Теория анализа хозяйственной деятельности
..pdfи распределения работ (услуг) как в целом по предприятию, так и для каждого структурного подразделения в отдельнос ти и предоставлять пользователю выходную информацию в требуемой форме.
4.8. Модели и методы управления запасами
Предприятия часто делают различные запасы: хранят сырье, заготовки, готовую продукцию, денежные средства, предназначенные для приобретения реальных и финансо вых активов.
На производстве запасов не должно быть ни слишком много, ни слишком мало. В первом случае возникает необхо димость неоправданных затрат на хранение, на амортизацию товара. Во втором случае может оказаться так, что на складе не будет нужного товара. Кроме того, малое количество запа сов подразумевает их частое пополнение, что также требует затрат.
Задача управления запасами состоит в том, чтобы избе жать обеих крайностей и сделать общие затраты по возмож ности меньше. Отметим, что в целом эта область науки управления развита довольно хорошо, разработаны много численные модели с применением различных математиче ских методов. Рассмотрим две простейшие модели управле ния запасами в хозяйственной деятельности предприятия.
Основная модель управления запасами ( модель Бау- моля).
Важнейшую роль в наших расчетах будет играть функ ция изменения запаса. Эта связь между количеством единиц товара на складе Q и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара.
Если на товар имеется спрос, то функция изменения запа са Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает. Для упрощения модели будем считать, что запас пополняется мгновенно.
Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части:
•стоимость товара;
• организационные издержки — расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т.д.;
•издержки на хранение товара — затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т.д.
Рассмотрим основные величины и предложения относи тельно них, принятые в рамках данной модели: в качестве единицы измерения денежных средств будут использоваться условные единицы (у.е.); в качестве единицы измерения вре мени — год.
Введем следующие обозначения:
1.Цена единицы товара — с (у.е.). Цена постоянна, рас сматривается один вид товара.
2.Интенсивность спроса — d (единиц товара в год). Бу дем считать, что спрос постоянный и непрерывный.
3.Организационные издержки — s (у.е. за партию това ра). Будем считать, что организационные издержки не зави сят от размера поставки, то есть от количества единиц товара
водной партии.
4.Издержки на хранение запаса — Л (у.е. на единицу то вара в год). Будем считать эти издержки постоянными.
5.Размер одной партии товара — q (единиц)* Он постоя нен. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возни кает дефицит, то есть когда запас на складе становится равным нулю.
При сделанных предположениях график функции измене ния запаса будет следующим (рис. 4.3): он состоит из повто ряющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному по полнению запаса.
Рис. 4.3. График функции |
Рис. 4.4. График изменении |
изменения запаса |
издержек |
Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управ ления запасами состоит в выборе параметра g таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты.
Для решения сформулированной задачи надо прежде все го выразить затраты через параметры с, d, s, ft, g. В соответ ствии с условием задачи общие издержки С вычисляются по формуле
* sd qh
C(g) —cd н-------1----- . g 2
Требуется найти такое число д*, чтобы функция С = С(д) принимала наименьшее значение на множестве д > 0 именно в точке д*.
График функции С(д) показан на рис. 4.4. В соответствии с необходимым условием экстремума берем первую произ водную функции С(д) по д, приравниваем ее к нулю и разре шаем относительно д. Имеем
Полученная формула и есть модель Баумоля.
Модель производственных поставок. В основе вышеопи санной модели лежало предположение, что товары поступают на склад мгновенно. Это предположение достаточно хорошо отражает ситуацию, когда товар поставляется в течение одно го дня (или ночи). Если товары поставляются с работающей производственной линии, необходимо модифицировать основ ную модель. В этом случае к параметрам с, d, $, ft добавляется еще один параметр — производительность производственной линии р (единиц товара в год). Будем считать ее заданной и постоянной величиной.
Эта новая модель называется моделью производственных поставок. Величина g по-прежнему обозначает размер пар тии. В начале каждого цикла происходит «подключение» к производственной линии, которое продолжается до накоп ления g единиц товара. После этого пополнения запасов не происходит до тех пор, пока не возник дефицит.
График функции изменения запаса в этом случае имеет следующий вид (рис. 4.5).
Рис. 4.5. График функции изменения запаса
Общие издержки С(д), как и в основной модели, состоят из трех частей: общей стоимости товара за год, годовых орга низационных издержек и издержек на хранение. Первые две части определяются аналогично, как и в основной модели. Издержки же на хранение будут иметь несколько иной вид. Опишем их расчетную формулу.
Пусть т — время поставки (рис. 4.5). В течение этого вре мени происходит как пополнение (с интенсивностью р ), так и расходование (с интенсивностью d) запаса. Увеличение запа са происходит со скоростью р — d. Поэтому достигнутый к концу периода пополнения запаса максимальный его уро вень М вычисляется по формуле
М = (р - d) т.
Заметим, что М < q.
Однако р т = д, так как за время т при интенсивности про изводства р произведено q единиц товара. Из последних двух равенств следует, что
М = (р - d)—.
Р
Средний уровень запаса, как и в основной модели, равен половине максимального, то есть М/2. Таким образом, из держки на хранение запаса равны
(p -d )q h
2Р
Общие издержки вычисляются по формуле
Взяв производную по q и приравняв ее к нулю, находим оптимальный размер поставки q*:
Рассмотрим пример. Интенсивность равномерного спроса составляет 1 тыс. единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организационные издержки равны 10 у.е., из держки на хранение — 2 у.е., цена единицы товара — 5 у.е. Требуется определить оптимальный размер партии.
Решаем данный пример следующим образом: имеем d= 1000, р = 5000, s - 10, h = 2, с = 5. Вычисляем общие из держки
В итоге получаем
q* = V10 000 (5 /4 ) « 112.
При этом отметим, что, найдя оптимальный размер зака за д*, можно определить оптимальное число поставок за год /г* и соответствующие продолжительность поставки т* и про должительность цикла пополнения запаса t*:
365 * 10,
Итак, при оптимальном размере заказа 112 единиц число поставок в год составит 9 шт., при этом продолжительность одной поставки — 10 дней, продолжительность цикла попол нения запаса — 41 день.
4.9. Применение теории нечетких множеств в анализе финансово-хозяйственной деятельности предприятия
Математическая теория нечетких множеств, разработан ная в 60-е годы XX столетия, сегодня все шире применяется в финансовом анализе деятельности предприятия, включаю щем анализ и прогноз финансового положения предприятия, анализ изменений оборотного фонда, потоков свободных де нежных средств, экономического риска, оценки влияния за трат на прибыль, расчета стоимости капитала.
Воснове данной теории лежат понятия «нечеткое множе ство» и «функции принадлежности».
Вобщем случае решение задач такого типа довольно гро моздко, так как имеет место большой объем информации. Практическое использование теории нечетких множеств по зволяет развивать традиционные методы финансово-хозяйст венной деятельности, адаптировать их к новым потребностям учета неопределенности в будущем основных показателей деятельности предприятий.
Вкачестве примера рассмотрим одну из классических за дач о движении свободных денежных средств на предпри ятии, но в условиях, когда нижние и верхние границы оценки денежных средств баланса структурированы, а внут ри заданного интервала ведут себя неопределенно.
Предположим, что есть менеджер, задача которого состо ит в оценке прогноза движения денежных средств. Если
унего запросить прогноз относительно некой исчисляемой величины на последующий период, можно в уверенностью сказать, что ответ не будет точным числом. Например, если спросить менеджера, какова будет величина закупок для производственных целей за наличный расчет, в ответе не бу дет конкретного числа (например, 650 или 670). В лучшем случае менеджер даст три числа, из которых первое будет ве личиной, ниже которой не могут опускаться суммы, пред
ставляющие закупки за наличный расчет. Второе число будет той суммой, выше которой, по мнению менеджера, не возможно произвести закупки за наличный расчет. Наконец, третьим менеджер укажет число, которое, по его мнению, с наибольшей вероятностью будет соответствовать размеру закупок за наличный расчет в последующий период.
Такие оценки менеджера можно перевести в область не четких расчетов, представив эти оценки, например, нечет кими треугольными числами (НТЧ).
Эти преобразования чрезвычайно просты. Минимальная оценка менеджера считается нижней границей в нечетком треугольном числе, а максимальная оценка — верхней. Про гноз менеджера о наиболее вероятном (в обыденном смысле) значении изучаемого показателя будет соответствовать в не четком треугольном числе значению с наибольшим уровнем предположительности, равным единице.
Например, менеджер считает, что закупки для производ ственных целей за наличный расчет составят не менее 650, не превысят 675, наиболее вероятным представляется, что они составят 670. Тогда нечеткое треугольное число имеет вид С = (650, 670, 675).
Если при составлении оценок о «продажах, связанных с производством, за наличный расчет» менеджер указывает, что они будут не менее 650, не более 700, но полагает, что со ставят 660, он тем самым определил нечеткое треугольное
число V = (650, 660, 700).
При таком подходе уровень предположительности о ниж ней и верхней границах, естественно, считается равным 0, а уровень предположительности наиболее вероятного значе ния считается равным 1. График уровня предположительно сти относительно значений нечеткого треугольного числа V будет иметь следующую форму (рис. 4.6).
Зная треугольное число, выраженное в одной из указан ных форм, можно получить его выражение в любой из дру гих форм.
Например, зная НТЧ как тройку чисел V = (650, 660, 700), путем несложных вычислений можно преобразовать
его в форму a-срезов. При рассмотрении графика (рис. 4.6) видно, что для уровня предположительности а = 0 уровень продаж составляет 650 в качестве первого данного, а для
уровня предположительности а = 1 уровень продаж соста вит 660. Тогда для нахождения нижней границы (для любо го уровня предположительности) НТЧ в форме а-срезов необходимо найти уравнение прямой, проходящей через две точки, упомянутые ранее:
при аг = 0 ух = 650; при а2 = 1 у2 = 660.
Используя известную формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки, будем иметь
а - 0 _ у - 650
1 - 0 ~ 660 - 650*
Отсюда у = 650 + 10а — нижняя граница НТЧ в форме а-срезов
Аналогично для нахождения верхней границы достаточно найти уравнение прямой, соединяющей точку максимальной продолжительности и точку, представляющую максимальное значение, относящуюся к НТЧ.
Тогда имеем
при аг = 0 ух = 660; при а2 = 1 у2 = 700.
Уравнение прямой будет иметь вид
а - 1 _ у - 660
0 - 1 " 700 - 660’
Отсюда у = 700-40а — верхняя граница НТЧ в форме а-срезов.
Таким образом можно перейти от выражения НТЧ как тройки чисел (650, 660, 700) к другому выражению того же НТЧ, но в форме a-срезов, то есть в виде интервала
Va = [650 + 10а, 700 - 40а] для 0 < а < 1.
Для осуществления обратного перехода от НТЧ в форме a-срезов к НТЧ в виде тройки чисел достаточно задать а = 0 для получения соответственно нижней и верхней границ НТЧ трехкомпонентной формы и а = 1 для получения макси мально вероятного значения. Вычисление этого значения можно провести на любой из двух границ доверительного ин тервала, потому что обе они совпадают при а = 1.
НТЧ можно также выразить с помощью системы четырех уравнений. Для этого нужно определить значения а через значения у на четырех интервалах изменения у: до нижней границы, от нижней границы до наиболее вероятного значе ния, от наиболее вероятного значения до верхней границы и, наконец, после верхней границы.
Например, рассматривая найденное ранее НТЧ
Va = [650 + 10а, 700 - 40а],
получим
а= 0, если у < 650,
а= - — если 650 < у < 660, 10
700 - Y
а = Ч если 660 < у < 700, 10
а = 0, если у > 700.
Для перехода к НТЧ в форме a-срезов достаточно выра
зить у через а.
Таким же образом, как была найдена оценка показателя «продажа за наличный расчет», от менеджера можно полу чить суждения о показателе «покупки за наличный расчет»:
например, С = (650, 670, 675). В форме a-срезов оно имеет вид
Са = [650 + 20а, 675-5а].
Чистое изменение денежных средств также может быть найдено в виде НТЧ с помощью операции ( - ) 1:
Т = V (-) С = (650, 660, 700) И (650, 670, 675) =
=(650-675, 660-670, 700-650) = (-25, -10, 50).
Вформе a-срезов будем иметь
Та = Va (-) Са = [650 + 10а, 700-40а] (-) [650 + + 20а, 675-5а] = [650 + 10а - 675 + 5а, 70~0-40а -
- 650-20а] = [-25 + 15а, 50-60а].
Как легко заметить, результат, полученный при использо вании НТЧ, совпадает с полученным при использовании дове рительных интервалов. Действительно, при а = 0 в !Гаполучаем TQ= [-25, 50]. Это означает, что неопределенность охватывает 50 - (-25) = 75 единиц. Уровень предположительности в этом случае равен 0.
Но по мере того, как уровень предположительности рас тет, неопределенность уменьшается. Так, при а = 0,4
Та = [-25 + 15 0,4, 50-60 0,4] = [-19, 26].
При максимальном уровне предположительности а = 1 интервал сокращается до точного числа; в этом случае
Тг = [-10, -10] = -10.
Таким образом, применение нечетких чисел позволило менеджеру сделать прогноз движения денежных средств предприятия в условиях неопределенности.
В нашем случае оказывается, что за рассматриваемый пе риод величина изменения денежных средств колеблется между сокращением на 25 и ростом на 50 единиц. При этом прогно зируется, что наиболее вероятно сокращение на 10 единиц.
1 Данная операция означает, что от начала первого среза отнимается конец второго среза; от наиболее вероятного значения первого среза отнимается наиболее вероятное значение второго среза; от конца первого среза отнимается начало второго среза.