585

уравнения директрис: x = ± 5 (рис. 104).

12

			Рис. 104. Решение задачи 4.5.1 Решение задачи 4.5.2
4.5.2. a =				1			; b =							1				; c =				13	; e =				13		; уравнения директрис: x = ±															5	;
														5								60
		12																		12						5																	156
уравнения асимптот: y = ±																						x (рис. 104).
																				5
														3																3
4.5.3. Фокус F −																		; 0		, директриса x =												.
														2																2
4.5.4. Эллипс									x2			+					y2			=1, парабола y2 =12x, гипербола																				x2	−	y2	=1.
									25
														16																										9	16
			x2							y2												x2			y	2					x2				y2
4.5.5. а)						+								= 1;						б)				+				= 1; в)					+				=1.
		169							25													100			36							9		16
4.5.6.	x2		−		y2				=1. 4.5.7. а) y2 = −8x; б) x2 = −																										1	y.
9		16																																3
4.5.8. Таких окружностей четыре: (x −1)2 + (y −1)2 = 1,
(x +1)2 + (y −1)2 = 1, (x −1)2 + (y +1)2 = 1, (x +1)2 + (y +1)2 = 1.
			центр (2; 0)																																			1
4.5.9. а)																				, радиус равен 2;											б) центр								; 0	, радиус ра-
																																						2

	1					2			4
		; в) центр (1; − 3), радиус равен 10
вен				; г) центр 1;	−			, радиус равен		.
	2					3			3

4.5.10. См. рис. 105, 106.

Рис. 105. Решение задачи 4.5.10 a, б

213

Рис. 106. Решение задачи 4.5.10 в, г

	4.5.11. Эллипс (x −10)2					+	y2		=1, парабола (x −10)2 = −10(y −10).
							576
			100
	4.5.12. (x + 9)	2		14		2		925		.
			+ y +				=
				3				9				),(x , y		), (x , y		). Эти точки
	4.5.13. Пусть координаты точек: (x , y												2
										1	1	2		3	3

не должны лежать на одной прямой. Используя условие коллинеарности

векторов, получим искомое условие:															x2 − x1	≠		y2 − y1							.
															x3 − x1			y3 − y1
4.5.14.								x2		+		y2		=1. 4.5.15. (x − 7)2			+ (y − 4)2									= 1.
			128								128
									3				49				16
													5
4.5.16. Полуоси a = 2; b =1; фокусное расстояние c =																											3 ; эксцентри-
ситет e =			3			; уравнения директрис: x = −2 ±											4				.
2																	3
4.5.17. Полуоси a = 2; b =1; фокусное расстояние c =
																											5 ; эксцентри-
ситет e =			5					;	уравнения директрис: x = −2 ±											4				; уравнения асимптот:
			2
																	5

y −1 = ± 1 (x + 2).

2

4.5.18. Фокус F (1;−1), директриса y = −3. Фокус F (−1;1), директри-

са x = −3.

4.5.19. См. рис. 107.

Рис. 107. Решение задачи 4.5.19

214

	−	3		и M2 (3;11).
4.5.20. M1			;2
		2
					5										3
4.5.21. Четыре точки: M1,2,3,4					±5				; ±12								.
					17								17
								x2			x		9
4.5.22. а) 2y + 3x + 7 = 0 ≠; б) y =										−		+			; в) y = 3 x5 ;
													4
					4				2

г) x2 + y2 =1; д) x2 + y2 =1.

49

4.5.23.Циклоида: x = R(t − sint), y = R(1− cost).

4.5.24.Эпициклоида x = 4cost − cos4t, y = 4sint − sin 2t .

4.5.25.Гипоциклоида x = 2cost + cos2t, y = 2sint − sin 2t .

4.5.26.См. рис. 108, 109.

Рис. 108. Решение задачи 4.5.26, а, б

Рис. 109. Решение задачи 4.5.26, в, г

4.5.27. а) спирали Архимеда; б) окружности; в) см. рис. 110; г) двухлепестковая «роза» Декарта, повернутая против часовой стрелки на 45° и трехлепестковая роза Декарта, повернутая против часовой стрелки на 30°; д) Кардиоида и результаты ее поворота против часовой стрелки на 180°, 90° и 270° соответственно; е) см. рис. 111; ж) лемниската Бернулли и она же, повернутая на 45° против часовой стрелки.

Рис. 110. Решение задачи 4.5.27, в

215

Рис. 110. Решение задачи 4.5.27, е

4.5.28. а) параболы; б) гиперболы; в) эллипсы.

Указание: перейти к прямоугольной системе координат.

4.5.29. а) ρ = 5; б) ρ2 sin2 ϕ −8ρcosϕ =16; в)ρ = 4(1− sin ϕ).

4.6.1. а) см. рис. 112; б) см. рис. 113; в) гиперболические цилиндры; г) параболические цилиндры.

Рис. 112. Решение задачи 4.6.1, а

Рис. 112. Решение задачи 4.6.1, б

4.6.2.а)центр (−2; 3; 6), радиус равен 7; б)центр (0; 0; 4), радиус равен 2.

4.6.3.x2 + (y − 5)2 = 25; x2 + (z − 5)2 = 4.

4.6.4.x2 + y2 =1.

4.6.5. а) y2

+ z2 = 2x; x4 = 9(y2 + z2 ); y2 + z2 = 4x2 ;

б) (x − 4)2

+

y2

+

z2

=1; в)

x2

−

y2

−

z2

= 1;

x2

−

y2

−

z2

= −1;

16

9

9

16

9

9

16

9

9

г) ((x − 2)2 + y2 + z2 + 3)2 = 16(y2 + z2 ).

4.6.6. а) эллипсоиды вращения с осями симметрии OX ,OZ,OY соответственно; б) однополостные гиперболоиды вращения с осями симметрии OY,OZ,OX соответственно; в) двуполостные гиперболоиды вращения с осями симметрии OX ,OZ,OY соответственно; г) круговые конусы с ося-

216

ми симметрии OZ,OY,OX соответственно; д) эллиптические параболоиды; е) гиперболические параболоиды.

4.6.7. а) однополостный гиперболоид вращения с осью, параллельной

координатной оси	OZ , центром в	точке (−2; 1; −1) и полуосями
a = 3; b = 2; c =1;	б) эллиптический	параболоид с вершиной в точке

(−1;1;3), направленный вдоль положительного направления оси OZ .

4.6.8. а) круговой конус, осью симметрии которого является прямая

x = 0	y = 0	; б) пара пересекающих-
	и круговой конус с осью симметрии
z = y	x = z

ся плоскостей x + y + z −1 = 0 и x + y − z +1 = 0.

4.6.9.Не пересекаются.

4.6.10.По паре пересекающихся прямых.

4.6.11.См. рис. 114–116.

Рис. 114. Решение задачи 4.6.11, а, б

Рис. 115. Решение задачи 4.6.11, в, г

217

Рис. 116. Решение задачи 4.6.11, в, г

4.6.12. См. рис. 117–119.

Рис. 117. Решение задачи 4.6.12, а, б

Рис. 118. Решение задачи 4.6.12, в, г

Рис. 119. Решение задачи 4.6.12, д, е

Требования к практическому усвоению темы «Аналитическая геометрия (кривые линии и поверхности)»

Студент должен знать:

1.Общие сведения о кривых линиях на плоскости в пространстве (уравнения кривых линий в прямоугольных координатах и в параметрической форме; алгебраические и трансцендентные кривые).

2.Две основных задачи аналитической геометрии кривых.

218

3.Алгебраические кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола): определения, характеристические свойства, канонические уравнения, уравнения в параметрической форме (для окружности и эллипса); основные понятия, используемые при описании кривых (полуоси, фокусные расстояния, эксцентриситеты, директрисы, асимптоты).

4.Уравнения плоских кривых второго порядка в параллельно смещенных осях; способ приведения этих уравнений к каноническому виду (дополнение до полных квадратов).

5.Приведение уравнений плоских кривых второго порядка к каноническому виду с поворотом координатных осей.

6.Трансцендентные плоские кривые (определение), использование полярной системы координат и уравнений кривых в параметрической форме.

7.Алгебраические поверхности второго порядка (определение, приведение уравнений поверхностей к каноническому виду, канонические уравнения и изображения в канонических осях эллипсоидов, гиперболоидов, параболоидов, цилиндров и конусов).

8.Приведение уравнений поверхностей второго порядка в параллельно смещенных осях к каноническому виду.

9.Методика построения тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка.

Студент должен уметь:

1.Строить кривые второго порядка в канонических осях, определять параметры кривых, проверять правильность построения кривых по характеристическим свойствам.

2.Составлять уравнения кривых второго порядка по условиям задач.

3.Приводить кривые второго порядка в параллельно смещенных осях к каноническому виду.

4.Приводить кривые второго порядка к каноническому виду

вобщем случае с использованием поворота осей координат.

5.Строить трансцендентные кривые в полярной системе координат и прямоугольных координатах с использованием уравнений кривых в параметрической форме.

6.Составлять уравнения трансцендентных кривых, определяемых кинематическим способом как сложное движение точки.

219

7.Строить алгебраические поверхности второго порядка в канонических и параллельно смещенных осях с использованием метода сечений.

8.Выполнять на плоскости трехмерные изображения тел, ограниченных плоскостями и поверхностями второго порядка, определять габаритные размеры тел.

220

Приложение

Исходные положения математического моделирования в технике

и их приложения к решению прикладных задач

При любом виде моделирования исследуемый объект (объекторигинал) заменяется другим объектом (моделью), который фактически и исследуется. Затем результаты исследования переносятся на оригинал.

При математическом моделировании объект-оригинал заменяют математической моделью, которую исследуют методами математики.

Математическая модель объекта-оригинала (существующего, проектируемого, виртуального) представляет собой совокупность уравнений, неравенств и других математических соотношений, составленных исходя из цели исследования на основе формализованных эмпирических данных, теоретических представлений и предположений об объекте и его взаимосвязях с другими объектами.

Рассмотрим основные этапы решения реальных прикладных задач методом математического моделирования, которые приведены на схеме (рис. П1.1).

Рис. П1.1. Основные этапы решения реальных прикладных задач методом математического моделирования

П ер в ы й э т ап. Разработка формализованной модели предметной области задачи, исходя из цели решения, на основе исходных данных, эмпирических и теоретических представлений и предположений (гипотез) об объектах задачи, их свойствах и взаимосвязях, содержащихся в описании предметной области задачи.

221

При этом используют базовые расчетные схемы и идеальные объекты, принятые в физике и технических науках физико-математи- ческого цикла (материальные точки, абсолютно твердые тела и т.п.).

Вт о р ой э т ап. Составление математической модели предметной области задачи, соответствующей формализованной модели, в виде уравнений, неравенств и других математических соотношений, интерпретированных на языке формализованной модели.

Замечание: при составлении формализованной и математической моделей задачи за основу принимают базовые формализованные и математические модели из физики и общетехнических наук физико-математического цикла (теоретическая механика, сопротивление материалов, электротехника, теория автоматического управления и т.д.).

Тр ет и й э т ап. Формулировка и решение математических задач, соответствующих цели решения и математической модели.

Замечание: Если возможно, то решение математических задач проводятся на языке предметной области задачи.

Ч ет в ер т ы й э тап. Проверка и анализ решения математических задач на языке предметной области задачи. Принятие управленческого решения о достижении цели решения прикладной задачи.

Чтобы выработать устойчивые навыки активного использования математического моделирования в инженерной деятельности необходимо при решении прикладных задач обращать особое внимание на первый и второй этапы. Необходимо в явном виде выделять основные утверждения и предположения, при которых справедлива разработанная математическая модель задачи.

Эта неформализованная часть разработки математической модели очень важна и должна выполняться, в основном, инженерами. Ошибки, допущенные на этих этапах, обесценивают дальнейшие исследования, а применение компьютера создает только иллюзию достоверности и точности решения прикладной задачи.

Многочисленные попытки привлечь математиков к разработке математических моделей конкретных инженерных объектов во многих случаях не приводят к успеху. Обобщая этот печальный опыт, академик Н.Н. Моисеев писал: «…чтобы справиться (математику) с инженерной задачей, надо отчетливо понимать ее содержание, т.е. самому сделаться инженером. Математику приходится искать то «жемчужное зерно», которое впоследствии он назовет моделью. Непонимание этого принципа часто приводит к тому, что прекрасно подготовленный юноша-математик, оказавшись в промышленности,

222