- •Е.Р. Мошев
- •1.1. Физическое моделирование (ФМ)
- •2.2. Нахождение решения математической модели
- •2.3. Проверка моделей на адекватность
- •3.1. Методы исследования структуры потоков
- •4.1. Модель идеального перемешивания
- •4.2. Модель идеального вытеснения
- •4.4. Ячеечная модель с рециркуляцией
- •4.5. Диффузионная модель
- •4.6. Сравнение аппаратов соответствующих
- •5.1. Основные характеристики случайных величин
- •5.2. Равномерное распределение
- •5.3. Нормальное распределение
- •5.4. Доверительные интервалы и доверительная вероятность,
- •5.5. Определение общей дисперсии для серии параллельных опытов
- •6.1. Основные понятия и определения
- •6.4. Дробный факторный эксперимент
- •8.1. Центральное композиционное планирование
- •8.2. Ортогональный план второго порядка
- •8.3. Ротатабельный план второго порядка
- •Приложение 2
- •Пример использования модели ИП для описания процесса непрерывной массовой кристаллизации
- •Идеальные модели
5.М ЕТОДЫ СТАТИ СТИ ЧЕСКО ГО АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМ ЕНТА
5.1.Основные характеристики случайных величин
Случайные величины и законы распределения
Под случайной величиной понимают такую величину, значение ко торой принципиально нельзя предсказать, исходя из условий проведения опыта. Случайная величина обладает целым набором допустимых значе ний, но в результате каждого отдельного опыта принимает лишь какое-то одно из них. Непредсказуемость значений случайной величины обуслов лена наличием случайных факторов, влияние которых на результаты опы та не поддается точной оценке.
Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Возмож ные значения дискретных случайных величин можно перечислить заранее. Для непрерывных случайных величин реально указать только диапазон их возможных значений. Например, можно точно перечислить количество элементов трубопровода, которые выйдут из строя в течение года (от 0 до п элементов), но нельзя перечислить точные значения скорости их износа или точное время перехода в предельное состояние.
Пусть дискретная случайная величина X может принимать в резуль тате опыта значения х\, * 2, ... , х*. Тогда отношение числа опытов т,-, в ко торых X приняла значение xh к общему числу проведенных опытов п будет
называться частотой появления события X = Частота т^п также являет
ся случайной величиной и меняется в зависимости от количества прове денных опытов. При большом числе опытов она имеет тенденцию стаби лизироваться около некоторого значения /?/, называемого вероятностью события X=Xi, т.е.
|
при |
оо |
mi /n - ^ p i . |
(5.1) |
Вероятность появления случайного события х,- |
изменяется в преде |
|||
лах от 0 до |
1. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной |
|||
величины всегда равна единице, |
|
|
||
|
|
£ р / = |
1- |
(5-2) |
|
|
1= 1 |
|
|
Дискретную случайную величину можно задать вероятностным ря |
||||
дом, указав вероятность р\ для каждого значения х\\ |
|
|||
Х\ |
*1 |
х2 |
*3 |
|
_____ в _____ |
Р\ |
Р2____ _____ Рз |
Рп |
Соотношение, устанавливающее связь между возможными значе ниями случайной величины и соответствующими им вероятностями, назы вается законом распределения.
Распределение непрерывной случайной величины нельзя задать при помощи вероятностей отдельных значений. Число значений настолько ве лико, что вероятность появления большинства из них равна нулю. Для не прерывных случайных величин изучается вероятность того, что в резуль тате опыта значение случайной величины попадет в некоторую заранее намеченную совокупность чисел. Если принять, что х произвольное дейст вительное число, а X случайная величина, то вероятность появления X < х является функцией от * и называется функцией распределения случайной величины,
P(X<x) = F(;с). |
(5.3) |
В виде функции распределения можно задать распределение как не прерывной, так и дискретной случайной величины (рис. 5.1, а, б). Ордина та кривой F (*i), соответствующая точке х\, представляет вероятность того, что случайная величина окажется меньше х\. Разность ординат, соответст вующая точкам х\ и * 2, дает вероятность того, что значения случайной ве личины будут лежать в интервале между х\ и *2-
Р(хх< Х< х2) = F(x2) - F(x 1). |
(5.4) |
Значения функции при предельных значениях аргумента соответственно равны 0 и 1:
F(-oo) = 0; F(+oo ) = 1. |
(5.5) |
а |
б |
Рис. 5.1. Функции распределения непрерывной (а) и дискретной (б) случайных величин
Производная функции распределения называется плотностью рас пределения случайной величины X (рис. 5.2). Если F(x) непрерывна и дифференцируема, то
m = F'(x). |
(5.6) |
хх |
Х2 |
X |
Рис. 5.2. Плотность распределения непрерывной, случайной величины
Функция fix) так же, как и F(x% полностью определяет случайную величину. Площадь, ограниченная осью х, прямыми х = х\ и х = * 2, и кри вой плотности распределения, равна вероятности того, что случайная ве личина примет значения из интервала х\ +Х2 '.
P(xl < X < x 2) = X]f(x)dx = F(x2) - F ( x ]). |
(5.7) |
Полная площадь под кривой плотности распределения определяется
как
jf(x)dx = \. |
(5.8) |
Числовые характеристики
В большинстве прикладных задач оперируют не с законами распре деления, а с числовыми характеристиками, выражающими характерные особенности случайной величины и называемыми моментами случайной величины. Аналогично моментам функции РВП (см. раздел 3.2) моменты случайной величины бывают двух видов: начальные и центральные.
|
Дискретные |
|
Непрерывные |
||
|
п |
« |
|
|
|
Начальные |
Мк = Y*xi Pi |
|
м к = |
||
|
i=1 |
|
|
—00 |
|
|
п |
|
о |
(5.9) |
|
Центральные |
~ тх> |
Ц* = \ х - т х)^ f(x )d x , |
|||
Ц* = £ ( * , |
Pi |
||||
|
/=1 |
|
|
|
|
где Р = 1, 2 ,... - |
номер момента. |
|
|
Начальный момент первого порядка М\ называется математическим ожиданием (средним значением) случайной величины. Математическое ожидание принято обозначать: М[Х\, тх, т. Чаще, чем начальные, исполь зуют центральные моменты. Первый центральный момент всегда равен нулю Ц] = 0. Второй центральный момент рг называется дисперсией. Дис персией случайной величины называется математическое ожидание квад рата отклонения случайной величины от ее математического ожидания,
т.е. |
|
а х2 = М [(Х -т х)2]. |
(5.10) |
2 |
Для дис |
Другие принятые обозначения дисперсии: D[X], DX) ах |
кретной и непрерывной случайных величин дисперсия определится сле
дующим образом: |
|
Дискретные |
Непрерывные |
О? =Ф 2 = £ (*/ - m x)2P i ; |
с х2 = ц 2 = \ х - т х)2f{x )d x . |
(5.11) |
1= 1 |
—00 |
|
Корень квадратный дисперсии называется средним квадратичным |
||
отклонением или стандартом. |
|
|
|
<**=>/<? |
(5-12) |
Моменты более высокого порядка используются реже.
Моменты существуют, если соответствующие интегралы или ряды для дискретных величин сходятся. Для случайных величин, значения ко торых ограничены, моменты всегда существуют. Если у случайной вели чины существуют первый и второй моменты, то можно построить норми рованную случайную величину:
Х0 = (Х - тх)/ох. |
(5.13) |
|
Для нормированной случайной величины |
|
|
М[Х0] = 0; |
D[X0] = l . |
(5.14) |
Многие таблицы распределений построены именно для нормиро ванных случайных величин.
Моменты являются общими (интегральными) характеристиками распределения. Вторая группа параметров характеризует отдельные зна чения функции распределения. К ним относятся квантили (рис. 5.3).
*0,2 |
*0,5 |
*0,95 |
F(x)
Рис. 5.3. Квантили распределения случайной величины
Квантилем хр распределения случайной величины X с функцией рас пределения F(x) называется решение уравнения
Р (Х р )= Р > |
( 5 - 1 5 ) |
т.е. хр такое значение случайной величины, что
Р(Х<хр)= р . |
(5.16) |
Если известны два квантиля хр и хд, то
Р(хр < X <xq) = q - p , |
(5.17) |
Наиболее важное значение имеет квантиль * 0,5, называемый медиа ной распределения (см. рис. 5.3). Ордината медианы рассекает кривую ве роятности пополам.
Значения квантилей нормального распределения для наиболее ис пользуемых вероятностей приведены в табл. 5.1.
Таблица 5. 1 Квантили нормального нормированного распределения
*0.01 |
*0.05 |
*0.1 |
*0.2 |
*0.5 |
*0.8 |
*0.9 |
*0.95 |
*0.99 |
-2,33 |
-1,64 |
-1 ,2 8 |
-0 ,8 4 |
0 |
0,84 |
1,28 |
1,64 |
2,33 |
Квантили хр и х\_р называют симметричными. Для симметричного |
||||||||
относительно нуля распределения всегда |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
хр ~ ~х\~р. |
|
|
(5.18) |
Свойства математического ожидания и дисперсии
Математическое ожидание неслучайной величины равно значению
этой величины |
|
М[с] = с. |
(5.19) |
Неслучайную величину можно вынести зазнакматематического |
|
ожидания, |
|
М[сХ\ = сМ[Х\. |
(5.2а) |
Математическоеожидание суммы случайныхвеличин |
равно сумме |
математических ожиданий этих случайных величин, |
|
ЩХ\ + * 2 + +Хп] = М[Х,] + М[Х2] + + М[Хп]. |
(5.21) |