Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Пусть . Тогда ряд будем называть знакоположительным. Сформулируем некоторые достаточные условия сходимости таких рядов.

Признак сравнения

Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Этот признак остается в силе, если неравенство выполняется не при всех , а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда , если

а)

;

б)

;

Решение.

а) Заметим, что для всех . Ряд с общим членом сходится, т.к. является рядом геометрической прогрессии со знаменателем (см. пример 1), поэтому данный ряд сходится по признаку сравнения.

б) Сравним ряд с рядом . Очевидно, что для всех , поэтому . В примере 3 было доказано, что ряд с общим членом расходится, значит, данный ряд также расходится.

Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.

Предельный признак сравнения

Пусть и – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и

одновременно сходятся или одновременно расходятся.

В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида . Такой ряд называется рядом Дирихле. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-

з ать, что ряд .

Если , то ряд называется гармоническим. Гармонический ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если

а)

;

б)

;

в)

;

Решение. а) Так как при достаточно больших ~ , а

~ , то ~ . Выберем для

сравнения с данным гармонический ряд , т.е. .

( см. [5] ).

Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.

б) При достаточно больших ~ , ~ , поэтому – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:

( см. [5] ).

Ряд сходится (ряд Дирихле с ), поэтому данный ряд также сходится.

в) , поэтому бесконечно малую можно

заменить на эквивалентную ей при величину ( ~ при – см. [5] ).

Тогда – общий член ряда для сравнения.

.

Так как предел конечен и не равен нулю, а ряд расходится (ряд Дирихле с ), то данный ряд расходится.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости или расходимости данного ряда, не сравнивая его с рядом, поведение которого известно.

Признак Даламбера

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует , то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если , то признак Даламбера не дает возможности судить о поведении ряда. В этом случае необходимо дополнительное исследование, например, с помощью признаков сравнения.

В примерах 5 а), б) с помощью предельного признака сравнения было установлено, что ряд расходится, а ряд сходится. Посмотрим, как работает применительно к этим рядам признак Даламбера:

,

;

(см. [5]).

Таким образом, в каждом из этих случаев признак Даламбера не приводит к определенному ответу: при ряд может быть и сходящимся, и расходящимся.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака

Даламбера, если

а)	;		б)	;			в)	;
г)		;			д)	.

Решение. а) Так как , то

Это означает, что ряд расходится.

б) Символ (читается “эн факториал”) – сокращенное обозначение произведения всех натуральных чисел от единицы до данного натурального числа n:

. Например, , ,

,

,

,

.

Так как , то для любого

и поэтому ряд сходится. Отсюда можно сделать весьма важный вывод: так как при любом ряд сходится, то по необходимому признаку сходимости .

в) Так как , то

(см. [5]), т. е. ряд сходится.

г) Для того, чтобы записать , заменим в на . Тогда к

произведению добавится еще один сомножитель, равный

, а к произведению – еще два сомножителя:

, поэтому

.

Значит, данный ряд сходится.

д) Заметим, что при , поэтому при вычислении предела можно воспользоваться принципом замены эквивалентных бесконечно малых (см. [5]), заменив на эквивалентную бесконечно малую величину :

.

Следовательно, ряд сходится.

Анализ рассмотренных примеров позволяет сделать следующий вывод: признак Даламбера непременно дает ответ на вопрос о сходимости рядов, общий член которых содержит факториал или показательную функцию .

Радикальный признак Коши

Пусть – знакоположительный ряд. Если существует ,

то при ряд сходится, а при ряд расходится.

Если ряд может как сходиться, так и расходиться. Выяснить это можно с помощью дополнительного исследования, например, используя признаки сравнения.

При применении радикального признака Коши бывает полезно знать, что

. (3)

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши

а)

;

б)

;

в)

;

г)

;

д)

.

Решение. а) Так как и ,

(см. равенство (3) ), то и поэтому ряд сходится.

б) В этом случае . Так как

(см. [5]), а , то

Это означает, что данный ряд сходится.

в) В этом случае удобно применить признак Коши, т. к. , а предел этого выражения находится просто:

.

Значит, ряд сходится.

г) Заметим, что при , а .

Кроме того, т. к. , то , поэтому

и поэтому ряд расходится.

д) Так как и

(см. [5] ), то .

Следовательно, ряд расходится.

Признак Даламбера и радикальный признак Коши основаны, по существу, только на свойствах геометрической прогрессии. Поэтому при исследовании медленно сходящихся или медленно расходящихся рядов (прогрессии в их число не входят) эти признаки оказываются нечувствительными . В таких случаях, кроме признаков сравнения, можно использовать интегральный признак Коши. Этот признак четко проводит различия между сходящимися и расходящимися рядами, даже если члены одного из них лишь незначительно отличаются от членов другого.

Интегральный признак Коши

Пусть члены знакоположительного ряда не возрастают:

. Пусть, кроме того, – непрерывная,

невозрастающая функция, определенная для всех , такая, что

. Тогда ряд и несобст-

венный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши, если

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

Решение. а) – ряд Дирихле с . Ранее было отмечено, что этот ряд расходится. Докажем это. Рассмотрим функцию . Она не-

прерывна и убывает при всех . Кроме того, , поэтому удовлетворяет условиям теоремы.

Вычислим .

Несобственный интеграл расходится, значит, расходится и данный ряд.

б) – ряд Дирихле с . Как было отмечено, этот ряд сходится.

Чтобы убедиться в этом, применим интегральный признак Коши: ,

; .

Несобственный интеграл сходится, поэтому сходится и данный ряд.

в) Рассмотрим при функцию . Ее производная

при всех . Следовательно, убывает

и .

.

Несобственный интеграл сходится, а потому сходится и данный ряд.

г) Функция непрерывна и убывает при всех . Несобственный интеграл

,

т. е. расходится, значит, ряд тоже расходится.