- •Г.Г КАШЕВАРОВА, Т.Б. ПЕРМЯКОВА
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие сведения о математическом моделировании.
- •Численные методы
- •Элементы теории погрешности
- •Понятия мастера и надстройки
- •Глава 1. Основные понятия матричного исчисления. Матрицы в расчетах строительных объектов
- •1.1. Матрицы и векторы. Определения
- •1.2. Матрицы специального вида
- •1.3. Действия над матрицами
- •1.4. Нормы матрицы и вектора
- •1.5. Матрицы в задачах строительной механики
- •1.5.1. Матрицы влияния внутренних сил
- •1.5.2. Матричная форма расчета статически определимых ферм
- •1.5.3, Матричная форма метода сил
- •1.5.4. Матричная форма метода перемещений
- •1.6. Матрицы в расчетах инженерных сетей
- •1.7. Функции Excel для операций над матрицами
- •Категория: математические. Функции:
- •2.1. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.2.1. Метод Гаусса
- •2.2.2. Метод Гаусса для СЛАУ с ленточными матрицами
- •2.2.3. Метод прогонки
- •2.2.4. Метод (схема) Холецкого
- •2.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •2.3.1. Метод Якоби (простых итераций)
- •2.3.2. Метод Гаусса - Зейделя.
- •2.3.3. Условия сходимости итерационного процесса
- •2.5. Обусловленность задач и вычислений, или как узнать, что получены правильные ответы
- •2.6. Вычисление определителя
- •2.7. Вычисление обратной матрицы
- •2.8. Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц
- •2.8.1. Вводные замечания
- •2.8.2. Методы развертывания вековых определителей
- •2.8.3. Итерационные методы определения максимального по модулю собственного значения
- •2.9.1. Реализация метода Гаусса средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •2.9.4. Реализация метода Зейделя средствами приложения Excel
- •Последовательность действий:
- •3.1. Отделение корней
- •3.2. Этап уточнения корня
- •3.2.1. Метод половинного деления (бисекций)
- •3.2.2.Метод хорд
- •3.2.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •3.2.4. Модифицированный метод Ньютона
- •3.3. Системы нелинейных уравнений
- •3.4. Реализация численных методов решения нелинейных уравнений средствами приложения Excel
- •3.4.1. Решение нелинейных уравнений
- •Последовательность действий
- •4.2.3. Интерполяционный полином Эрмита
- •4.2.4. Сплайн-интерполяция
- •Глава 4. Аппроксимация
- •4.1. Задача и способы аппроксимации
- •4.2. Интерполирование функций
- •4.2.1. Постановка задачи интерполирования
- •4.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •4.3. Среднеквадратичное приближение функций
- •4.3.1. Метод наименьших квадратов
- •4.3.4. Квадратичное (параболическое) приближение
- •4.3.4. Эмпирические формулы с двумя параметрами. Метод выравнивания
- •4.4. Решение задач аппроксимации с помощью электронных таблиц Excel
- •4.4.1. Построение линейной эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- •Последовательность действий
- •Последовательность действий
- •5.1. Квадратурные формулы прямоугольников
- •5.2. Квадратурная формула трапеций
- •5.3. Квадратурная формула Симпсона
- •5.4. Реализация методов численного интегрирования средствами приложения Excel
- •Глава 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений с начальными и краевыми условиями
- •6.1.1. Задачи Коши и краевые задачи
- •6.2.1.Классификация уравнений и типы задач
- •6.3. Численные методы решения задач Коши
- •6.3.1. Метод Эйлера
- •(геометрический метод решения задачи Коши)
- •6.4. Численные методы решения краевых задач
- •Разностная схема краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
- •Конечно-разностная аппроксимация функций двух переменных
- •Сходимость метода конечных разностей
- •6.5. Вариационный подход к решению краевых задач
- •6.5.1. Основные понятия вариационного исчисления
- •6.5.2. Связь решения краевой задачи с нахождением минимума функционала
- •6.5.3. Метод Ритца
- •6.6.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
- •Построение второй итерации
- •Последовательность действий.
- •Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи
- •Глава 7. Метод конечных элементов
- •7.1. Основные положения МКЭ
- •Построение расчетной модели
- •Аппроксимация искомой функции
- •Составление разрешающих уравнений
- •Решение системы линейных алгебраических уравнений
- •7.2.1. Классификация конечных элементов
- •Одномерный конечный элемент
- •Двухмерные конечные элементы.
- •элемента
- •Одномерный симплекс-элемент
- •Двухмерный треугольный симплекс-элемент
- •7.2.3. Интерполирование векторных величин
- •7.2.4. Разбиение области на конечные элементы
- •7.2.5 Нумерация узлов и элементов
- •7. 3. Основные соотношения МКЭ
- •7.3.1. Получение разрешающих уравнений на примере плоской задачи теории упругости
- •7.3.2. Примеры разрешающих уравнений в задачах расчета строительных объектов
- •7.4. Другие типы конечных элементов
- •7.4.1. Элементы Эрмита
- •7.5. Теоретическая и практическая сходимость МКЭ
- •7.6.1. Специализированные программные комплексы
- •7.6.2. Универсальные программные комплексы
- •8.1.1. Математическая модель задачи оптимизации
- •8.1. Общие сведения
- •8.1.2. Необходимые и достаточные условия экстремума функции
- •8.1.3. Классификация задач математического программирования
- •8.2. Постановка задачи оптимального проектирования
- •8.2.1. Определение входных и выходных параметров
- •8.2.2. Выбор целевой функции
- •8.2.3. Назначение ограничений
- •8.2.4. Нормирование управляемых и выходных параметров
- •8.2.5. Примеры постановок задач оптимального проектирования
- •8.3. Задачи линейного программирования
- •8.3.1. Общая постановка задачи ЛП
- •8.3.2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя неизвестными
- •8.3.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •Задача об оптимальном плане выпуска продукции
- •Задача об оптимальном раскрое материалов (о минимизации отходов)
- •Задача о планировании смен на предприятии
- •Задача о покрытии местности при строительстве объектов
- •Транспортная задача
- •Задача о назначениях (проблема выбора)
- •8.3.6. Двойственные задачи в линейном программировании
- •8.4. Нелинейные задачи оптимизации
- •8.4.1. Выпуклые множества и выпуклые функции
- •8.4.2. Классификация численных методов решения нелинейных задач оптимизации
- •Основные этапы поиска экстремума
- •8.4.3. Численные методы одномерного поиска
- •Метод перебора или равномерного поиска
- •Метод дихотомии (или половинного деления)
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Метод наискорейшего спуска
- •Метод сопряженных градиентов
- •Метод Ньютона
- •Метод штрафных функций
- •8.5. Решение задач оптимизации с помощью электронных таблиц Excel
- •Литература
- •Оглавление
- •Численные методы решения задач строительства на ЭВМ
Эти средства включают в себя:
•теорию, которая дает общее понимание модели и процесса решения задачи, что является одним из путей достижения качественного представления о том, что происходит в действительности;
•методы, которые дают средства решения задачи (метод есть совокупность указаний или шагов решения задачи);
•математическое обеспечение - это законченный метод, воплощенный в программе для ЭВМ. В самом лучшем случае достаточно просто нажать кнопку РЕШИТЬ, чтобы получить ответ.
Элементы теории погрешности
Решение, получаемое в процессе исследования исходного объекта методом математического моделирования, всегда получается приближенным, то есть содержит некоторые погрешности.
Источниками погрешностей являются [9, 13]:
•Погрешность задачи, обусловленная неточным заданием математической модели. Погрешность ММ рассматриваться здесь не будет.
•Погрешность исходных данных. Для вычислителя это
неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 1- 10%.
•Погрешность метода или погрешность дискретизации, возникающая при замене исходной задачи - дискретной (характеризует сходимость ЧМ).
Погрешность численного метода решения задачи связана с тем, что точные операторы и исходные данные заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная - разностью, функция - многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.
Погрешность метода надо выбирать так, чтобы |
она была |
в 2 - 5 раз меньше неустранимой погрешности. |
Большая |
погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность. Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.
• Погрешность округлений возникает при выполнении арифметических действях над числами, так как ЭВМ оперирует с числами, имеющими конечное число значащих цифр.
Все эти погрешности в сумме составляют полную погрешность результата решения задачи.
Поскольку первые два типа погрешности не зависят от вычислителя, то нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода должна подчиняться погрешности задачи. Погрешность округлений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода [9].
Рассмотрим некоторые подходы к учету погрешностей действий.
Пусть А и а - два «близких» числа. Условимся считать А точным,
а |
приближенным значением. Назовем |
абсолютной |
погрешностью приближенного числа а выражение |
|
|
|
&а = \А -а\. |
(1) |
Величина Да может быть, например, ценой деления измерительного прибора или оценкой величины ошибки округления числа Л.
Величина абсолютной погрешности мало что говорит о действительной точности измерения. Например, если длина балки может быть измерена с точностью Аа=1 мм, то измерение толщины оконного стекла с такой же точностью недопустимо.
Поэтому удобней пользоваться величиной относительной
погрешности
5 а |
= |
Ла а |
(2) |
Относительная погрешность - безразмерная величина, ее |
|||
часто определяют в процентах: |
|
||
да |
= |
100 % |
(3) |
|
|
а |
|
Абсолютную и относительную погрешности принято округлять в большую сторону.
При выполнении арифметических операций сложения (вычитания) складываются (вычитаются) абсолютные погрешности, а при умножении и делении - относительные погрешности [9, 12].
Точность, устойчивость и сходимость при численном решении
Когда выбирается вычислительная процедура (ЧМ), необходимо оценить наряду с другими ее характеристиками
точность, устойчивость и сходимость.
Точность- - это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.
Устойчивость определяется ростом ошибок при выполнении отдельных вычислительных операций. Неустойчивое вычисление является результатом аппроксимации, округления или других ошибок, которые неограниченно накапливаются, вследствие чего истинное решение вскоре тонет в ошибках.
Сходимость - это постепенное приближение последовательно вычисляемых решений к предельному по мере того, как уточняются некоторые вычислительные параметры.
Термин «сходимость» применяется как к итерационной процедуре, в которой некоторые или все результаты одного вычисления становятся входной информацией для другого (повторного) вычисления, так и к выбору подходящих (аппроксимирующих) функций при описании какого-либо процесса или явления. Таким образом, в сходящейся процедуре разница между
последовательными результатами должна уменьшаться, стремясь в пределе к нулю. Эти три термина иллюстрирует рис. 1.
Наст ойчивое
вычисление
А
V -
Верхняя граница
Ошибка (точность) п р е д ш Ш ^ Ш ш н и в
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ
Нижняя граница
Рис. 1. Точность, устойчивость и сходимость:
• расходящаяся процедура; х - сходящаяся процедура.
Более точные определения можно найти в книгах по численному анализу и методам вычислении [5, 45]. Следует отметить, что желательной является устойчивость каждого вычисления, когда последовательные результаты быстро сходятся к точному решению. Из рис. 1 видно, что по мере уточнения параметров вычислительной процедуры точность растет, если процесс сходится, и падает, если он не сходится.
Решение численных задач с использованием электронных таблиц EXCEL
Электронные таблицы Excel корпорации Microsoft входят в состав пакета Microsoft Office для операционной системы Windows. Возможности Excel весьма многогранны, а их интерфейс удобен, гибок и понятен.
Приложение Microsoft Excel предназначено для выполнения табличных расчетов, характерных для управления и бизнеса. Однако заложенные в него инструментальные средства позволяют
успешно решать и инженерные задачи (выполнять расчеты по формулам, строить графические зависимости и т.п.), а также он является удобным средством реализации численных методов.
Работа в среде Excel не требует квалификации программиста, а осуществляется непосредственно специалистом, изучающим данную проблему, который совмещает функции постановщика, программиста и конечного пользователя, анализирующего полученные результаты.
Далее мы рассмотрим возможности Excel для реализации численных методов на примерах некоторых практических задач, приведенных в теоретических разделах.
Предполагается, что читатель имеет некоторые навыки работы с приложением MS Excel, представляет, как в ячейки таблицы вводятся текстовая информация, числа, формулы, а также понимает, что такое абсолютный и относительный адрес
ячейки. При необходимости следует обратиться к специальной литературе по практическому применению электронных таблиц Microsoft Excel [ 29, 38 ].
Напомним, что формула - это выражение, с помощью которого вычисляется новое значение (результат) по уже существующей информации. Ввод формулы, в принципе, не представляет никаких трудностей, нужно только не забывать ставить перед записью формулы знак равенства!
ёВнимание!
Далее в текстах примеров запись формулы будет начинаться с номера ячейки, в которую будет вписываться формула.
В таблицу же Excel формула вписывается, начиная со знака равенства « = ».
При исполнении формул Excel придерживается стандартных правил алгебры.
Замечательной особенностью Excel является его способность копировать (или дублировать) формулу в соседние ячейки.