585

Теорема (директориальное свойство гиперболы)

Отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от той же точки до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету этой гиперболы.

Пример. Задано уравнение гиперболы в канонических осях

y2 − x2 =1. Найти параметры гиперболы; построить гиперболу 36 64

по характерным точкам; проверить правильность построения по ее характеристическому свойству.

Решение: по уравнению гиперболы определяем длины полу-

осей: a =

64 = 8; b =

36 = 6. Расстояние от фокуса до начала

координат: c =

64 + 36 =10. Поскольку

фокусы лежат на оси

OY , то F1 (0, −10)

и F2 (0, 10). Найдем абсциссы точек M1 и M2

гиперболы при одинаковых ординатах y1 = y2 = c =10:

102

x2

100

64

32

−

=1;

x = ±8

−1 = ±8

= ±

≈ ±10,67.

36

64

3

36

36

Сначала строим прямо-

угольник с центром в нача-

ле координат

и

сторонами

2a =16 и

2b =12 (рис. 74).

Диагонали

прямоугольника

являются

асимптотами ги-

перболы.

Строим

точки

32

−

32

M1

,10

,

M

2

,10

3

3

и симметричные им относи-

тельно оси

абсцисс

точки Рис. 74. Пример: построение гиперболы

32

32

M3

, −10

и

M4

−

, −10

. Вершина верхней ветви гипер-

3

3

болы имеет координаты (0, 6), нижней – (0, − 6).

Производим проверку, используя характеристическое свой-

−

= 2b = 2 6 =12:

ство гиперболы

F2M1

F1M1

183

Рис. 75. Парабола

						32														32				2		2			4624			68
F2M1				=					;			F1M1					=					− 0		+ (10 − (−10))			=			=			;
						3
																				3									9			3
	F M	1			−			F M		1					=	68		−	32		=		36		=12.
	2							1							3				3			3

Вычисления и построение проведены правильно.

4.5.40. Парабола

Определе ние: Параболой называется алгебраическая кривая второго порядка, для каждой точки которой расстояние от некоторой точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой

директрисой (рис. 75).

Определе ние: Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фо-

кальным параметром параболы и обозначается p. Характеристическое свойство параболы FM = MN , где FM –

расстояние от фокуса до точки M , принадлежащей параболе; MN – расстояние от той же точки до директрисы. Уравнение па-

раболы в канонических осях y2 = 2 px (y2 = −2 px). Ось OX – ось

симметрии параболы.

Если осью симметрии параболы является ось OY , то канони-

ческое уравнение			параболы имеет вид x2 = 2py (x2 = −2py)
(рис. 76). В кано-
нических		систе-
мах	координат
вершина		парабо-
лы	совпадает с
началом		коорди-
нат,	расположен-
ным	в	средней
точке фокального
параметра.			Рис. 76. Канонические уравнения параболы

Пример.

184

Задано уравнение параболы x2 = 8y . Найти параметры параболы; построить параболу по характерным точкам; проверить правильность построения по ее характеристическому свойству.

Решение: осью симметрии является ось OY . Уравнение директрисы

	x = −	p	= −2,	координаты		фокуса
	2
	F (0, 2). Находим абсциссы точек
	M1 и M2 параболы при одинаковых						Рис. 77. Пример:
	ординатах			y = y	= 2:	x2 = 8 2;
							построение параболы
				1	2

x = ±4; M1 (4, 2), M2 (−4, 2).

Найдем координаты еще двух точек M3 и M4 , лежащих на параболе, например, M3 (8, 8), M4 (−8, 8). Строим график пара-

болы по найденным координатам точек (рис. 77).

Производим проверку, используя характеристическое свойство параболы FM3 = NM3 :

FM3 = (8 − 0)2 + (8 − 2)2 = 10;

NM3 = (8 − 8)2 + (−2 − 8)2 = 10.

4.60. Уравнения кривых второго порядка в параллельно смещенных осях

Кривые второго порядка в общем случае описываются уравнениями

a11X 2 + a22Y 2 + 2a12 XY + a10 X + a20Y + a0 = 0.

Замечание: изменение обозначений необходимо, так как одни и те же кривые будут рассматриваться в двух различных системах координат.

Если a12 = 0, то получаем уравнение в параллельно смещен-

ных осях

a11X 2 + a22Y 2 + a10 X + a20Y + a0 = 0,

которое можно привести к «почти каноническому виду», используя способ дополнения до полных квадратов для переменных X

185

и Y . Затем параллельным смещением осей переходим к уравнениям в канонических осях xOy.

Уравнения кривых второго порядка в «почти канонических» и канонических осях сведем в таблицу

Уравнения в «почти

Уравнения

канонической» форме

в канонической форме

О к р у ж н о с т ь

(X − X0 )2 + (Y − Y0 )2 = R2

x2 + y2 = R2

Э л л и п с

(X − X0 )2

(Y − Y0 )2

x2

+

y2

=1

+

= 1

a2

b2

a2

b2

Г и п е р б о л а

(X − X0 )2

(Y − Y0 )2

x2

−

y2

=1

−

= 1

a2

b2

a2

b2

Окончание таблицы

Уравнения в «почти

Уравнения

канонической» форме

в канонической форме

(Y − Y0 )2

(

X − X0 )2

y2

−

x2

=1

−

= 1

b2

a2

b2

a2

П а р а б о л а

(Y − Y0 )2 = ±2p(X − X0 )

y2 = ±2px

(X − X0 )2 = ±2 p(Y − Y0 )

x2 = ±2py

186

X0 ,Y0 – координаты начальной точки канонической системы координат в исходной параллельно смещен-

		'
		ной системе координат XOY .
		Пример. Построить линию
		25x2 −16y2 +100x + 32y − 316 = 0 .
	Рис. 78. Пример: параллельно	Решение: Преобразуем заданное
		уравнение и приведем его к почти ка-
	смещенная гипербола
		нонической форме:

25(x2 + 4x)−16(y2 − 2y)− 316 = 0;

25(x2 + 4x + 4)−100 −16(y2 − 2y +1)+16 − 316 = 0;

25(x + 2)2 −16(y −1)2 = 400; (x + 2)2 − (y −1)2 = 1. 16 25

Это – почти каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (–2; 1), полуосями 4 и 5 и ветвями, направленными вправо и влево (рис. 78).

4.70. Общий случай приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

В общем случае уравнение кривой второго порядка в исходной произвольной системе координат xO′y имеет вид

A		2	+ A		2	+ A		+ B		+ B		+ C = 0.	(1)
	x			y			xy		x		y
1			2			3	1		2

Приведем уравнение (1) к промежуточной параллельно смещенной системе координат XO′Y . Для этого повернем исходную систему координат на угол α, определяемый по формуле

ctg 2α = A1 − A2 2A3

и переходим к промежуточным координатам, заменяя переменные по формулам

x = X cosα −Y sin α; y = X sin α +Y cosα.

187

В результате получим уравнение кривой в промежуточной системе координат XO′Y

a	X 2 + a Y 2	+ a	X + a Y + a = 0.		(2)
11	22	10	20	0

Уравнение (2) приводим к «почти каноническому» виду с помощью преобразований, основанных на выделении полных квадратов и, используя замену переменных по формулам:

x = X − x0; y = Y − y0.

Получаем каноническое уравнение кривой второго порядка. Пример. Построить линию xy – 2y – 3x + 5 = 0.

Решение: При решении будем использовать различные системы координат, поэтому переобозначим переменные в заданном уравнении:

xy − 2y − 3x + 5 = 0.

Коэффициенты в уравнении имеют следующие числовые значения

A1 = A2 = 0, A3 =1, B1 = −3, B2 = −2, C = 5.

Определяем угол поворота промежуточной системы координат XOY' относительно исходной системы xO′y :

ctg 2α = 0 − 0 = 0; 2α = π α = π .
2 1	2	4

В исходном уравнении кривой заменяем координаты на промежуточные по формулам:

x = X cosα −Y sin α; y = X sin α +Y cosα,

в результате получаем		= (X − Y )	1			;		= (X + Y )	1
	x						y
									2
2

1 (X − Y )(X + Y ) − 2(X + Y ) 1 − 3(X − Y ) 1 + 5 = 0.

2 2 2

После алгебраических преобразований и выделения полных квадратов получим «почти каноническое» уравнение кривой

188

			5			2
	X −
			2
	2

Рис. 79. Пример: построение линии по уравнению общего вида

		1							2
	Y +
−				2									=1.
		2
	Производя замену переменной
x = X −						5						, y = Y +		1			, получаем
						2						2

каноническое уравнение гипербо- лы x2 − y2 =1.

22

Для построения полученной гиперболы нужно повернуть исходную систему координат против

часовой стрелки на угол α = π и 4

осуществить параллельный перенос повернутой системы коорди-

	5			; −	1
нат с начальной точкой с координатами									(рис. 79).
	2				2

4.80. Трансцендентные (неалгебраические) плоские кривые. Полярная система координат

Плоские кривые, уравнения которых будучи записанными в прямоугольных координатах, не являются алгебраическими и не приводятся к алгебраическим при любых поворотах и смещениях прямоугольных систем координат, называются трансцендентными. Простейшими примерами таких кривых являются известные из школьной программы графики функций y = sin x , y = 2x и др.

Уравнения многих трансцендентных плоских кривых, широко используемых в технике, имеют наиболее простой вид в полярной системе координат.

Опр еделе ние: Пусть на плоскости выбрана некоторая точка О, называемая полюс и луч Р с началом в полюсе, называемый полярной осью. Если на плоскости также выбран масштаб и положительное направление отсчета углов, то говорят, что на плоскости задана полярная система координат.

189

Рис. 81. Спираль Архимеда

Замечание: положительным направлением отсчета углов всегда будем считать направление против часовой стрелки.

Опр еделе ние: Координатами точки М в полярной системе координат являются: длина ρ вектора ОМ (полярный радиус) и полярный угол ϕ (обычно измеряемый в радианах) от полярной оси

до полярного радиуса.

Рис. 80. Полярная

система координат	Замечание: в полярной системе коорди-
	нат, так же как и в прямоугольной, можно за-

давать уравнения линий в виде некоторой функциональной связи между координатами: F(ρ, ϕ) = 0. Будем считать, что угол ϕ может принимать любые значения, а радиус ρ – только неотрицательные.

В полярных координатах обычно описываются кривые, которые определяют кинематическим способом как траекторию точки, участвующей одновременно в нескольких движениях. При этом одно из движений является вращением вокруг неподвижной оси.

Пример 1. Спираль Архимеда ρ = aϕ, a > 0.

Из уравнения видно, что чем больше ϕ, тем больше ρ. Спираль Архимеда можно определить как траекторию точки, участвующей одновременно в двух равномерных

движениях, одно из которых прямолинейное, другое – вращение вокруг неподвижной точки. В технике спираль Архимеда находит применение для описания профилей кулачков в самоцентрирующихся патронах токарных станков и др.

Пример 2. Кардиоида ρ = 2a(1 + cosϕ), a > 0.

190

Рис. 83. Связь прямоугольной и полярной систем координат

	При ϕ = 0 ρ = 4a. На промежутке				π
				0;
					2
	функция y = cos ϕ убывает, значит, и коор-
	дината ρ будет уменьшаться и при			ϕ = π
					2
	ρ = 2a. Функция y = cos ϕ продолжает убы-
Рис. 82. Кардиоида	вать на промежутке	π
			; π и при ϕ = π ρ = 0.
		2

На промежутке [π; 2π] функция

y = cos ϕ возрастает, значит, ρ также возрастает.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости и поместим на этой же плоскости полярную систему координат так, чтобы полюс совпал с началом прямоугольной системы координат, а направле-

ние полярной оси – с положительным направлением оси OX (рис. 83). Тогда из прямоугольного треугольника получим:

x = ρcosϕ,

y = ρsin ϕ.

Это формулы перехода от прямоугольной системы координат к полярной. Из того же прямоугольного треугольника можно получить формулы перехода от полярной системы координат к прямоугольной:

	ρ =		x2 + y2
							x
cosϕ =
					x2 + y2
							y
sin ϕ =
					x	2	+ y		2

191

Замечание: эти формулы можно задать и иначе:

						y				x > 0
					arctg		,	åñëè
						x
ρ =	x	2	+ y	2
					; ϕ =			y		.
					π − arctg				, åñëè	x < 0
								x

Последнюю формулу используют в физических приложениях, связанных с вращением объектов.

Пример 3. Записать уравнение лемнискаты Бернулли (x2 + + y2)2 = 2a2(x2 – y2) в полярной системе координат.

Решение: Подставим выражение ρcosϕ в уравнение лемнискаты вместо переменной x, а выражение ρsin ϕ вместо переменной y:

(ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ)2 = 2a2 (ρ2 cos2 ϕ − ρ2 sin2 ϕ);

ρ4 (cos2 ϕ + sin2 ϕ)2 = 2a2ρ2 (cos2 ϕ − sin2 ϕ);

ρ2 = 2a2 cosϕ, ρ = a2cos 2ϕ .

Уравнения линий второго порядка в полярной системе координат имеют вид

p

ρ = 1− ecosϕ ,

где p – произвольный положительный параметр; e – эксцентриситет линии. При e < 1 получится уравнение эллипса, при e = 1 – параболы, при e > 1 – гиперболы.

Для многих важных для приложений трансцендентных кривых, определяемых как траекторию сложного движения точки, совершающей несколько движений, также удобными являются

параметрические уравнения кривой.

Опр еделе ние: говорят, что линия на плоскости задана параметрически, если координаты ее точек заданы как некоторые функции некоторого параметра.

Пример 1. Любая линия, являющаяся графиком некоторой функции y = f(x) может быть задана параметрически следующими формулами:

x = t,

y = f (t).

192