3268
.pdfна рисунке. Из рисунка |
видно, |
что |
|
расстояние |
между |
||||||||||||||||||||||||||||
собирающей |
линзой и |
задним |
|
фокусом |
F |
системы |
равно |
||||||||||||||||||||||||||
s f |
|
(x |
|
|
), |
т.е. |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку |
|
|
f |
f |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
f x , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
r |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 2Ф2 Ф . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f /( f x ) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
f |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dr |
Возьмем |
производную |
от |
|
r |
по и |
приравняем |
нулю: |
||||||||||||||||||||||||
|
0: |
|
1 2 Ф 0. |
Из |
условия |
экстремума |
имеем |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1/(2Ф1) 5см. |
Можно |
убедиться, |
|
что |
при |
|
|
5см |
|||||||||||||||||||||||||
отношение |
r |
|
принимает максимальное значение |
r |
|
4 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
5 |
|
|
|
|
4.63.По заданным
радиусам |
|
кривизны |
|
|
|
|
|
|
H1 |
H2 H H |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
поверхностей |
|
выпукло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
||||||||||
вогнутой линзы |
R1=10 |
см, |
|
|
|
F |
O |
|
|
|
|
|
F |
||||||||||||||||
R2=5 см, толщины линзы d=3 |
|
|
|
|
O |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 C |
|
C |
|
||||||||||||||||
см, |
|
и |
показателя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
преломления |
|
вещества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(стекла) |
|
линзы |
n=1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
получаем выражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) оптических сил преломляющих поверхностей: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ф |
n 1 |
5дптр, R1>0; Ф |
1 n |
|
10дптр, R2>0; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
оптической силы линзы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Ф Ф Ф |
d |
ФФ 4дптр. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
координат главных плоскостей линзы Н и H : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
d |
|
Ф2 |
|
0,03 |
|
( 10) |
|
1 |
м 5см; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
1,5 |
|
|
|
|
|
( 4) |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71
x |
|
|
d |
|
Ф1 |
|
1 |
м 2,5см. |
|
|
|
|
|||||
|
n |
Ф2 |
40 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Координаты x и |
x |
|
отсчитываются от вершин О и |
|||||
|
O первой и второй поверхностей линзы соответственно. На рисунке показано взаимное положение главных фокусов F и F и главных плоскостей Н и H .
4.64. В первую очередь определим оптическую силу Ф и
координаты главных точек x и |
|
|
оптической системы через |
||||||||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||||||
известные фокусные расстояния f |
|
и f тонких линз системы |
|||||||||||||||||||||||
|
|
Ф Ф1 Ф2 dФ1Ф2 , |
|
||||||||||||||||||||||
где Ф1 1/ f1 , Ф2 1/ f2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда имеем равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
f |
f1 |
|
|
|
|
f1 f2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
||||||||||||
а затем фокусное расстояние системы |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
f1 f2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f1 f2 |
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Будем полагать, что f1 f2 |
d , т.е. f<0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для координат главных точек получаем: |
|
||||||||||||||||||||||||
x d |
Ф2 |
d |
1 |
|
|
|
|
f1 f2 |
|
|
|
|
df1 |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f1 f2 d |
|||||||||||||||||
|
Ф |
f2 f1 f2 d |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ф2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
df2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
f1 f2 |
d |
|
На рис.1 приведена схема оптической системы, на которой показано взаимное расположение ее кардинальных элементов, а также предмета АВ и его изображения A B . Линейное увеличение предмета определяется отношением
y / y (см.рис1).
72
|
|
|
|
|
|
H |
H1 |
H2 H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H,H |
|
|||||||
|
B |
|
|
|
|
F1 F2 |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
O y |
|
|
F |
|
|
|
F |
O |
y |
|
|
|
F |
|
F |
А |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
||||
|
|
|
|
a |
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Такое увеличение можно получить с помощью одной тонкой линзы с фокусным расстоянием, равным фокусному расстоянию f системы, располагая ее в передней главной плоскости H (см.рис.2). Формально это выглядит как перемещение второй главной плоскости H до совмещения с первой.
Итак, фокусное расстояние линзы, заменяющей данную систему и дающей то же увеличение, равно
f |
f1 f2 |
. |
|
f1 f2 d
При этом искомая линза должна быть расположена левее правой линзы системы на расстоянии
x |
df1 |
. |
|
f1 f2 d
4.65. Запишем формулу тонкой линзы, окруженной с обеих сторон средами с показателем преломления n1 (слева) и
n2 (справа) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n1 |
|
n2 |
|
|
n1 n |
|
n n2 |
, |
(1) |
|
|
|
a2 |
|
|
|||||||
|
a1 |
|
R1 |
R2 |
|
||||||
где n – показатель преломления вещества линзы. |
|
||||||||||
По условию n1 =1, |
R2 |
R1 . Примем обозначения n2 =n0 , |
|||||||||
R1 R . Тогда формула (1) получит вид |
|
|
|
73
|
|
|
|
1 |
|
n0 |
|
|
2n n0 1 |
. |
|
(2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
При |
a2 a1 f ; |
из |
|
(2) имеем переднее |
фокусное |
|||||||||||||||||||
расстояние линзы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2n n0 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
a1 a2 f , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При |
|
|
тогда |
расстояние для |
правого |
|||||||||||||||||||
фокуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n n0 1 |
|
|
||||||||||||||
Оптическая сила линзы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2n n0 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ф |
1 |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
n0R |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для n=1,5; n0=1,33; R=0,38 см |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f |
|
76см, Ф |
|
|
|
1 |
|
1,315 n0 дптр. |
|
||||||||||||||
|
0,76 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зеркало отображает линзу, в результате чего создается оптическая система из двух одинаковых тонких линз, расположенных на расстоянии 2 друг от друга. Оптическая сила такой системы
Ф Ф Ф 2 ФФ 2Ф (1 2 Ф ) 2 1,33 0,76 2 дптр. n0 n0
Отсюда фокусное расстояние системы
f 1 50см.
Ф
4.66. Приведем формулу для преломляющей сферической поверхности
n |
|
n0 |
|
n n0 |
, |
(1) |
|
|
|
||||
a2 a1 |
|
R |
|
74
где n0 – показатель преломления среды слева, n - показатель преломления среды справа. В рассматриваемых условиях n0=1, n=1,5.
Из формулы (1) для поверхностей данной линзы получаем:
1) второе главное фокусное расстояние первой
преломляющей поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f1 nR1 /(n 1); |
|
|
|
(2) |
|||||||
2) первое главное фокусное расстояние второй |
||||||||||||
поверхности линзы |
f2 nR2 /(n 1). |
|
|
|
(3) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
В формулах (2) и (3) R1,R2>0 (абсолютные значения |
||||||||||||
радиусов). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим пункты а) и б) задания. |
|
|
|
|
||||||||
а) Расстояние между вторым |
|
фокусом F1 первой |
||||||||||
поверхности и первым фокусом F2 |
второй поверхности линзы |
|||||||||||
равно f1 f2 , |
где |
- |
толщина линзы. |
Для |
||||||||
телескопической системы 0. Отсюда имеем |
|
|
||||||||||
f1 f |
|
nR1 |
nR2 |
|
|
|
n(R1 R2) |
. |
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 1 |
n 1 |
n 1 |
|
|||||||||
По условию R1 - R2=ΔR, тогда |
n R |
. Для ΔR=1,5 |
см |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
толщина =4,5 см.
б) Оптические силы преломляющих поверхностей равны:
Ф1 (n 1)/R1 , Ф2 (n 1)/R2 .
Для R1=10 см и R2=7,5 см оптические силы Ф1=5 дптр, Ф2=-20/3 дптр. Из формулы для оптической силы линзы
Ф Ф1 Ф2 nФ1Ф2
находим толщину линзы
n(Ф1 Ф2 Ф) 3см. Ф1Ф1
75
4.67. Полагаем, что линза окружена воздухом. По пунктам а) и б) задания имеем:
а) R1=R2=R. Оптические силы поверхностей линзы
равны Ф1 (n 1)/R1 и Ф2 (n 1)/R2 .
Оптическая сила линзы
Ф Ф Ф |
|
|
ФФ |
|
ФФ |
|
|
(n 1)2 |
0, |
|||||||||||||||
n |
n |
|
nR2 |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
||||||||
где - толщина линзы |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для координат |
|
|
|
и |
|
|
|
главных |
|
плоскостей линзы |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ф |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
nR2 |
R/(n 1), |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
R |
|
(n 1)2 |
|||||||||||||||||
|
n Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Ф1 |
|
R/(n 1) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n Ф |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Главные плоскости линзы лежат со стороны выпуклой |
||||||||||||||||||||||||
поверхности на расстоянии друг от друга, |
при этом передняя |
главная плоскость удалена от вершины выпуклой поверхности на расстояние R/(n-1).
б) Здесь |
|
R1 R2, |
|
|
R1<R2, |
центры |
сферических |
|||||||||||||||||||
поверхностей совпадают. |
|
|
|
|
R2 R1 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
В этом случае имеем: |
|
|
оптические |
силы |
||||||||||||||||||||||
первой и второй поверхностей соответственно равны |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Ф1 (n 1)/R2 |
и Ф2 (n 1)/R1 . |
|
||||||||||||||||||||||
Оптическая сила линзы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
R R (n 1)2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
n |
|
R R |
|
|||||
Ф Ф1 Ф2 nФ1Ф2 (n 1) R |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
, Ф 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты главных плоскостей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
R2 R1 |
|
|
(1 n) |
|
|
|
|
nR1R2 |
|
|
|
|
R2 ; |
|
x R1. |
|
|||||||||
|
n |
|
R |
|
|
(n 1)(R R ) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
76
Главные плоскости линзы проходят через общий центр кривизны поверхностей линзы.
4.68. Опишем оптические свойства стеклянного шара некоторого радиуса R.
Обратимся к формуле преломляющей поверхности, разделяющей среды с показателями преломления n1 (слева) и n (справа)
|
|
n |
|
|
n1 |
|
|
n n1 |
. |
(1) |
||||
|
|
|
a1 |
|
|
|||||||||
|
a2 |
|
|
|
R |
|
|
|
||||||
При n1 =1 формула (1) примет вид |
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
1 |
|
n 1 |
. |
(2) |
||||||
|
|
|
a1 |
R |
||||||||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь радиус кривизны R является алгебраической |
||||||||||||||
величиной. |
|
|
|
|
f1 фокусные расстояния для |
|||||||||
Обозначим через f1 |
|
и |
||||||||||||
переднего и заднего фокусов F1 |
|
и F1 левой стороны |
||||||||||||
поверхности шара и отсчитываемых от нее вершин. |
||||||||||||||
Для правой стороны поверхности соответственно через |
||||||||||||||
f2 и f2 фокусов F2 и F2 |
при отсчете расстояний от вершины |
|||||||||||||
O2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полагая a2 в формуле (2), |
получим f1 R/(n 1); |
|||||||||||||
положив a1 , получим |
f1 nR/(n 1) . |
Аналогично для |
||||||||||||
правой стороны сферической поверхности |
f2 nR/(n 1)и |
f2 R/(n 1). Положения фокусов относительно вершин О и O’ показаны на рис.1.
Фокусное расстояние шара, как толстой линзы, равно f f1 f2 / ,
где - расстояние между задним фокусом F1 поверхности 1 и
передним фокусом F2 поверхности 2. При этом
F2F1 |
|
f2 |
|
( f1 2R) f1 f2 |
2R |
nR |
|
nR |
2R |
2R |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
77
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n1 1 |
n |
n2 1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
R |
|
C |
||
|
|
|
|
|
|||||
O |
C |
O |
F1 |
F2 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
F1 F2 |
R |
|
C1 |
|
|
|
R2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
f |
nR |
. |
(3) |
|
|||
|
2(n 1) |
|
Теперь рассмотрим два стеклянных шара, образующих оптическую систему. Пусть радиусы шаров R1 и R2, а индексы 1 и 2 в обозначениях фокусов и их расстояний будут соотнесены применительно к шарам. (см.рис.2). Согласно формуле (3), фокусные расстояния шаров равны
|
|
|
|
|
f |
|
|
nR1 |
и f |
|
|
|
nR2 |
. |
|
||||||||
1 |
|
|
2(n 1) |
|
|
2 |
|
|
2(n 1) |
|
|||||||||||||
В телескопической системе фокусы |
F1 и |
|
F2 |
совмещены. |
|||||||||||||||||||
Расстояние между главными плоскостями H1 |
и H2 (или H1 и |
||||||||||||||||||||||
H2 ) равно расстоянию |
|
|
между центрами С1 |
и С2 шаров. |
|||||||||||||||||||
Тогда f1 |
|
f2 |
|
f1 f2 |
f1 f2 , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
nR1 |
|
|
|
nR2 |
|
|
n(R1 R2) |
. |
|
|
(4) |
|||||||||||
|
2(n 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2(n 1) |
|
|
|
|
2(n 1) |
|
|
|
|||||||||||
Из построения изображения |
|
|
|
|
предмета АВ, даваемого |
||||||||||||||||||
A B |
|
центрированной системой, можно увидеть подобные треугольники, из которых получим линейное увеличение рассматриваемой системы:
f/ / f2 , или R/ /R2 . |
(5) |
78
Для заданных значений R1 = 5 см, R2=5 см и n=1,5 получаем:
= 9 см, β = 5.
4.69.Допустим, что поверхности уровня оптического показателя n среды представляют семейство параллельных плоскостей и grad(n) направлен вдоль оси Oz. На рисунке приведен примерный ход луча в неоднородной среде и указаны некоторые геометрические элементы, необходимые для последующих вычислений. На рисунке и в вычислениях grad(n) представляется через оператор “набла ”, т.е.
|
|
|
|
|
|
grad(n) = n. |
|
|
|
|
|
|
Элементарному пути ds светового луча будет |
||||||||||
соответствовать |
|
|
|
угол |
|
|
|
|
|
||
поворота |
d |
|
радиуса |
Z |
d |
|
|
|
|||
кривизны |
и касательной к |
C |
|
|
B |
||||||
|
|
|
|
||||||||
лучу |
(см. |
рисунок). |
Через |
|
|
|
n |
||||
|
|
|
d |
||||||||
величины ds и |
d |
модуль |
( n)N |
|
|
||||||
M |
|
||||||||||
градиента |
показателя |
n |
n dn |
|
|
|
|||||
|
|
MdS |
|
||||||||
можно представить в виде |
n |
|
N |
|
|||||||
|
|
|
dn |
cos . |
|
A |
|
|
N |
|
|
|
n |
ds |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
Производная показателя n по направлению к центру
кривизны C (по орту N ) будет равна |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
cos |
|
|
tg |
|
. |
(1) |
||||||
|
N |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ds |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
подставим в (1) выражение ds d . Тогда |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
tg |
|
dn |
. |
|
|
(2) |
|||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
Теперь обратимся к заданному закону преломления лучей в рассматриваемой среде nsin const. Отсюда получаем:
sin dn ncos d 0, т.е. dn nctg . (3) d
Подставляя (3) в (2), получим
79
1 |
|
1 |
|
n |
|
lnn |
. |
(4) |
|
n |
|
N |
|
||||
|
|
|
N |
|
Переходя к положительному орту N в точке M лучевой кривой, равенство (4) представим в виде
1 |
|
lnn |
. |
(5) |
|
|
|||
|
N |
|
Это и требовалось доказать.
4.70.Воспользуемся формулой (5) предыдущей задачи
4.69: |
1 |
|
1 |
|
n |
. Для |
|
n |
3 10 81 м и n 1 радиус кривизны |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n N |
|
N |
|
|
|
|||||||||
светового |
луча 1 |
|
|
n |
|
1 |
108 м 3 107 м. Если положить |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
3 |
||||
R , где R – радиус Земли, то |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
R 1 |
6,4 106 1,6 10 71 м. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
80