3832

даточных функций. Во-вторых, выявить наибольший общий делитель поли-

номов делением их по алгоритму Евклида. В-третьих, можно исследовать ре-

зультант полиномов – специальный определитель порядка m + n, построен-

ный из коэффициентов полиномов А и В. Полиномы имеют по меньшей мере один общий корень, если их результант равен нулю.

2.3.3. Определение временных характеристик непрерывных систем в

пространстве состояний

Поскольку модели пространства состояний описываются системой дифференциальных уравнений первого порядка, их относительно легко ре-

шить.

Ключом к нахождению решения уравнений состояния является экспо-

ненциальная матрица, определенная как /2, 9/

		1
	eAt I		Aiti .	(2.156)
	i 1	i!

Точное решение линейного уравнения состояния (вход-состояние) то-

гда выглядит так:

	t
x(t ) eA( t t0 )x0	eA(t )Bu( )d .	(2.157)
	t0

Это утверждение может быть проверено прямой подстановкой (2.157) в

первое уравнение системы (2.102). Чтобы выполнить необходимое диффе-

ренцирование, заметим, что

					deAt
						AeAt eAt A,				(2.158)
					dt
а также напомним правило Лейбница:
	d	g(t )
			H(t, )d
	dt
		f ( t )						.		(2.159)
							g(t )
				t ) H(t, f (t ))f (t )
H(t,g(t ))g(									H(t, )d
							f ( t )	t
				131

Использование (2.159) и (2.158) в (2.157) дает

x(	t ) AeA( t t0 ) x
	0

Ax(t ) Bu(t )

t

Bu(t ) A eA( t )Bu( )d

(2.160)

t0

как и утверждалось.

Заметим, что если u(t)=0 t t0, то матрица еA(t-to) определяет переход от x( ) к x(t) t . Этот вывод объясняет название «матрица переходов», ко-

торое обычно дается матрице еAt. Выход модели у(t) (состояние-выход) полу-

ченный из второго уравнения (2.102)и (2.157), будет

t
y(t ) CeA(t t0 )x0 C eA(t )Bu( )d Du(t ).	(2.161)
t0

Заметим, что решения для состояния (2.157) и для выхода (2.161) со-

стоят из двух членов каждое, а именно, реакции на начальные условия x0 и

принудительной реакции, которая зависит от входа u(t) в интервале [t0, t].

132

2.3.4. Временные характеристики дискретных и импульсных систем

управления

При анализе дискретных систем определение временных характеристик возможно непосредственным решением, которое получается с помощью ите-

рации первого уравнения (2.103) /2/, т.е:

n 1
x[n] An x(0 ) Ak B u[n k 1] .	(2.162)
k 0
Откуда
n 1
y[n] Cn x(0 ) C Ak B u[n k 1] .	(2.163)
k 0

Вместе с тем, в теории автоматического управления важным является не установления вида реакции на какое-то входное воздействие, а их анали-

тическая связь. Для установления такой связи рассмотрим общий подход к решению разностных уравнений. Пусть имеется /33/ k решений однородного

(x[n]=0) разностного уравнения (2.63) при n=t, которые определяются на-

чальными условиями

y1 [t0 ] y10 , y1 [t0 1] y11 , , y1 [t0	k 1] y1( k 1 )
y2 [t0 ] y20 , y2 [t 0 1] y21 , , y2 [t0	k 1] y2( k 1 )
		, (2.164)

y [t ] y , y [t 1] y , , y [t k 1] y

k 0 k0 k 0 k1 k 0 k( k 1 )

и обозначим

	y1	[t], y1 [t 1], , y1 [t k 1]
V(t )	y2	[t ], y2 [t 1], , y2 [t k 1]	.	(2.165)
	yk [t ], yk [t 1], , yk [t k 1]

Этот определитель в теории разностных уравнений играет ту же роль,

что определитель Вронского в теории обыкновенных дифференциальных уравнений /28/.

Совокупность решений y1(t), y2(t),….,yk(t) однородного разностного

уравнения, удовлетворяющих начальным условиям (2.164), называется фун-

даментальной системой решений, если отличен от нуля определитель

		y10	y11 y1( k 1 )
	V(t )	y20	y21 y2( k 1 )
		yk0 yk1 yk( k 1 )

Если, в свою очередь, y1(t), y2(t),….,yk(t) – фундаментальная система решений однородного разностного уравнения в форме (2.63), то любое реше-

ние y(t) этого уравнения может быть представлено в виде

y[t ] С1 y1 [t ] C2 y2 [t ] Ck yk [t ] ,

(2.166)

где С1, С2,.... Сk, – постоянные числа.

Если фундаментальная система решений является нормальной, т.е. если

y1(t), y2(t),….,yk(t) удовлетворяют начальным условиям

y1 [t0 ] 1, y1 [t0 1] 0, , y1 [t0 k 1] 0

y2 [t0 ] 0, y2 [t0 1] 1, , y2 [t0 k 1] 0

yk [t0 ] 0, yk [t0 1] 0, , yk [t0 k 1] 1

то любое решение y(t) разностного уравнения с начальной точкой t0 может быть представлено в виде

y[t ] y[t0 ] y1 [t ] y[t0 1] y2 [t ] y[t0 k 1] yk [t ]

Если x[n] 0, то решение неоднородного разностного уравнения ищет-

ся в форме

y[t ] С1 y1 [t ] C2 y2 [t ] Ck yk [t ] Y [t ],

(2.167)

где С1, С2,.... Сk, – постоянные числа, а Y[t] – какое-нибудь частное решение уравнения (2.64).

Если известна фундаментальная система решений однородного разно-

стного уравнения, то частное решение уравнения (2.64) может быть найдено методом вариации постоянных /28/.

134

В случае линейных разностных уравнений с постоянными коэффици-

ентами решение может быть найдено в виде y=zt, где z – число, подлежащее определению. После подстановки в уравнение (2.64) и сокращения на bkzt,

получаем характеристическое уравнение

zk p	zk 1 p	0.	(2.168)
1	k

Предположим, что уравнение (2.168) имеет действительные корни z1, z2,…,zk. Тогда мы получим k линейно независимых решений уравнения (2.64)

y1 z1t , y2 z2t , , yk zkt

Следовательно, общее решение однородного уравнения (2.64) может быть записано в виде

y[t] С1z1t C2z2t Ckzkt .	(2.169)
Если x[n] 0, то, применяя к неоднородному уравнению
ak y[t k ] ak 1 y[t k 1] a0 y[t ] x[t ]	(2.170)

преобразование Лорана (z-преобразование) и используя теорему опережения для преобразования Лорана, получаем

(a0 z

k 1

a1z

k 2

ak 1 )

z y0

a

y

(a

0

zk 2 a

k 2

) y

k 1

0

Y(z ) X(z )

1

.

(2.171)

(a0 zk a1zk 1 ak )

Для нахождения оригинала (временной характеристики) может быть использована теорема разложения для преобразования Лорана /33/

y[t] Вычz		t 1	,	(2.172)
	Y(z)z
m k

где сумма распространена на все особые точки функции Y(z).

Пример 2.5. Решить уравнение

y[t 2] 5y[t 1] 6y[t] 1

с начальными условиями y[0]=0, y[1]=0.

По формуле (2.171) получаем

135

z

z

Y(z )

z 1

z2 5z 6

(z 1)(z 2)(z 3)

Используя формулу (2.172), находим

z

t

1

1 3t 2t

y[t ] Выч

( z 1)(z

2

m

zk

2 )(z 3)

Рассмотрим далее многомерную ста-

ционарную импульсную систему, структур-

ная схема которой изображена на рис. 2.18.

Непрерывная часть этой системы имеет r

входов x1, x2,…, xr и столько же выходов y1,

Рис. 2.18. Многомерная импульсная y2,…, yr.

система	Как известно, систему дифференци-

альных уравнений, описывающих многомерную систему, всегда можно при-

вести к нормальному виду (2.102), в которой, например, аналогично (2.128), в

данном случае, u(t)=x(t), т.е.

dy(t )	y(t ) x(t ).	(2.173)
dt

Рассматриваемая импульсная система имеет r импульсных элементов

/28/. Ради простоты будем предполагать, что все элементы работают син-

хронно и синфазно. Тогда их уравнения имеют вид, аналогичный (2.66), т.е.

xi [t ] u[n] (			n),	i 1, ,r .	(2.174)
		t
n	0

Если ввести вектор-столбец u[n] и диагональную матрицу S(t ) S[t]

		u1 [n]								s1 [t ]		0	0	0
		u2		[n]							0	s2 [t ]	0	0		,	(2.175)
	u[n]					,	S(t )
				[n]							0	0	0
		ur												sr [t ]

то систему уравнений (2.174) можно записать в виде одного векторного уравнения

136

x[t ] u[n]S(			n).	(2.176)
		t
n	0

Пусть Y(t) – фундаментальная матрица решений однородной системы дифференциальных уравнений

dy	y,	(2.177)
dt

удовлетворяющая условию Y(0)=Е. Решение неоднородной системы уравне-

ний (2.173) имеет следующий вид:

[t ]

y[t] Y[t] y(0 ) Y(t )By( )d ,	(2.178)
0

где y(0) – вектор начальных условий. Подставляя в (2.178) при нулевых на-

чальных условиях значение x[t] из (2.176), найдем

[t ] [t ]

y[t] Y(t )B S( n)u[n]d Y(t )BS( n)d u[n] .(2.179)

0 n 0 n 0 0

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком интеграла. Вводя новые переменные t n , n , получим

[ t ]

Y(t )BS( n )d	Y( )BS( )d .	(2.180)
0	n

Матрица S( ) обращается в нулевую матрицу при 0, поэтому ин-

теграл можно записать следующим образом:

												0			при 0,
																							.			(2.181)
K( ) Y( )BS( )d
		n										Y(							)BS(		)d		при		0.
												0

Учитывая обозначение (2.181), запишем уравнение импульсной много-

мерной системы при нулевых начальных условиях в виде

y[t ] K(t m )u[m] .	(2.182)

m 0

Для смещенной решетчатой функции, полагая [t]=n+ и учитывая пер-

вое из равенств (2.181), можно окончательно записать

137

y[n, ] K(n m, )u[m] .	(2.183)

m 0

2.4.Частотные характеристики линейных систем управления

2.4.1.Представление возмущений произвольной формы в виде гармонических колебаний. Ряд, интеграл и преобразование Фурье

Элементарные возмущения, на которые можно разложить произволь-

ное возмущение, можно выбрать различными способами. В зависимости от выбора типа элементарных возмущений получаются различные характери-

стики линейных систем. Во многих задачах практики удобно взять в качестве элементарных возмущений гармонические колебания всех возможных час-

тот.

Пусть имеется некоторое возмущение произвольной формы, которое может быть представлено рядом вида

		a0
	f (t )		(ak coskt bk sinkt ) ,		(2.184)
	2		k	1

составляющие которого имеют период 2 , а коэффициенты a0, ak, bk подле-

жат определению.

Предварительно отметим свойство ортогональности семейства функ-

ций /28/

1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, …, cos nt, sin nt,…,

(2.185)

на интервале длиной 2 , состоящее в том, что интеграл, взятый от произве-

дения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину

2 , равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирования /33/.

Найдем коэффициент a0. Предполагая, что ряд (2.184) является равно-

мерно сходящимся, проинтегрируем этот ряд почленно от - до + :

			a0
		f(t )dt		dt (ak coskt bk sinkt )dt .
			2
				k	1
					138

Заменим интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от от-

дельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной сходимости ряда

(2.184)), тогда

	f (t )dt a0 (ak coskt dt bk sinktdt ) a0 .
	k	1

Так как все интегралы под знаком суммы равны нулю из-за ортогональности семейства функции (2.185), получим

		1
	a0		f (t )dt .	(2.186)

Определим коэффициенты ak, bk. Для этого умножим обе части равен-

ства (2.184) на cos nt, где n – целое положительное число, и проинтегрируем в прежних пределах от - до + :

			a0
		f (t )cosntdt		cosntdt (ak cosktcosnt dt bk sinktcosntdt )
		2			k 1

Первое слагаемое правой части, а также все интегралы под знаком суммы, кроме одного при k=n, из-за ортогональности семейства (2.185) об-

ращаются в ноль, т. е.

cos2nt

f(t )cosntdt an cos2 ntdt an

1

dt an

2

Следовательно,

1

ak

f(t )cosktdt (k 1,2,3,....).

(2.187)

Аналогично, при

умножении слева

и

справа ряда

(2.184) на

sin nt после интегрирования в тех же пределах получим

1

bk

f(t )sinktdt (k 1,2,3,....).

(2.188)

Формулы (2.186) – (2.188) позволяют по заданной функции f(t) с пе-

риодом 2 найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометри-

ческий ряд (2.184), называемый рядом Фурье. Коэффициенты a0, ak, bk назы139

ваются коэффициентами Фурье.

В формулах (2.186) – (2.188) интегрирование производится на интерва-

ле (- , + ). Однако результат интегрирования не изменится, если произво-

дить интегрирование на каком-либо другом интервале длиной 2 , например,

на интервале (0, 2 ).

Зная коэффициенты ak, и bk, легко определить значения амплитуды и начальной фазы k-ой гармоники:

							artg	bk	.	(2.189)
	A	a2	b2	,		k
	k	k	k					ak

При этом функция f(t) может быть непериодической. Разложение по-

добной функции в ряд Фурье на интервале (- , + ) означает, что функция f(t)

периодически продолжена вне интервала (- , + ) (рис. 2.19) на всю ось абс-

цисс. Функция, получившаяся в результате продолжения функции f(t), будет периодической функцией с периодом 2 ; на интервале (- , + ) эта новая функция совпадает с функцией f(t). Гармоники полученной периодической функции, суммируясь в интервале (- , + ), составляют значения заданной функции f(t).

	Таким образом, в виде суммы гармони-
	ческих составляющих может быть представ-
	лена не только периодическая функция, до-
	пускающая разложение в ряд Фурье. Ряд Фу-
Рис. 2.19. Разложение	рье для непериодической функции f(t), за-
непериодической функции в ряд	данной в интервале (- , + ), совпадает с ря-
Фурье

дом Фурье для функции, периодически продолженной на всю ось абсцисс

(времени).

Результаты распространимы и на случай, если период функции f(t) от-

личен от 2 и равен, например, Т.

В этом случае

140