- •1.1. Предмет механики жидкости и её задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.1. Начальные понятия, свойства жидкости
- •2.2. Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объёмные (массовые) силы
- •2.3.2. Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.2. grad Р (градиент давления)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
… |
… |
… |
= … |
. |
(3.37) |
|||
|
|
|
|
3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. Положение точки или частицы жидкости в |
||||||||||||||
вектором . |
|
|
|
|
координат |
|
характеризуется радиус- |
|||||||
декартовой системе |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= + + . |
|
|
|
|
|
|
||||
С помощью этого вектора распределени |
е скоростей |
|||||||||||||
в пространстве дается соотношением |
|
|
|
|
, что |
|||||||||
|
|
|
|
|
= 1 |
( , , ) |
|
|
= ( ) |
|||||
эквивалентно трем скалярным уравнениям: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 2 |
( , , ) |
|
|
|
|
|
|
||
Приращение |
|
|
= 3( , , ). |
|
|
|
|
|
(расстояние |
|||||
|
|
|
вектора |
– величина |
|
|
|
|||||||
|
|
|
= + |
+ , |
|
|
|
|
|
|||||
между двумя близкими точками) |
определяется равенством: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а скорость движения некоторой частицы |
представляется |
|||||||||||||
очевидным соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Умножим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где D – символ |
субстационарной производной. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарный |
|
вектор |
|
|
|
на градиент |
||||||
|
|
|
|
|
φ |
|
φ |
|
|
|
φ |
|||
∙ φ = dx dx + dy dy |
+ dz dz . |
|||||||||||||
некоторой скалярной функции φ: |
|
|
|
|
|
|
|
Замечаем, что правая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал скалярной
функции φ. |
dφ = φ = φ. |
(3.38) |
Таким образом имеем важную формулу: |
|
57
тора и φ: |
|
φ |
|
|
|
φ |
|
|
|
|
φ |
|
|
||||||
|
2. Составим скалярное произведение единичного век- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
|
+ cos ˆ |
d |
|
|
|||
(здесь φ = cos ˆ dx |
+ cos ˆ dy |
dz, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
= cos ˆ + ˆ + |
|||||||||
|
единичный вектор |
в проекциях на оси координат |
|||||||||||||||||
cos ˆ |
|
|
|
dφ |
dx |
|
dz |
|
|
|
|
|
|||||||
представляется |
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найдем производную от φ по направлению |
|
: |
|
|
||||||||||||||
|
т.к. |
dx |
dn |
= dn + + dn, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
= cos ˆ , |
|
|
|
|
|||||
|
то |
|
dn = cos ˆ ; = ˆ ; dn |
|
|
|
|
||||||||||||
|
dφ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
. |
|
|
||||
|
dn |
= = | | ∙ ( ) |
|
|
|||||||||||||||
|
Замечание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Из формулы (3.38) видно, что производная |
|
|||||||||||||||||
большее значение равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
достигает своего наибольшего значения для направленияdn, |
|||||||||||||||||||
ент |
скалярной функции можем |
|
|
|
|
|
наи- |
||||||||||||
совпадающего с направлением |
|
|
|
, |
при этом её |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
величине |
|
|
|
. Поэтому гради- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определять как вектор, |
имеющий направление быстрейшего роста скалярной величины φ и равный производной от неё по этому направле-
нию. |
|
|
например, результирующая сила |
в сторону |
|
||
Именно поэтому, |
|||
давления равна – |
|
, т.к. она должна быть направлена |
|
|
быстрейшего падения давления, а результирую- |
щий тепловой поток – в сторону наибольшего уменьшения
58
температуры, т.е. в сторону – , как это следует из закона Фурье.
Замечание к разделу: координатное представление вектора набла позволяет во многих случаях упрощать формулы, записанные в символическом виде, и, таким образом, является существенным дополнением к нему.
Пример: |
|
|
|
|
|
|
Найдем выражение для |
, где |
– посто- |
||||
янный вектор: |
|
|
|
|
||
|
|
× × |
|
|
|
|
|
|
× = − ( ). |
|
|
|
Далее, из соотношений сделанных при выводе фор-
мулы (3.29),×получаем× = × + − ( ).
|
В этом выражении последующие преобразования |
||||||||||||||
невозможны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Но, если обратиться к координатному представле- |
||||||||||||||
нию рассмотренных нами |
операций, сразу замечаем, что |
||||||||||||||
|
Т.о. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
+ |
= 3. |
|
|
||||||||||
величина |
= |
оказывается равной |
|
|
|
||||||||||
|
= 0 |
|
|
|
|
( ) = 3 . |
|
|
|
|
|||||
rot |
т.к. |
производные |
от одних |
независимых пере- |
|||||||||||
, |
|||||||||||||||
менных по другим тождественно равны нулю (3.35). |
|||||||||||||||
|
Кроме того: |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= . |
||||
|
= |
|
+ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 3 = −2 . |
: |
|||||||||||
|
Т.о. получим |
простое соотношение |
Казалось бы, что этот пример наталкивает на мысль, что символический метод совершенно не нужен, т.к. непо-
59
средственным вычислением в координатном представлении можно получить все необходимые преобразования.
Это действительно так, однако если попытаться вы- |
||
= × ( ) = × = 0; |
||
вести такие простые зависимости, как: |
|
|
= ( × ) = 0; |
|
|
= × ( × ) = ( ) − ( ) = |
||
опираясь лишь на |
= − , |
оператора Га- |
|
координатное выражение2 |
мильтона, можно сразу оценить существенную экономию труда и бумаги, а также элегантность операций, которые сопутствуют символическому методу исчисления.
3.5.Преобразование объёмных интегралов
вповерхностые
Приведем без доказательства формулы Гаусса и Остроградского, известные из курса математического анализа, в символах векторного анализа.
Формула Гаусса: |
|
|
Остроградского: |
|
(3.39) |
|
|
|
Формула ∫ = ∙ . |
|
|
∫ = |
∙ . |
(3.40) |
3.6. Дифференциальные тензоры |
|
Составим диадное произведение вектора набла и какого-нибудь переменного вектора, например .
Помня, что умножить на составляющую символиче- |
|||
|
|
|
|
ского вектора |
|
это значит продифференцировать по со- |
|
ответствующей координате, находим: |
|
||
|
− |
|
|
60
|
|
∙ = ∙ |
+ ∙ |
+ ∙ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.41) |
Этот тензор по аналогии с градиентом |
скалярной |
|||||
Его |
|
|
∙ = . |
|
||
величины (3.34) назовем градиентом вектора: |
(3.42) |
|||||
матрицы: |
составляющие легко выявляются, если рассмот- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
реть диадные произведения ортов на скалярные производ- |
||||||
ные от вектора |
|
в равенстве (3.41), и записываются в виде |
Примечание: свойство сопряженного тензора: Величина произведения вектора на тензор, не изме-
нится, если при перестановке сомножителей тензор заме- |
|||||||||
нить на сопряженный. |
|
|
|
|
|
|
|||
∙ = |
|
|
|
|
= |
(3.43) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектора слева: |
|
|
|
|
|
на |
дифференциал радиус |
||
Умножим тензор |
|
|
|
||||||
∙ = |
+ |
+ = . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.44) |
Полученное соотношение |
совершенно |
аналогично |
(3.38) полному дифференциалу скалярной функции. Т.е. |
||
имеем: |
= ; |
(3.44а) |
|
= |
элементы строк на |
|
Если в тензоре (3.43) заменить |
элементы столбцов, то получим сопряженный тензор:
61