3268
.pdf
|
Чтобы получить решение этой задачи, сперва выведем |
||||||||||||
формулу тонкой линзы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3. Вывод формулы тонкой линзы |
|
|
|||||||||
|
Будем |
исходить |
из |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
формулы |
сферической |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
преломляющей |
|
|
n |
R |
|
|
|
|
R1 |
n |
|
||
поверхности. |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
M |
|
|
C |
|
|
|
M1 |
||||
|
Показатель преломле- |
O2 |
|
|
|
|
|||||||
ния |
материала |
линзы |
|
S n0 |
S |
2 |
O |
M |
|||||
|
a |
1 |
|
|
a2 |
1 |
2 |
||||||
обозначим |
через |
|
n0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
показатели |
преломления |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сред слева и справа от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
линзы |
соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
через n1 и n2 . Построим изображение точки M , лежащей на |
|||||||||||||
главной оптической оси на расстоянии |
a1 |
от линзы (рис.4). |
|||||||||||
Это построение будет состоять в следующем. Сначала |
|||||||||||||
построим изображение точка на первой поверхности (по ходу |
|||||||||||||
лучей), затем, рассматривая это изображение как источник, |
|||||||||||||
построим его изображение на второй поверхности. |
|
|
|||||||||||
|
Пусть |
изображение |
точки |
M , |
|
даваемое |
первой |
||||||
поверхностью, есть |
точка |
M1 , |
а |
её |
расстояние |
до этой |
|||||||
поверхности M1S1 a . |
Тогда, согласно формуле сферической |
||||||||||||
преломляющей поверхности, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n0 |
|
n1 n0 |
. |
(1) |
|
|
|
a1 a R1
Изображение точки M1 на второй преломляющей поверхности, разграничивающей среды с показателями преломления слева n0 , справа - n2 , допустим, есть точка M2 ,
расположенная на расстоянии a2 от этой поверхности. В этом случае имеем
61
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
n2 |
|
n0 n2 |
. |
|
|
|
(2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Складывая (1) и (2), получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
n1 |
|
n2 |
|
n1 n0 |
|
n0 n2 |
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a1 a2 |
R1 |
R2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n2 |
|
n1 |
|
|
n0 n1 |
|
n0 n2 |
|
. |
|
(3) |
||||||||||||
|
a2 |
a1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
R2 |
|
|
|
|||||||||||||
Для тонкой линзы её толщина достаточно мала по |
||||||||||||||||||||||||
сравнению с радиусами кривизны R1 |
и R2 |
|
ограничивающих |
|||||||||||||||||||||
поверхностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
S2 |
|
||||||
Поэтому, обе |
вершины |
|
и |
сферических |
поверхностей можно считать практически совпадающими.
Точку совмещения (слияния) |
вершин S1 |
и S2 , обозначаемую |
||||||||||||||
через С, называют центром тонкой линзы. |
|
|||||||||||||||
Формула (3) является формулой тонкой линзы и верна |
||||||||||||||||
как для выпуклых, |
так и вогнутых линз при произвольном |
|||||||||||||||
расположении точки M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|||
Определим фокусные |
расстояния |
линзы. При |
||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
n0 n1 |
|
|
n0 |
n2 |
|
|
|
|||
a f n /( |
|
) |
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
R |
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
– для переднего фокуса F1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При a1 |
|
|
|
|
|
|
n0 n1 |
|
|
n0 n2 |
|
|
||||
a |
f |
|
n |
/( |
|
) |
(5) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
R |
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
– для заднего фокуса F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из выражений (4) и (5) имеем соотношение |
|
|||||||||||||||
|
|
f2 / |
f1 (n2 /n1). |
|
|
|
(6) |
|||||||||
В случае n1 n2 |
n, |
f2 f1 f , формула (3) принимает |
||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
|
1 |
|
1 |
( |
n0 |
1)( |
1 |
|
1 |
), |
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
R1 |
|
||||||||||
|
a2 a1 |
|
|
n |
|
|
|
R2 |
|
|||||||
или |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
(8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a2 a1 |
|
f |
|
|
|
|
4. Главные плоскости и главные точки тонкой линзы
Согласно определе- |
|
B1 |
|
|
|||||
ниям |
линейного |
увели- |
|
B |
A |
||||
чения |
и |
|
главных |
|
y2 |
||||
|
|
|
|||||||
элементов |
|
|
линзы, |
|
M1 |
y1 |
C |
||
имеем y |
|
/ y a |
/a |
F |
M |
F |
|||
2 |
1 |
|
|
2 |
|||||
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
и |
1. |
Отсюда |
|
a1 |
f2 |
||
следует, что отрезки a1 и |
|
||||||
|
|
|
|
||||
a2 |
должны |
иметь |
a2 |
|
|
||
|
|
|
|
||||
одинаковые знаки, т.е. |
|
|
|
|
|||
предмет |
и изображение |
|
|
|
|
||
должны |
находиться по |
|
|
|
|
одну сторону линзы. Поскольку принято пространство
предметов располагать с левой стороны линзы, то |
a1 0 |
и |
|||||||||||||||||||||||||
a2 0. На рис.5 |
построено изображение |
M1B1 y |
предмета |
||||||||||||||||||||||||
MB y при |
1 (здесь |
y y1,y y2 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Из подобных треугольников F2B1H и |
F2AC имеем |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
2 |
|
f |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
f |
2 |
a |
2 |
1 |
a |
2 |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|||||||||
Из условия |
|
y2 |
1 |
a2 |
1 следует, |
что |
a 0 , а затем |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a1 0, поскольку a2 |
a1 |
|
|
при |
|
1. Изначально расстояния |
|||||||||||||||||||||
a2 , a1 , f2 |
и f1 |
|
отсчитывались |
от |
центра линзы |
С. |
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
при |
1 |
|
|
сопряженные |
|
точки |
B1 и |
B |
63
сливаются с точкой А, а сопряженные точки M1 и M - с точкой .
Итак, можем сделать вывод: главные плоскости тонкой линзы сливаются в одну и проходят через оптический центр линзы. При этом расстояния a2 , a1 , f2 и f1, отсчитываемые как от центра С тонкой линзы, так и от совпадающих главных точек (главных плоскостей) соответственно одинаковы.
Для толстой линзы определение центра утрачивает смысл и основными элементами такой линзы являются главные плоскости и главные точки. Если теперь расстояния a2 , a1 , f2
и f1 отсчитывать от главных точек H и H , то формулы (3) и
(5)-(8) применимы и в этом случае.
5. Узловые точки и узловые плоскости тонкой линзы
B1 |
|
|
H1 |
H2 |
|
|
|
|
Пусть |
|
имеется |
|
|
|
|
|
|
|
некоторая |
|
линза |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y1 |
|
u1 |
|
|
|
u2 |
|
A2 |
произвольной |
|
толщины, |
|
A |
x1 |
|
f |
|
x2 |
расстояние |
|
между |
||||
F |
f |
|
|
F |
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
y2 |
главными |
плоскостями |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
a1 |
|
|
|
|
a2 |
|
B2 |
которой |
|
равно . |
|
|
|
|
|
|
Допустим, что |
фокусные |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расстояния |
|
линзы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно |
|
главных |
точек |
H1 |
и |
H2 |
равны |
f2 |
и |
f1. Расстояния |
предмета и |
||||
изображения от соответствующих фокусов F1 и F2 |
обозначим |
через x1 и x2 (рис.6).
Построив изображение точек A2B2 предмета A1B1 , обнаружим следующие соотношения. Из подобия заштрихованных треугольников по обеим сторонам линзы имеем:
|
y2 |
|
f1 |
; |
(9) |
|
y1 |
x1 |
|||||
|
|
|
|
64
|
y2 |
|
x2 |
. |
(10) |
y1 |
|
||||
|
|
f2 |
|
||
Из равенств (9) и (10) получаем |
|
||||
|
x1x2 f1 f2 . |
(11) |
Соотношение (11) называют формулой линзы произвольной толщины. Угловое увеличение линзы при
заданном положении предмета |
|
|
|
tgu2 /tgu1 |
(x1 f1)/(x2 |
f2) a1 /a2 1/ , |
(12) |
где – линейное |
увеличение. |
Если в выражении |
(12) |
положить x1 f2 , а x2 f1 , то =1 и a1 a2 . Отрезки x1 |
и x2 , |
удовлетворяющие этим условиям, определяют положение узловых точек относительно фокусов линзы. Относительно
главных точек H1 и H2 |
узловые точки N1 и N2 |
расположены |
на расстоянии a1 a2 |
f1 f2 соответственно. |
Отсюда также |
следует, что расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными точками (плоскостями). Для тонкой линзы главные плоскости сливаются в одну, следовательно, узловые плоскости тонкой линзы также совмещаются.
На основании вышеизложенного приведём результаты
вычислений частной задачи. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
6. Результаты вычислений |
|
|||||
В |
условиях |
данной |
задачи |
показатели |
преломления |
|||||
n0 1,5, |
n1 1, n2 |
1,33; |
|
радиусы кривизны |
сферических |
|||||
поверхностей линзы |
R1 R 7,5см, |
R2 R 7,5см |
||||||||
Фокусные расстояния данной линзы вычисляем по |
||||||||||
формулам (5) и (6): |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f2 |
|
|
n2R |
|
1,33 |
7,5 |
14,9см; |
|||
2n |
n n |
|
2 1,5 1 1,33 |
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
65
|
n |
|
|
|
|
|
f |
|
1 |
|
f |
|
11,2см. |
|
|
|||||
|
|
2 |
||||
1 |
|
|
|
|||
|
n2 |
|
|
|
|
Узловые точки находятся от центра линзы на расстоянии
a1 a2 f1 f2 |
14,9 11,2 3,7см в среде с показателем |
преломления n2 |
1,33 |
4.59. Главные плоскости тонкой линзы совмещаются и проходят через её оптический центр. Поэтому фокусные расстояния f и f’ можно отсчитывать как от центра, так и от совмещенных главных плоскостей тонкой линзы.
Фокусные расстояния и положения главных плоскостей центрированной системы из двух тонких линз будем определять, исходя из следующих формул, полагая, что линзы находятся в воздухе:
Ф Ф1 Ф2 |
Ф1Ф, |
|
(1) |
||
|
xн |
Ф2 |
/Ф, |
|
(2) |
|
xн' |
Ф1 /Ф . |
|
(3) |
|
Здесь Ф1 1/ f1 , Ф2 |
1/ f2 - оптические |
силы первой |
и |
||
второй линз; Ф 1/ f |
- оптическая сила |
системы; |
– |
расстояние между линзами; xн и xн’ - координаты главных точек системы относительно первой и второй линз соответственно.
Следует |
отметить, что |
в рассматриваемых |
условиях |
|
f ' f , f '1 |
f1 , |
f '2 f2 , |
а также, что отрезки |
f1, f '1 , и |
f2, f '2 ,определяются относительно соответствующих линз. |
|
Перепишем формулы (1)-(3) через фокусные расстояния: |
|
f f ' f1 f2 /( f1 f2 ), |
(4) |
xн f / f2 , |
(5) |
xн' f / f1. |
(6) |
Спомощью формул (4)-(6) найдем положения фокусов F, F'
иглавных точек H, H’ систем a) и б).
66
а) Система из собирающей и рассеивающей линз: f1 1,5 , f2 1,5 , где – расстояние между линзами.
Подставляя f1и f2 в выражения (4)-(6), получаем: f f ' 2,25 ; xн 1,5 ;
xн' 1,5
Положения фокусов и главных плоскостей данной системы показаны на рис.1.
б) Система из двух собирающих линз: f1 1,5 , f2 0,5 .
В этом случае имеем: f f ' 0,75 ; xн 1,5 ; xн' 0,5 . Положения фокусов и главных плоскостей данной системы
показаны на рис.2.
Теперь рассмотрим пункт в) задания. В этом случае имеем
выпукло-вогнутую линзу, для |
которой |
=4 см, n=1,5; |
|||
Ф1=50 дптр; Ф2=-50 дптр. (рис.3). |
|
||||
Полагаем, что |
линза |
|
|
||
окружена |
воздухом, |
|
|
||
показатель |
преломления |
|
|
||
материала |
|
линзы, |
|
|
|
например, |
стекла, |
равным |
F’1 |
F2 |
|
n. |
|
|
'1 |
|
|
Можно |
показать, что |
2 |
|||
|
|||||
оптическая сила Ф толстой |
|
|
|||
линзы |
определяется |
|
|
||
выражением: |
|
Рис.3 |
|||
|
|
|
|||
|
|
67 |
|
|
Ф |
1 |
|
1 |
|
Ф Ф |
|
|
ФФ |
, |
(7) |
||
f ' |
f |
|
||||||||||
|
|
|
1 2 |
|
n |
1 2 |
|
|
||||
где Ф1 n/ f1', |
Ф1 1/ f2'- |
оптические |
силы |
первой и |
второй преломляющих поверхностей линзы. Координаты главных точек Н и Н’ линзы определяются выражениями
x |
|
|
|
Ф2 |
, |
(8) |
|||
n |
|
|
|||||||
н |
|
|
Ф |
|
|||||
x |
|
|
|
Ф1 |
. |
(9) |
|||
|
|
||||||||
н' |
|
|
|
n Ф |
|
||||
|
|
|
|
|
Координаты xн и xн’ отсчитываются от вершин O и O’ поверхностей линзы соответственно.
Подставляя заданные значения исходных величин в формулы (7)-(9), получим:
Ф 0,04 50 ( 50) 200/3 дптр, 1,5
т.е. f ' f 1,5см;
x |
|
0,04 |
|
( 50) 3 |
м 4см; |
|
|
|
|||||
н |
1,5 |
|
|
200 |
|
|
|
|
|
xн |
2см. |
Положения фокусов и главных плоскостей данной линзы показаны на рис.4.
P |
F |
O |
P |
OF f , OF f , f f |
4.60. Замечаем, что на рис.4.16а [1] сопряженные точки P и P и фокус F расположены на прямой линии. Из рис.4.16б [1] также видим, что сопряженные точки P, P и главная точка H находятся на одной прямой. Не делая измерений длин некоторых
68
отрезков и соответствующих вычислений, однозначное нахождение искомых точек (плоскостей) путем построения лучей возможно в том случае, если каждая из данных оптических систем является тонкой линзой. С учетом этих замечаний получены рис. 1 и 2.
Построения, касающиеся пункта в) задания, приведены на рис.3.
P |
S |
O |
F |
|
|
S |
P |
|
|
OF f , OF f , |
f f |
|
2 |
|
1 |
P |
|
1 |
|
F |
P 2 |
HF f , HF f , f f
4.61.При нахождении точки S , сопряженной с точкой S
вкаждой предложенной последовательности точек S, F, F , H, H будем исходить из условия: заднюю (выходную) главную
плоскость оптической системы рассматривать как тонкую линзу. Кроме этого, к предметной точке S будем присоединять отрезок SA, перпендикулярный к оси OO .
На рисунке показаны соответствующие построения, определяющие положение точки – изображения.
a) |
|
|
|
|
б) |
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
O |
|
|
O |
|
|
|
O |
|
H |
||
|
S |
F S H |
H |
F |
|
H S |
F |
S F |
|
в) |
А |
|
|
|
|
|
г) |
|
А |
|
|
F S O |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
O |
|
|
H |
S |
O O |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
S F F |
|
|
|
|
|
|
F |
|
H S |
|
H |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
4.62. Обратимся к формулам, определяющим оптическую силу Ф и положение x и x главных плоскостей центрированной оптической системы, а именно
Ф Ф Ф |
|
|
Ф Ф ; |
|
(1) |
||||||
|
|
||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
1 2 |
|
|
||
x |
Ф2 |
, |
x |
|
|
Ф1 |
. |
|
(2) |
||
|
|
||||||||||
nФ |
nФ |
|
|||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь Ф1 и Ф2 – оптические силы частей (линз) системы; |
|||||||||||
- расстояние между линзами; |
n – показатель преломления |
||||||||||
среды между линзами; n1=n2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном задании |
n=1 |
(воздух), Ф1 |
= +10 |
дптр, |
|||||||
Ф2=-10 дптр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполним пункты а) и б) задания. |
|
=0,04 |
м. По |
||||||||
а) Расстояние между тонкими линзами |
формулам (1) и (2) имеем: Ф=+4дптр. Главные фокусные расстояния: f=- f =- 25 см. Координаты главных плоскостей системы: передней Н относительно собирающей линзы x=-0,1
м=-10 см; задней |
|
H относительно |
рассеивающей |
линзы |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x =-0,1 м=-10 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
б) Здесь требуется найти расстояние |
|
|
между линзами, |
||||||||||||||||||||||||
при котором |
|
|
отношение |
f/s, |
где |
s |
|
|
(см.рис.), |
имеет |
|||||||||||||||||||
максимальное значение. Тонкие линзы |
те |
же |
|
и |
поэтому |
||||||||||||||||||||||||
Ф1 Ф2 0. Тогда |
Ф=1/f=- Ф1Ф2. |
Поскольку |
|
Ф2=-Ф1, то |
|||||||||||||||||||||||||
Ф=1/f= Ф12. |
Для |
|
отрезков, |
определяющих |
|
|
положение |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
главных плоскостей системы, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
H H |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Ф |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F O |
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
Ф1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
Ф1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
Положения |
|
|
|
|
|
главных |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фокусов |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
главных |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей системы показаны
70