3832
.pdf
|
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|
2 |
|
|
|
ak |
|
|
|
f (t )cos |
|
ktdt (k 1,2,3,....) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
T T / 2 |
|
|
T |
|
|
||||
|
2 |
|
T / 2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
(2.190) |
||||||
b |
|
|
|
|
f (t )sin |
|
|
|
ktdt (k 1,2,3,....) |
||
T T / 2 |
|
|
|
||||||||
k |
|
|
|
T |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
f (t )dt |
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
и ряд (2.184) приобретает вид
|
a0 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
f (t ) |
(ak |
cos |
kt bk |
sin |
kt ) . |
(2.191) |
|||||
|
|
|
|||||||||
2 |
k |
1 |
|
T |
|
T |
|
Совокупности коэффициентов ak, bk (k=1,2,…) разложения периодиче-
ской функции f(t) в ряд Фурье называются частотными спектрами этой функции.
Ряд Фурье может быть представлен в комплексной форме, если поло-
жить
|
|
|
1 |
T / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сk |
T / 2 |
f (t )e jk tdt . |
(2.192) |
|||||
|
|
T |
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
f (t ) сkejk t |
|
|
Ck |
ejk t |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
k |
|
|
2 k |
. |
(2.193) |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
F( jk, ) ejk t |
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||
|
2 k |
|
|
|
|
|
|
|
где Ck = 2ck – комплексная амплитуда k-ой гармоники, F(jk, ) – относи-
тельная комплексная амплитуда k-той гармоники, ejk t – комплексная гар-
моника, =2 /Т – частота первой гармоники разложения функции в ряд Фурье или, что одно и то же, приращение частоты при переходе от гармони-
ки с номером k к гармонике с номером k+1.
Совокупность комплексных чисел Ck = 2ck, определяемая для периоди-
ческой функции f(t) называются комплексным амплитудным частотным спектром; совокупности (2.189) величин Ak=Ak(k, ) и k = k(k, )
141
(k=1,2,…) называются амплитудным и фазовым спектрами периодической функции f(t).
На основании (2.192)
|
T / 2 |
|
F( jk, ) |
|
f (t )e jk tdt . |
|
T / 2 |
|
При рассмотрении одиночного импульса (рис. 1.14) возможность его разложения в ряд Фурье рассматривалась при продолжении интервала (- , + ). Реальные возмущения чаще всего не носят периодического характера,
имеют начало и конец, изменяют форму при модуляции или воздействии по-
мех и т.д.
Пусть дана непериодическая функция, разложение которой в ряд Фурье возможно на ограниченном интервале. В точках интервала, где функция f(t)
непрерывна, она может быть представлена в виде ряда (2.191) и (2.193).
При Т частота первой гармоники разложения функции f(t) в ряд Фурье =2 /Т 0. Однако величина является приращением частоты при переходе от гармоники с номером k к гармонике с номером k+1 и, следова-
тельно, при Т бесконечно малое приращение ее величины можно отожде-
ствить с дифференциалом d . Тогда /34/
|
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
|||
lim |
|
f ( )cosk (t )d |
|||||||
|
|||||||||
T T k 1 T / 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
T / 2 |
|
lim |
|
|
f ( )cosk (t )d |
||||||
|
|
||||||||
T |
k 1 |
|
T / 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
f ( )cos (t )d . |
||||||
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
Следовательно, для непериодической функции справедливо равенство
|
1 |
|
|
|
|
|
f(t ) |
d |
f( )cos (t )d . |
(2.194) |
|||
|
||||||
|
0 |
|
|
|
Интеграл в правой части равенства (2.194) называется интегралом Фу-
рье.
142
Если ряд Фурье представлен в комплексной форме, то
|
1 |
|
|
|
|
|
f (t ) |
ej td |
f (t )e j tdt. |
(2.195) |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
В (2.195) роль коэффициентной комплексной функции ck выполняет внутренний интеграл
|
|
|
|
|
|
F( j ) |
f (t )e j tdt |
(2.196) |
|||
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
f (t ) |
F( j )ej td . |
(2.197) |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
Формулы (2.196) и (2.197) определяют прямое и обратное преобразо-
вание Фурье, и известны под названием одностороннего преобразования Фу-
рье. Сопоставление (2.196), (2.27) и (2.197), (2.32) позволяет установить фор-
мальную связь преобразований Фурье и Лапласа. Если известна передаточная функция системы, то для определения коэффициентной комплексной функ-
ции ck – комплексного коэффициента передачи системы, достаточно в ее пе-
редаточной функции заменить s на j , выделив затем действительную и мнимую части. Подобный подход будет достаточно широко использоваться впоследствии.
Таким образом, по реакции линейной системы на гармонические коле-
бания всех возможных частот на основании принципа суперпозиции мы мо-
жем определить реакцию системы на произвольное возмущение.
143
2.4.2. Реакция системы на показательное возмущение и частотные
характеристики непрерывных систем
Наиболее общим случаем возмущения линейной системы является по-
дача на ее вход показательной функции
f (t,s ) est , |
(2.198) |
где s – произвольный комплексный параметр. В частности, при s=j на сис-
тему воздействует постоянное по амплитуде, при s=-а+j – затухающее, при s=а+j расходящееся гармоническое колебание, а при s=0 – единичное воз-
действие.
Для характеристики преобразования амплитуды и сдвига фазы выход-
ного сигнала по отношению к входному, введем функцию /4/
z(t,s ) |
Aest |
|
|
|
t |
, |
(2.199) |
||
est |
||||
|
|
|
где At – оператор системы, действующий в момент времени t, а числитель представляет собой реакцию линейной системы на входное воздействие
(2.198) (знаменатель (2.199)).
При s=j функция
z(t, j ) |
Aej t |
|
|
t |
|
|
|
ej t |
|
||
|
|
||
называется частотной характеристикой линейной системы. |
|
||
Представляя последнее выражение в виде |
|
||
Aej t z(t, j )ej t |
(2.200) |
||
t |
|
определим реакцию системы на входное гармоническое воздействие произ-
вольной амплитуды и фазы x(t ) aej( t ) . Исходя из принципа суперпози-
ции, можно записать
y(t ) At aej( t ) aej Atej t
или, с учетом (2.200)
144
y(t ) aej z(t, j )ej t az(t, j )e j( t ) . |
(2.201) |
||||||||
Поскольку z(t, j ) является комплексной функцией, ее можно предста- |
|||||||||
вить в виде |
|
||||||||
z(t, j ) |
|
z( t, j ) |
|
e jargz( t ,j ) . |
(2.202) |
||||
|
|
||||||||
Тогда |
|
||||||||
y(t ) a |
|
z(t, j ) |
|
e j( t argz( t ,j ) . |
|
||||
|
|
|
Таким образом, при постоянной произвольной амплитуде входного воздействия реакция элемента или системы определяется их свойствами в частотной области в соответствии с выражением (2.202), определяющем ам-
плитудно-фазо-частотную характеристику преобразования «вход-выход».
Функция z(t, j ) называется амплитудно-частотной характеристикой
(АЧХ), а argz(t, j ) - фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) систе-
мы.
Приведенные определения справедливы для нестационарных и стацио-
нарных систем управления. В случае стационарной системы (параметры сис-
темы не зависят от времени) выражение (2.202) не является функцией време-
ни. Реакция системы также не является явной функцией времени и зависит только от частоты . Тогда на основании (2.201), можно записать
y( j ) aej z( j )ej t az( j )e j( t ) z( j )x( j )
Или
y( j ) aej z( j )ej t az( j )e j( t ) z( j )x( j )
Сравнивая последнее выражение с (2.140) несложно придти к выводу,
что при s=j W(j )=z(j ). Тогда для частотной амплитудно-фазовой харак-
теристики стационарной линейной системы можно записать (при bm=1) /5/
145
W( j ) |
B( j ) |
|
1 2bm 2 4bm 4 j (bm 1 2bm 3 4bm 5 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
A( j ) |
1 2an 2 4an 4 j (an 1 2an 3 4an 5 ) |
|
|||||||||||||
|
K |
( ) j K |
( ) |
|
K |
1 |
( )D ( ) 2K |
( )D ( ) |
|
(2.203) |
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
2 |
|||||||||
D ( ) j D ( ) |
|
|
[D ( )]2 [D ( )]2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
j |
|
K |
( )D ( ) 2K |
|
( )D ( ) |
U( ) jV( ) |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
[D ( )]2 |
[D ( )]2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины U( ) и V( ) называются соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками системы.
Модуль – амплитудная частотная характеристика (АЧХ), равен
H( ) [U( )]2 |
[V( )]2 , |
(2.204) |
||
а фаза: |
|
|
||
( ) arctg |
V( ) |
k ; |
k 0, 1, 2, . |
(2.205) |
|
||||
|
U( ) |
|
|
Характеристики строятся в прямоугольной системе координат, причем при построении амплитудно-фазо-частотной характеристики (АФЧХ) (2.203)
обычно по оси абсцисс откладывается значение U( ), а по оси ординат V( )
при фиксированном значении . Получаемая на плоскости (U*, jV*) некото-
рая кривая называется годографом комплексного коэффициента передачи системы или ее частотной амплитудно-фазовой характеристикой.
Трудности возникают при расчете значений фазо-частотной характери-
стики по формуле (2.205).
Значения ( ) получаются на интервале (- , ), поэтому в случае сис-
тем высокого порядка для определения истинных значений фазовых сдвигов принимается предположение, о том, что в пределах выбранного шага частот
( ) не изменяется на ± , т. е. корни полиномов В(s) и А(s) располагаются достаточно далеко от мнимой оси.
Вообще говоря, соотношение (2.205) не определяет аргумент ( )
комплексного числа W(j ), так как ему вместе с удовлетворяет и + .
Однако из-за непрерывности фазовой характеристики ( ) /35/, принимаю-
146
щей отличные от нуля значения, она однозначно характеризуется текущим tg ( )=V( )/U( ), и начальным ( 0) значениями при min< < max. На этом свойстве непрерывности фазовой характеристики можно получить алгоритм построения частотных характеристик, если истинное значение ( 0) лежит в пределах (- , ).
При практическом использовании частотных характеристик часто ока-
зывается удобнее пользоваться так называемыми логарифмическими частот-
ными характеристиками. Записывая частотную амплитудно-фазовую харак-
теристику в виде
W( j ) H( )ej ( )
и логарифмируя правую и левую части, получим
lgW(j )=lgH( )+j ( )lg e.
Логарифмической амплитудной частотной характеристикой называ-
ется функция /36/
L( ) 20lgH( ). |
(2.206) |
В качестве, аргумента функции L( ) принимается lg . |
|
Функция |
|
(lg ) ( ) argW( j ) (0 ) |
(2.207) |
в качестве аргумента которой принимается lg , называется логарифмической фазовой частотной характеристикой.
Величина 20lgH( ) выражает усиление системы в принятых в акустике единицах – децибелах (дБ) (1 дБ = 0,1 Бел). Усиление, при котором мощность сигнала возрастает в 10q раз, считается равным q Бел. Мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды сигнала. Пусть, например, L( 1)= 20lgH( 1)= 40 дБ. При этом lgH( 1)= 2, H( 1)= 102 = 100. Мощность сигнала возросла в 1002 = 104 раз, что и соответствует коэффициенту усиления, рав-
ному 4 Белам. При построении графика функции L( ) по оси абсцисс откла147
дываются значения lg , а по оси ординат - значения функций L( ) в децибе-
лах.
При построении графика функции ( ) по оси абсцисс откладываются значения lg , а по оси ординат – значения ( ) в радианах.
За единицу длины по оси абсцисс применяются логарифмические еди-
ницы – октава и декада. Октавой называется отрезок оси lg , заключенный между значениями 1 и 2 1. Длина этого отрезка, как легко видеть, не зави-
сит от значения 1:
lok=lg2 1- lg 1=lg2 + lg 1 - lg 1= lg2.
Декадой называется отрезок оси lg , заключенный между значениями
1 и 10 1. Длина декады также не зависит от значения 1: ldk=lg10 1- lg 1=lg10 + lg 1 - lg 1= 1.
2.4.3. Связь частотной и весовой характеристик непрерывных
стационарных систем
Эти характеристики являются исчерпывающими. Для установления связи между ними воспользуемся выражением (2.136), при h(0)=0, разделив правую и левую части на входное воздействие est /4/.
Поскольку в этом случае
|
|
y(t ) Ax(t ) (t, )x( )d , |
(2.208) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
Aest |
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
z(t,s) |
|
|
(t, )es d |
(t, )e s( t )d . |
(2.209) |
|
st |
e |
st |
||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
Для физически возможной системы при s=j из (2.209) следует |
|
||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
z(t, j ) (t, )e j ( t )d . |
(2.210) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выражения весовой функции через частотную характеристику раз-
148
ложим -функцию на элементарные гармонические колебания
(t ) 1 ej ( t )d . (2.211)
2
Сравнивая эту формулу с общей формулой (2.197) обратного преобра-
зования Фурье, приходим к заключению, что преобразование Фурье -
функции определяется формулой
F( j ) |
|
1 |
e j |
|
|||
|
|
2 |
Подставляя это выражение в формулу (2.197), выразим реакцию систе-
мы на -функцию, т. е. ее весовую функцию, через частотную характеристи-
ку:
|
1 |
|
|
|
(t, ) |
z(t, j )ej ( t )d . |
(2.212) |
||
2 |
||||
|
|
|
Таким образом, зная весовую функцию системы, можно определить ее реакцию на показательное возмущение и частотную характеристику, и, на-
оборот, зная частотную характеристику системы, можно определить ее весо-
вую функцию. Заметим, что установившийся режим колебаний под действи-
ем гармонических входных сигналов существует только для устойчивых ли-
нейных систем.
Совершенно так же определяются характеристики реакции многомер-
ной линейной системы на показательные возмущения, действующие на раз-
личных входах, и ее частотные характеристики. При этом реакции системы на показательные возмущения и частотные характеристики связаны с соот-
ветствующими весовыми функциями теми же формулами (2.210) и (2.212).
2.4.4. Частотные характеристики импульсных систем
Частотные свойства импульсных систем во многом определяются рабо-
той идеального импульсного элемента (ИИЭ), выходной сигнал которого мо-
дулирован входным непрерывным сигналом. Несущая периодическая после149
довательность -импульсов может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье /7/:
|
|
(t ) ckejk 0t , |
(2.213) |
k
где =2 /T – частота квантования по времени, а сk – коэффициенты Фурье
(2.192):
1 |
T / 2 |
jk |
t |
1 |
|
||
ck |
|
T / 2 (t )e |
0 |
|
dt |
|
. |
T |
|
T |
Таким образом, получаем уравнение, описывающее во временной об-
ласти преобразование ИИЭ непрерывного сигнала x(t) на входе:
|
1 |
|
1 |
|
|
x* (t ) x(t ) |
ejn 0t |
x(t )ejn 0t . |
|||
|
|
||||
T n |
T n |
Преобразование Лапласа этого уравнения дает
|
1 |
|
1 |
|
|
|
X* ( s) |
L{ x(t )ejn 0t } |
X( s jn 0 ). |
(2.214) |
|||
|
|
|||||
|
T n |
T n |
|
Уравнение (2.214) устанавливает связь между изображениями Лапласа непрерывной функции x(t) и решетчатой функции х(пТ), т. е. между обыч-
ным и дискретным преобразованиями Лапласа, и справедливо при выполне-
нии условия x(t) = 0 при t < 0. Если же х(0) 0, то следует пользоваться дру-
гим уравнением:
|
x(0) |
|
1 |
|
|
|
X* (s) |
|
X(s jn 0 ). |
(2.215) |
|||
|
|
|||||
2 |
|
T n |
|
Операцию нахождения Х*(s) по X(s), определяемую соотношениями
(2.214), (2.215), называют D-преобразованием и обозначают как
X* (s) D{ X(s)}. (2.216)
С помощью D-преобразования легко определить спектральные или частотные характеристики ИИЭ. Приняв в (2.214) s=j , находим связь между спектрами входного и выходного сигналов ИИЭ (предполагается, что все по-
люсы Х*(s) - левые) :
150