3416
.pdf276. Для каждой из следующих групп определите, является ли она циклической группой:
1) ( |
4 |
, ) ; |
2) ( |
* |
, ) ; |
3) ( |
* |
, ) ; |
4) ( |
* |
, ) . |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
277. Выпишите группы обратимых элементов колец |
16 |
и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 . Являются ли эти группы циклическими? Изоморфны ли эти группы?
278.Какие из следующих утверждений истинны: а) каждая циклическая группа абелева; б) каждая абелева группа циклическая;
в) каждый элемент циклической группы, отличный от единич-
ного элемента, является ее порождающим; г) каждая группа порядка n 4 циклическая; д) каждая группа порядка n 4 циклическая.
279.Докажите, что группы ( 4 , ) и ( *8 , ) не изоморфны.
280.Постройте левые и правые смежные классы группы S3
по подгруппе H e;(2,3) . Будет ли H нормальным делителем?
281. Докажите, что в группе S3 |
подгруппа A3 |
четных под- |
||
становок является |
нормальным |
делителем, |
а |
подгруппы |
H1 {e; (1,3)} , H2 |
{e; (1, 2)} нормальными |
делителями не |
являются. Постройте факторгруппу G / H , где G S3 , H A3 .
282.Разложите группу S4 в левые и правые смежные классы по подгруппе A4 всех четных подстановок и по подгруппе Клейна K4 (см. задачу 256). Покажите, что A4 и K4 являются нормальными делителями группы S4 .
283.Докажите, что факторгруппа S4 K4 изоморфна груп-
пе S3 .
284. Докажите, что подгруппа H является нормальным делителем группы G , если:
1) G - аддитивная группа целых чисел, H - подгруппа чисел, кратных фиксированному числу m ;
51
2) G GLn ( |
) , H {A G, |
|
A |
|
1}; |
|
|
3)H - подгруппа индекса 2 в группе G .
285.Найдите число классов сопряженных элементов в
группах: а) S4 ; б) S5 ; в) |
S6 . Укажите мощности этих классов. |
286. В группе S4 найдите класс сопряженности: |
|
а) подстановки (1, 2)(3, 4) ; |
б) подстановки (1, 2, 4) . |
287.Разложите группы S3 , S4 в классы сопряженных эле-
ментов.
288.Найдите все решения уравнения Коши x 1ax b , где
подстановки a,b S5 : 1) |
a (1, 3, 4)(2)(5) , b (1, 5, 3)(2)(4) ; |
2) a (1, 2)(3, 4) , b (1,5)(2, 4) ; |
3) a (1, 4)(2,3,5) , b (1,3, 4)(2,5) ; |
4)a (1,3)(4,5) , b (1,5)(2,3, 4) .
289.Покажите, что данные подстановки a и b являются сопряженными элементами группы S6 , найдите все решения
уравнения Коши x 1ax b , где
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||||
a |
2 |
5 |
3 |
6 |
1 |
4 |
|
, |
b |
5 |
3 |
4 |
2 |
1 |
6 |
. |
|
|
|
|
|
290. Докажите, что существует гомоморфизм группы S3 на группу G {1, 1}, . Найдите ядро гомоморфизма и фак-
торгруппу по ядру.
291. Пусть G1 ( , ) - аддитивная группа действительных чисел, G2 - мультипликативная группа, комплексных чисел, модуль которых равен единице. Докажите, что отображение: G1 G2 , определяемое формулой (x) cos 2 x i sin 2 x , есть гомоморфизм групп и найдите ядро этого гомоморфизма.
292.Докажите, что:
1)для любых элементов a , b мультипликативной группы G
одинаковый порядок имеют элементы a и a 1 , ab и ba ;
2)сопряженные элементы группы a и b 1ab имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.
52
293.Докажите, что группа G порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней есть элемент порядка n .
294.Докажите: 1) если ord a m и ak e , то k m ; 2) если ord a m , ord b n , НОД(m, n) 1 и ab ba , то ord (ab) mn .
295.Докажите, что если : G1 G2 - изоморфизм групп, то для любого элемента a G1 верно ord a ord (a) .
296.Докажите, что любые два смежных класса (правых или левых) по подгруппе H либо не пересекаются, либо совпадают.
297.(Теорема Лагранжа) Докажите, что порядок и индекс подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой группы.
298.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.
КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ
299. Выясните, будет ли множество |
K1 |
a |
0 |
|
, a |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
подкольцом, |
идеалом кольца |
K M 2 ( |
) . В случае положи- |
|||||||||||
тельного ответа укажите единицу этого подкольца. |
|
|
||||||||||||
|
300. |
Пусть |
K |
6 , |
K1 {0, 2, 4} , |
K2 {0,3}. |
Докажите, |
|||||||
что K1 и K2 – подкольца K . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
301. |
Пусть |
K |
|
a |
b |
; a, b |
, |
K |
2 |
a 0 |
|
; a, b , |
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 b |
|
|
|
|
a |
b |
a, b, c |
|
|
|
|
|
, K2 , K3 подкольцами |
|||||
K3 |
; |
. Являются ли K1 |
||||||||||||
|
0 |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кольца K M 2 ( |
) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
302. |
Выясните, |
является |
ли |
множество |
матриц |
||||||||
a |
a |
; a |
|
подгруппой аддитивной группы, подкольцом, |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
идеалом кольца матриц |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
; a, b |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
53
303. Покажите, что множества всех верхнетреугольных (нижнетреугольных) матриц, всех диагональных матриц, всех скалярных матриц (т.е. матриц вида E ) являются подкольцами кольца матриц Mn ( ) . Какие из них являются идеалами?
304. Выясните, являются ли идеалами кольца многочленов P[x] следующие множества: 1) множество всех многочленов
с фиксированным корнем c P ; 2) множество всех многочленов, кратных данному многочлену; 3) множество всех много-
членов P[x](n) степеней, не превосходящих n . |
|
|
|
|
||
305. Докажите, что если A - идеал кольца K и K1 |
- под- |
|||||
кольцо кольца K , то A K1 есть идеал кольца K1 . |
|
|
|
|||
306. Докажите, что для колец K |
a |
b |
; a, b |
|
, |
K2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
отображение : K1 |
K2 |
a |
b |
a b , |
, заданное формулой |
|
|||
|
|
b |
a |
|
является гомоморфизмом. Найдите ядро этого гомоморфизма. |
|||||||||
|
307. |
Докажите, |
что |
для колец |
K1 a bi |
|
|
a, b , |
|
|
3; |
||||||||
|
a |
3b |
|
|
отображение |
: K1 K2 , |
заданное |
||
K2 |
|
|
; a, b |
|
|||||
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|
|
формулой a bi |
|
|
a |
3 |
|
||
|
|
|
b |
3b , является гомоморфизмом. a
308. Какие из следующих отображений являются гомоморфизмами указанных колец? Для гомоморфизмов найдите ядро:
1) : |
a |
a |
; a, b |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
2) : |
a |
0 |
|
; a, b |
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
3) : |
a |
0 |
|
; a, b |
|
|
|
|
0 |
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4) : |
M2 ( ) , |
a |
|
(a) |
0 |
||
|
|
|
, |
|
a |
a |
a b ; |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
b |
b |
|
|
|
, |
|
a |
0 |
b ; |
|||
|
0 |
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
, |
|
a |
0 |
|
a b ; |
||
|
0 |
b |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
54
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
309. Выясните, является ли вещественным линейным пространством относительно сложения матриц и умножения матрицы на число:
a |
b |
, |
a, b ; |
1) множество матриц вида |
|
||
b |
a |
|
|
a |
b |
, a, b . |
2) множество невырожденных матриц вида |
|
|
b |
a |
|
310.Выясните, является ли вещественным линейным пространством:
1)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx ;
2)множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы которых лежат на прямой y kx b , b 0 .
311.Является ли линейным пространством множество векторов плоскости, выходящих из начала координат, концы
которых лежат: |
1) в первой четверти; 2) в первой или третьей |
четверти? |
|
312. Пусть |
L – это множество всех упорядоченных пар |
положительных действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов
определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , |
а умножение на |
||
действительное число равенством |
x (x , x |
) ? |
|
|
1 |
2 |
313. Пусть L – это множество всех упорядоченных пар действительных чисел x (x1, x2 ) . Является ли L линейным пространством, если сложение двух элементов определяется равенством x y (x1 y1, x2 y2 ) , а умножение на действительное число равенством x ( x1, x2 ) ?
314. Может ли вещественное линейное пространство состоять: 1) из одного вектора; 2) из двух различных векторов?
55
315.Из вещественного линейного пространства исключен вектор x . Может ли полученное после этого множество остаться линейным пространством?
316.Выясните, является ли вещественным линейным про-
странством множество векторов |
(x , x ,..., x ) из n , удовле- |
||
|
|
1 2 |
n |
творяющих условию: |
|
|
|
1) x1 x2 ... xn 0 ; |
2) x1 x2 ... xn 1. |
||
317. Покажите, что данная система векторов e1 , e2 ,..., en |
|||
образует базис в пространстве |
n , и найдите координаты век- |
||
тора x в этом базисе: |
|
|
|
1)e1 (1, 0,1) , e2 (0,1, 0) , e3 (2,3, 4) , x (1, 3, 3) ;
2)e1 (1, 2, 1, 2) , e2 (2,3, 0, 1) , e3 (1, 2,1, 4) , e4 (1,3, 1, 0) ,
x(7,14, 1, 2) ;
3)e1 (1, 2,3) , e2 ( 1, 4, 0) , e3 (1,0,0) , x (5, 2, 6) ;
4)e1 (2,1, 3) , e2 (3, 2, 5) , e3 (1, 1,1) , x (6, 2, 7) .
318.Найдите координаты многочлена (1 x2 )(1 5x) в каноническом базисе пространства многочленов степени 4 .
319. Докажите, что система многочленов x2 1, x2 2x , x2 x образует базис в пространстве многочленов степени 2 . Найдите координаты многочлена 2x2 x 1 в этом базисе.
320. Укажите какой-либо базис пространства Mm n всех матриц размера m n . Докажите, что dim Mm n mn .
321. В пространстве M 2 ( |
) |
даны четыре матрицы: |
||||||||
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
. |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
|
1 |
4 |
|
1 |
0 |
Образуют ли эти матрицы базис в данном пространстве?
322. |
При каких значениях система векторов |
( ,1, 0) , |
(1, ,1) , |
(0,1, ) образует базис пространства: 1) 3 ; |
2) 3 ? |
56
|
323. Пусть |
B : e1,e2 ,e3 |
|
|
|
|
|
- два базиса простран- |
||||
|
и B : e1 ,e2 ,e3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
||
ства L , dim L 3 и |
TB B |
|
0 |
2 1 |
|
- матрица перехода от |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
базиса B к базису B . Найдите: |
|
|
|
|||||||||
1) координаты вектора x 2e1 3e2 |
e3 |
в базисе B ; |
||||||||||
2) координаты вектора y |
|
|
|
|
|
|
||||||
3e1 |
e2 e3 в базисе B . |
|||||||||||
|
324. Найдите матрицы перехода от базиса B : e1, e2 ,..., en к |
|||||||||||
базису B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: e1 |
, e2 |
,..., en и обратно, а так же координаты вектора |
|||||||||
x в каждом из этих базисов, если: |
|
|
|
|||||||||
1) |
e1 (1, 1, 0) , |
e2 (1, 2,3) , e3 |
(0,1, 1) , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5) , |
|
|
|
|
|
|
e1 (3, |
1, 4) , e2 (1, 2, |
e3 (3, 2, 1) , x (2, 3, 1) ; |
|||||||||
2) |
e1 (1, 2, 1, 0) , e2 (1, 1,1,1) , e3 |
( 1, 2,1,1) , e4 ( 1, 1,0,1) , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 (2,1, 0,1) , e2 (0,1, 2, 2) , |
e3 ( 2,1,1, 2) , e4 (1, 3,1, 2) , |
x( 1, 2,1,1) .
325.Докажите, что каждая из двух данных систем векто-
ров B : e1,e2 ,...,en и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B |
: e1 |
, e2 ,...,en является базисом. Найдите |
|||||||||||||
матрицу перехода от базиса B к базису B , |
а так же координа- |
|||||||||||||||
ты векторов x и y в каждом из этих базисов: |
|
|
|
|
||||||||||||
1) e1 1, e2 t , e3 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
(t 1) |
2 |
; |
|
|
||||
|
; e1 2 , |
e2 t 1, e3 |
|
|
|
|||||||||||
x 6t2 4t 5 , y 3t3 5t 2 4t 2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) e1 1 i , |
e2 1 i ; |
|
2 |
, |
|
|
x 2 2i , y 2 2i . |
|||||||||
e1 |
e2 2i ; |
|||||||||||||||
326. |
В |
пространстве |
3 |
даны |
два базиса: |
f1 (1, 2,3) , |
||||||||||
|
||||||||||||||||
f2 (2,1, 2) , |
f3 (0,1,1) |
и g1 (0,1,1) , |
g2 (1,0,1) , |
g3 |
(1,1,0) . |
|||||||||||
Найдите: |
1) |
матрицу |
перехода от |
базиса |
f1,f2 ,f3 |
к базису |
||||||||||
g1, g2 , g3 ; |
2) матрицу обратного перехода; |
3) координаты век- |
||||||||||||||
торов f1 |
и |
g3 |
в каждом из базисов; 4) координаты вектора |
|||||||||||||
x 2f1 3f2 f3 |
в базисе g1, g2 , g3 . |
|
|
|
|
|
|
|
57
327.Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если: 1) поменять местами два вектора первого базиса;
2)поменять местами два вектора второго базиса;
3)записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
328.Докажите, что в пространстве Pn векторов-строк длины n над полем P следующие множества являются подпространствами:
1)множество векторов вида (x1, x2 ,..., xn 1,0) , где x1,..., xn 1 P ;
2)множество векторов вида ( , ,..., ) , где P ;
3)множество всех решений произвольной системы однородных линейных уравнений с n неизвестными над P .
329.Является ли подпространством множество всех векторов произвольного линейного пространства L , dim L n , координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют
условию: 1) x1 xn ; |
2) x1 x2 1? |
330.Пусть L – множество векторов плоскости, выходящих из начала координат. Является ли подпространством множество всех векторов, концы которых лежат в первом и втором координатных углах?
331.Является ли подпространством множество всех матриц порядка n , удовлетворяющих условию:
1) A AT (симметричные матрицы); 2) det A 0 ?
332. Найдите базис и размерность подпространства линейного пространства n , порожденного данными векторами:
1)a1 (2,1,1, 0) , a2 (3, 2, 1, 2) , a3 (1,1, 2, 2) , a4 ( 1, 0, 3, 2) ;
2)a1 (1, 0, 0, 1) , a2 (2,1,1, 0) , a3 (1,1,1,1) , a4 (1, 2,3, 4) ,
a5 (0,1, 2,3) ;
3)a1 (1,1,1,1, 0) , a2 (1,1, 1, 1, 1) , a3 (2, 2,0,0, 1) , a4 (1,1, 5, 5, 2) , a5 (1, 1, 1,0,0) ;
4)a1 (2, 0,1,3, 1) , a2 (0, 2,1, 5, 3) , a3 (1,1,0, 1,1) , a4 (1, 3, 2,9, 5) .
58
|
|
333. Найдите базис и размерность подпространства линей- |
|||||||||
ного пространства многочленов степени |
6 , порожденного |
||||||||||
данными |
векторами |
|
|
|
f (x) 2x 4x3 x6 , |
f |
2 |
(x) x 2x3 x6 , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f |
3 |
(x) x 3x3 x6 , |
f |
4 |
(x) x3 x6 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
334. Найдите размерность и базисы подпространств A , B , |
|||||||||
A B , A |
B , если |
A и B - подпространства, порожденные |
|||||||||
соответственно системами векторов a1 , a2 , a3 |
и b1 , b2 , b3 , где |
||||||||||
1) a1 (1, 2, 1, 2) , |
a2 |
|
(3,1,1,1) , a3 ( 1,0,1, 1) ; |
||||||||
|
|
b1 (2,5, 6, 5) , |
b2 |
|
( 1, 2, 7, 3) , b3 (4,1,8,1) ; |
2)a1 (1, 2,1, 2) , a2 (2,3,1, 0) , a3 (1, 2, 2, 3) ; b1 (1,1,1,1) , b2 (1, 0,1, 1) , b3 (1,3,0, 4) ;
3)a1 ( 1,6, 4,7, 2) , a2 ( 2,3,0,5, 2) , a3 ( 3,6,5,6, 5) ; b1 (1,1, 2,1, 1) , b2 (0, 2,0, 1, 5) , b3 (2,0, 2,1, 3) .
335.Найдите размерность и базисы подпространств A , B , A B , A B , если A и B - подпространства, порожденные
соответственно системами векторов a1 , a2 , a3 и b1 , b2 , где
a1 (1,1, 1) , a2 (1,0, 1) , a3 (2,1, 2) , b1 (1,1,0) , b2 ( 1, 1,1) .
Какому из этих подпространств принадлежит вектор x (2, 0, 1) ?
336. Пусть в пространстве |
4 подпространство A порож- |
дено векторами a1 (1,1,1,1) , |
a2 ( 1, 2, 0,1) , а подпростран- |
ство B - векторами b1 ( 1, 1,1, 1) , b2 (2, 2, 0,1) . Докажи-
те, что пространство |
4 является прямой суммой данных про- |
странств A и B . |
|
337. Пусть L1 и L2 |
- подпространства конечномерного ли- |
нейного пространства V . Докажите, что: 1) если L1 L2 , то dim L1 dim L2 , причем равенство имеет место только при L1 L2 ;
2) если dim(L1 L2 ) 1 dim(L1 L2 ) , то сумма |
L1 L2 |
равна од- |
|
ному из этих подпространств, а пересечение L1 L2 |
– другому; |
||
3) если dim L1 dim L2 dimV , то L1 |
L2 0 . |
|
|
59
338. Выпишите все двумерные векторы, координатами которых являются элементы поля 2 . Докажите, что это множе-
ство является линейным пространством над полем |
2 . Укажи- |
|
те все базисы этого пространства. |
|
|
339. Пусть P - числовое поле. |
Каким условиям должны |
|
удовлетворять скаляры a, b, c P , |
чтобы система |
векторов |
(1, a, a2 ) , (1, b, b2 ) , (1, c, c2 ) была базисом пространства P3 ? 340. Пусть L - линейное пространство над числовым
полем P . Покажите, что если векторы x, y, z пространства L
линейно независимы, то векторы x y , x z , |
y z также ли- |
|
нейно независимы. Верно ли это, если поле скаляров P состо- |
||
ит из двух элементов? |
|
|
341. Дана система векторов из P5 , где P |
2 |
: |
|
|
a1 (1,1, 0, 0,1) , a2 (0,1, 0,1,1) , a3 (1,0,1,1,0) , a4 (0,1,1,1,1) .
1) Выясните, является ли данная система векторов линейно зависимой. 2) Найдите базис и размерность подпространства L , натянутого на векторы a1 , a2 , a3 , a4 . 3) Выразите все век-
торы системы через найденный базис. 4) Дополните найден-
ный базис подпространства L |
до базиса пространства P5 . |
|||
5) Найдите координаты вектора x (1, 0,1, 0,1) |
в полученном |
|||
базисе пространства P5 . |
|
|
|
|
342. Векторы пространства |
P4 , где P |
5 |
, заданы коор- |
|
|
|
|
|
|
динатами в стандартном базисе e : |
|
|
||
a1 (1, 2,1, 2) , |
a2 (0,1,3,1) , |
a3 (1,0,0,1) , |
a4 (2,1, 2,1) , |
|
b1 (1,3, 4, 4) , |
b2 (1,1,3,1) , |
b3 (1, 4, 0, 4) , |
|
b4 (4,1,1,1) . |
Покажите, что системы векторов a : a1,a2 ,a3 ,a4 и b : b1,b2,b3,b4
являются базисами пространства P4 . Найдите матрицу перехода от базиса a к базису b и обратно. Найдите координаты вектора a1 в базисе b . Найдите координаты вектора b2 в базисе a .
60