(«о + T]t>) |
= |
2 j* \k-^~ -3 7 |
- + |
qu0v — fvj dx = 0. |
(11.24) |
||
dr\ |
|||||||
^ ' |
|
r. |
|
|
|
|
|
Если функция u0 (x) такова, что имеет по две производные в интерва лах (0 , 1 ) и (£, 0 , то в результате интегрирования по частям предста вим последнее равенство в виде
|
0== J [ ----- |
i r ( kJs r ) + |
^ - |
f ) vdx + Д |
-----5 г ( * " 1 г ) + |
|||||
|
+ qua — f\vdx + k |
аыр |
|*=g-o |
— k |
du0 |
*=£+o |
(11.24') |
|||
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|||
из |
В силу произвольности v (х) £ НА и непрерывности |
всех функций |
||||||||
НА, т . е. v (| + |
0) = v (| — 0), |
из полученного равенства следует, |
||||||||
что функция и0 (х), |
минимизирующая в На функционал |
(11.23) и удов |
||||||||
летворяющая |
уравнению (11.13), обязательно удовлетворяет и услови |
|||||||||
ям |
(11.15). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Несколько слов о вариационной постановке задач с разрывным ре шением типа (II 13), (11.14), (11.16), или, что то же, (11.17) — (11.21). Оператор Л, порождаемый в пространстве L2 (0 , /) данной задачей, тоже является положительно определенным. Его область определения
D (Л) образуют функции и (*) £ Ц (0, I) вида |
||
|
Мг(х), |
(11.25) |
|
! < * < / , |
|
удовлетворяющие |
требованиям иг |
(х) £ С2 [0, £], и2(*) £ С2 (5, /1, |
и условиям (11.19) |
— (11.21). |
|
Отметим, что в этом случае D (Л) содержит множество М0функций |
Ф (х) вида (11.22), т. е. образованных сопряжением двух множеств функций, финитных в интервалах (0 , %) и (|, I).
Доказательство симметричности и положительной определен ности рассматриваемого оператора Л выполняется так же, как в
предыдущем случае. В результате вместо краевой задачи |
(11.13), |
|||
(11.14), (11.16) |
можно |
решать |
задачу о минимизации функционала |
|
|
I |
2 |
|
|
f(u) = |
j {k (х) |
+ |
q{x) ы2 — 2/u j dx + -)r [u\U |
(H-26) |
в энергетическом пространстве Нд оператора А задачи (11.13), (11.14), (11.16).
В функционале (11.26) под ^ понимается обычная или обобщенная
производная, определенная на интервалах (0 , |) и (£, /).
Можно показать [69], что энергетическое пространство На в данном
случае образуют функции вида (11.25), |
где «, (х) £ |
W? (0, £) и их(0) = |
= 0 , а ы2 (*) € Wi (£, /), ы2 0) = 0 , т. |
е. « х (л:) и |
и2 (х) — абсолютно |
непрерывные функции соответственно на [0 , £] и [£, Л, имеющие там суммируемые с квадратом обобщенные производные и удовлетворяю щие условию (11.19).
Заметим, что функции из данного пространства На не обязатель но должны удовлетворять условиям (II.20), (1 1 .2 1 ), или, что то же, (11.16), т. е. эти условия являются естественными для оператора А. Чтобы убедиться в этом, используем известную схему. Пусть и0 (х) реализует минимум функционала (11.26) в Нд исследуемого операто
ра, v (х) — произвольная функция из На, а г} |
— вещественная пере |
|||
менная. Тогда |
|
dF (и0+ г|Ц) |
|
|
F(u0 + lit») > F |
(«о). |
л=0 = 0. |
||
dr] |
||||
В рассматриваемом случае |
последнее равенство имеет вид |
|||
|
|
/ |
|
+ j |
qu0vdx — j fvdx + |
lu0k=i [o|*=|. |
(11.27) |
0 |
0 |
|
|
Е с л и U 0 (X ) имеет в интервалах (0, |
£) и (|, /) по две производные, |
то, используя интегрирование по частям двух первых интегралов ра венства (11.27), получаем
° = h - ^ { k ^ ) + q u ° ~ f ) v d x + i ( - ^ ( k j 3r ) +
|
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
+ |
«“ • — /) « ( * |
+ (-)- К |
М |
— * |
| |
+0) о 8 + |
0 ) — |
||
|
|
|
|
|
е |
> |
№ |
- 0). |
|
|
Вследствие произвольности функции v (х) £ Нд |
можно |
утверждать, |
||||||||
что при |
сделанном |
предположении |
минимизирующая функция |
|||||||
ы0 (*) удовлетворяет уравнениям (11.17), |
(11.18) |
и условиям |
||||||||
1 |
|
dtu |
|
0 , |
± [ u 0]x=i- k - ^ - |
= 0, |
||||
г |
1ио]*=5 k ^ |
*=1+о |
||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
*=Н-0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
*. |
duo I |
|
|
1 |
|
|
|
|
||
I |
в--г(и.(6 +0)-Ц,(6-0)); |
|||||||||
|
«ЕЛ |