новая папка 1 / 238876

(a, +∞)={x :x > a}, (-∞,a) = {x :x < a}, (-∞,+∞)={x :x R}.

Интервал (а – а ), где , называют - окрестностью точки а и обозначают (а).

1.6. Точные грани числовых множеств

Множество X действительных чисел () называется ограниченным сверху, если существует число c такое, что все элементы множества X не превосходят c, т.е.

Множество называется ограниченным снизу, если существует число d такое, что все элементы множества X не меньше d, т.е.

Множествоназывается ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т.е.

Последнее условие равносильно условию

Если множество ограничено сверху, то наименьшее из чисел, огра-

ничивающее его сверху, называют его точной верхней гранью или супре-

мумом (supremum).

Число a является точной верхней гранью множества , если выполняются следующие условия:

1) а;

2)

a – .

Точная верхняя грань множества обозначается sup X.

Если множество ограничено снизу, то наибольшее из чисел, ограничивающее его снизу, называют его точной нижней гранью или инфинумом (infinum).

Число b является точной нижней гранью множества , если выполняются следующие условия:

1) b;

2)

b + .

Точная нижняя грань множества обозначается inf X.

Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

11

Если множество не ограничено сверху (снизу sup X = +∞), то пишут (соответственно inf X = - ∞).

1.7. Абсолютная величина вещественного числа

Абсолютной величиной (или модулем) числа х называется само число х,

если x ≥ 0, или число - х, если х < 0. Абсолютная величина числа х обозна-

чается символом | х |. Например, |+ 5| = 5; |- 5| = - (- 5) = 5; | 0 |= 0.

Основные свойства абсолютных величин: 1) | x | ≥ 0; 2) | x | = |- x |; 3) - | x | ≤ x ≤ | x |;

4)Неравенство | x | ≤ ( > 0) означает, что - ≤ x ≤ ;

5)Неравенство | x | ≥ α (α > 0) означает, что либо х ≥ α, либо х ≤ -α;

6)| x ± y | ≤ | x | + | y |; 7) | x ± y | ≥ | x | - | y |; 8) | x y | = | x | | y |;

x| x |

9)| y | = | y | ( y ≠ 0 ).

Примеры с решениями

Пример 1. Доказать, что множество X= {1, }

ограничено. Установить, какие числа являются его гранями. Найти точные верхнюю и нижнюю грани этого множества.

Решение. При любом натуральном n выполняются неравенства 0< , поэтому множество X ограничено.

Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества X, т.е. что sup X =1. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо показать, что для любого существует n такое, что выполняется нера-

венство .

Очевидно, что при n=1 выполняется , а это и доказывает ут-

верждение - sup X =1.

Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью множества X. Для этого надо проверить, что для любого существует n такое, что выполняется неравенство

.

(1)

12

Действительно, решая неравенство (1), получаем. Взяв какое-

нибудь натуральное число , получим требуемое n, а это, согласно

определению точной нижней грани, и означает, что inf X =0.

Отметим, что данному множеству X точная верхняя грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит множеству X, и в этом множестве нет наименьшего числа.

Пример 2. Найти решения уравнений: 1). | x | = х + 2; 2). | x |= х - 2; 3).

х + 2| x | = 3.

Решение. 1). При х ≥ 0 х = х + 2, откуда вытекает, что 0 = 2, т.е. рассмотренное уравнение не имеет решений.

При х < 0 получаем, что - х = х + 2, откуда следует, что х = -1 является единственным решением нашего уравнения.

2). При х ≥ 0 имеем х = х – 2 (т.е. 0 = - 2) и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если же х < 0 получаем, что – х = х - 2, откуда вытекает, что х = 1 > 0, что противоречит сделанному предположению (х < 0).

Таким образом, уравнение 2) не имеет решений. 3). При х ≥ 0 имеем х + 2х = 3, откуда х1 = 1. При х < 0 получаем х – 2х = 3, откуда х2 = - 3.

Следовательно, х1 = 1 и х2 = - 3 есть решения уравнения. Пример 3. Решить уравнение | х - 5| = х - 5.

Решение. По определению, | х | = х при х ≥ 0. Следовательно, данное уравнение представится в виде х – 5 ≥ 0, откуда х ≥ 5.

Пример 4. Решить неравенство | 2 х – 1 | > 2 х - 1.

Решение. Так как | х |> х только при х < 0, то неравенство справедливо

1

для тех х, при которых 2 х – 1 < 0, откуда х < 2 .

Пример 5. Решить неравенство | х – 3 | ≥ 2.

Решение. В силу основных свойств модуля числа, х – 3 ≥ 2 или х –3 ≤ - 2, откуда получаем ответ: либо х ≥ 5, либо х ≤ 1, т.е. множество всех решений рассматриваемого неравенства есть

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найти sup X и inf X ,если

n

(−1)n

1). X = { xn : xn =

}; 2). X = { xn : xn =1 +

};

n +1

n

1

1

1

1

3). X={ xn : xn =

+

+

+…+

}.

2

4

8

2n

13

Задача 2. Приведите примеры числовых множеств X, у которых: a) sup X X; б) sup X X; в) inf Х Х; г) inf Х Х.

Задача 3. Приведите пример числового множестваX, когда inf X = sup X. Задача 4. Приведите пример числового множества X, когда inf Х Х, a

sup X X.

Задача 5. Доказать, что множество Х = {... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3...} всех целых чисел не ограничено ни снизу, ни сверху. В этом случае принято писать, что sup X = + ∞ , а inf X = - ∞.

Задача 6. Доказать, что, каковы бы ни были числа а и b, 0 < а < b, существует такое целое число n > 0, что а n > b.

Задача 7. Пусть X и Y — два непустых множества действительных чисел. Доказать, что если Y X, то: a) sup Y ≤ sup X; б) inf Y ≥ inf X.

Задача 8. Пусть X и Y — два непустых множества чисел, а X+Y – множество всевозможных чисел вида x + y; где x X, y Y. Показать, что sup

(X + Y ) = sup X + sup Y; inf (X + Y) = inf X + inf Y.

Задача 9. Пусть X и Y — два непустых числовых множества неотрицательных действительных чисел, а XY – множество всевозможных чисел вида xy; где x X, y Y. Показать, чтоsup (XY) = (sup X) (sup Y); inf (X·Y) = (inf X) (inf Y).

Задача 10. Пусть X — множество действительных чисел, а -X – множество всевозможных чисел вида y = - x; где x X. Показать, что inf (-X)= - sup X, sup (-X)= - inf X.

Задача 11. Пусть X и Y — два непустых множества неотрицательных действительных чисел, а X-Y – множество всевозможных чисел вида x - y;

где x X, y Y. Показать, что sup (X - Y) = (sup X) – (inf Y).

Задача 12. Решить уравнения и неравенства:

а) | x | = x + 1; б) | x | < x + 1; в) | x - 2| < 3; г) | x - 1| ≥ 2.

Задача 13. Решить уравнения и неравенства:

	а) | x			2 - 5 x + 1| = - (x 2 - 5 x + 1); б) | x 2 -5 x + 6| > x 2 -5 x + 6; в) |					x		| >
									x +1
	x			x −1			x −1
			; г) |			| =		.
	x +1			x +1			x +1

Задача 14. Решить уравнения и неравенства:

а) |x + 4| = |x – 4 |; б) | x - 1| + |1 - 2 x| = 2| x |; в) | x - 3| + | x + 3| > 8; г) | x + + 3| - | x + 1| ≤ 2.

Задача 15. Решить уравнения:

а) | sin x | - sin x =2; б) x 2 – 2| x | + 3= 0.

Задача 16. Решить уравнения и неравенства:

а) ||2 - 3 x | - 1| > 2; б) || x | - 2| ≤ 1; в) || x - 1| + 2| = 1; г) || x + 1| - 2| = 2.

Задача17. Решить уравнения и неравенства:

а) |( x 2 + 2 x + 5) + (x - 5)| = | x 2 + 2 x + 5| + | x - 5|; б) |( x 4 - 4 x) - ( x 2 + 2)| = | x 4 - 4 x | - | x 2 + 2|;

14

в) | x 2 - 3 x | > | x 2| - |3 x |.

Задача 18. Решить неравенства:

а) | x 2 - 3 x - 3 | > | x 2 + 7 x - 13|; б) | x 2 - 2 x - 3| < 3 x - 3.

Задача 19. Решить уравнения и неравенства:

а) | x | - 2| x + 1| + 3| x + 2| = 0; б) | x - 1| - | x | + |2 x + 3| > 3 x - 3; в) x 2 - |3 x + 2| + x = 0; г) x 2 + 2| x + 3| - 10 ≤ 0.

2. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Пусть множество M R таково, что: 1) 1 M; 2) каково бы ни было натуральное число n M, то и число n+1 M (таким образом, N M). Тогда,

при выполнении условия M N следует, что М = N.

Следовательно, если мы установим, что утверждение A (x) справедливо при x = 1, и, если из того, что A(x) справедливо при произвольном k N, вытекает его справедливость при k + 1, то утверждение A(x) будет верно при всех n N.

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется доказательством методом математической индукции. Такое доказательство состоит из двух частей (из доказательства двух самостоятельных теорем):

Теорема 1. Утверждение справедливо для n = 1.

Теорема 2. Если утверждение справедлив для некоторого натурального числа n, то оно справедливо для n + 1 .

Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа математической индукции утверждение справедливо для всякого натурального n .

Пример 1. Доказать, что

	1		1		1				n
Sn =		+		+	1	+ …+		=		.
	1 2		2 3		3 4		n(n +1)		n +1

Теорема 1. Для n = 1 гипотеза верна, так как S1 =	1	=	1		.
	2			1 +1

Теорема 2. Предположим, что гипотеза верна для n = k, т. е. что

						1				k
	Sk =	1	+	1	+	1	+ …+		=		.
								k(k +1)		k +1
		1 2		2 3		3 4

Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для n = k + 1, т.е.

k +1

что Sk+1 = k + 2 .

Действительно, Sk+1 = Sk +	1	, следовательно, по условию
	(k +1)(k + 2)

теоремы,

15

Sk+1 =	k		1		k 2 + 2k +1
		+		=		.
	k +1
			(k +1)(k + 2)		(k +1)(k + 2)

Обе теоремы доказаны. Теперь на основании принципа математиче-

n

ской индукции мы имеем право утверждать, что Sn = n +1 при всяком на-

туральном n.

Замечание 1. Необходимо подчеркнуть, что доказательство методом математической индукции, безусловно, требует доказательства обеих тео-

рем 1 и 2.

n

Решая пример 1, мы выдвинули гипотезу Sn = n +1 , которая (как было

	доказано выше) оказалась верной.
	Интересно рассмотреть случай «неверной гипотезы»:
	Sn =	n +1	.			(2)
		3n +1
	При n = 1 формула (2) верна, так как S1 = 12 .			k +1
	Предположим, что формула (2) верна при n = k, т. е. Sk =					и вы-
				3k +1

числим Sk+1 :

Sk+1 =	k		1		k +1		1		k 3 +4k 2 +8k +3
		+		=		+		=		.
	k +1		(k +1)(k + 2)		3k +1		(k +1)(k + 2)		(k +1)(k +2)(3k +1)

k + 2

Вычисленное значение Sk+1 отлично от требуемого ( Sk+1 = 3k + 4 ), т.е.

из справедливости формулы (2) при n = k не следует её справедливость при n = k + 1.

Замечание 2. Если рассматриваемое утверждение верно не только при n = 1, но и в целом ряде частных случаев, то это еще не означает, что утверждение справедливо при всех n N. Действительно, рассмотрим функ-

цию ϕ(n) : N → N : ϕ(n) = n2 + n + 41.

Вычислим несколько первых значений этой функции: ϕ(1) = 43,

ϕ(2) = 47, ϕ(3) =53, ϕ(4) = 61, ϕ(5) = 71, ϕ(6) =83, ϕ(7) = 93. Наблю-

дательный читатель сразу заметит, что полученные числа ( 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97) являются простыми числами (т.е. такими, которые делятся без ос-

татка только на 1 и на себя). Продолжим вычисления: ϕ(8) =113, ϕ(9) =131, ϕ(10) =151. Числа 113, 131 и 151 так же являются простыми и вполне естественно возникновение гипотезы: «Для любого натурального числа n число ϕ(n) является простым числом».

16

Более того, большинство читателей абсолютно уверено, что обозна-

ченная гипотеза уже доказана. Хотя простая проверка ϕ(40) = 412 разру-

шает это предположение.

Рассмотренный пример позволяет сделать простой и в то же время важный вывод: Если утверждение справедливо в целом ряде частных случаев, то это не означает, что оно справедливо всегда.

Таким образом, метод математической индукции позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

Примеры с решениями

Пример 2. Вычислить сумму первых n нечётных чисел. Решение. Обозначим искомую сумму Sn, т. е.

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +…+ ( 2n - 1).

Придаём n последовательно значения 1, 2, 3, ... до тех пор, пока у нас не накопится достаточно материала, чтобы на основе его построить более или менее надёжную гипотезу. Имеем

S1 = 1, S2 = 4, S3 = 9, S4 = 16, S5 = 25, S6 = 36.

Теперь всё зависит от наблюдательности решающего задачу и от его способности за частными результатами увидеть общий.

Полагаем, что в данном случае легко заметить, что

S1 = 12, S2 = 22, S3 = 32, S4 = 42, S5 = 52.

На основе этого можно предположить, что Sn = n2. Докажем, что выдвинутая гипотеза справедлива. Теорема 1. При n = 1 гипотеза справедлива, т.к. S1 = 1 = 12.

Теорема 2. Допустим, что гипотеза верна для n = k, т.е. Sk = k2. Докажем, что тогда гипотеза должна быть верна и для n = k + 1, т.е. Sk+1 = (k + 1)2.

Действительно,

Sk+1 = Sk + (2k + 1) = k2 + (2k + 1) = (k + 1)2,

что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда рав-

n(n +1)

на 2 .

Решение. Эта задача отличается от предыдущих задач тем, что гипотезу здесь строить не надо, она дана. Нужно только доказать, что гипотеза верна.

Обозначим искомую сумму Sn, т. е. Sn = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n. Теорема 1. При n = 1 гипотеза верна.

	Теорема 2. Пусть Sk = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ k =		k(k +1)	. Покажем, что Sk+1
			2
	(k +1)(k + 2)
=		. Действительно,
	2

17

	Sk+1 = Sk + (k + 1) =	k(k +1)	+ (k + 1) =	(k +1)(k + 2)	.
		2		2

Задача решена.

Пример 4. Доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

Решение. Сумма 13 + 23 + 33 делится на 9. Значит, утверждение справедливо, когда первым из трёх последовательных натуральных чисел является 1.

Пусть сумма k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3, где k - некоторое натуральное число,

делится на 9. Выражение

(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 + 27k + 27 = = [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9 (k2 + 3 + 3)

представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 9, а следовательно, и вся сумма тоже делится на 9.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Найти сумму

Sn= 1 + 2 + 22 + 23 +… +2n-1.

Задача 2. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

1 2 + 2 5 +…+ n (3n-1) = n2 (n + 1).

Задача 3. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n +1)(2n +1) .

6

Задача 4. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

	12 + 32 + 52 +…+ (2n-1)2 =	n(4n2 −1)	.
		3

Задача 5. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

1 2 + 2 3 + 3 4 +…+ (n - 1) n = (n −1)n(n +1) .

3

Задача 6. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

13 + 23 + 33 +…+ n3	n(n +1)			2
	=	2	.

Задача 7. Доказать, что при каждом натуральном n число 5 23n-2 + 33n-1 делится на 19.

Задача 8. Доказать, что при каждом натуральном n число n (2 n2 - 3n + 1) делится на 6.

Задача 9. Доказать, что при каждом натуральном n число n5 – n делится

на 5.

Задача 10. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

18

1		1		1		n
	+		+ …+		=		.
1 3		3 5		(2n −1)(2n +1)		2n +1

Задача 11. Доказать, что для каждого натурального n верно равенство

1		1		1		1		n
	+		+		+ …+		=		.
1 4		4 7		7 10		(3n −2)(3n +1)		3n +1

Задача 12. При каких натуральных n справедливо неравенство 2n > n2 ?

Задача 13. Доказать неравенство: α > −1 n N : (1 +α)n ≥1 + nα (неравенство Бернулли).

Задача 14. Доказать, что n N : 1 + 212 + 312 + + n12 ≤ 2 − 1n .

Задача 15. Доказать, что n N : 2n > n.

3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ, ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА ПЕРВОЙ РУБЕЖНОЙ АТТЕСТАЦИИ СТУДЕНТАМ 1 КУРСА

ФКН ВГУ В ПРЕДЫДУЩИЕ ГОДЫ

Вариант № 1 Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение inf числового множества.

Задание 4. Пусть E= U Eα , при каждом α A существует sup Eα = yα и

α A

существует sup yα = y0. Показать, что y0 = sup E.

Задание 5. Найдите АВ, АВ, ВА, АВ, если А = {- 1; 0; 1; 2; 3}, В =

{ 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: | x | > | x + 1 |.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {xn : xn = 3 sin4n, n N}. Задание8. Приведитепример множестваХтакого, чтоinf X = 0 иsup X = 3. Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, - Х – множест-

во элементов вида х (х Х). Докажите, что inf (–X)= - sup X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что n2 - 6n + 12 > 0 для любого n N.

Вариант № 2 Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение sup числового множества.

19

Задание 4. Покажите, что из того факта, что для х ≥ 0 неравенство n х ≤ у выполняется при всех n N, вытекает, что х = 0.

Задание 5. Найдите АВ, АВ, ВА, АВ, если А = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6},

В= { 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: |x + 2| + |x - 1| ≤ 12.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {xn: xn = 0,5cos7n, n N}. Задание8. ПриведитепримермножестваХтакого, чтоinf X = -1 иsup X = 2. Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, -Х – множество

элементов вида –х (х Х). Докажите, что sup (–X) = - inf X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 6n - n2 - 12 < 0 для любого n N.

Вариант № 3 Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение множества, ограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X \ ( αIB A α ) = αUB (X \ A α ).

Задание 5. Найдите АВ, АВ, ВА, АВ, если А = {-1; 0; 1; 2; 3}, В =

= {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: | 2 х - 1| < | x – 1 |.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {xn: xn = 3sin n3 , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = - 2 и sup X = 2.

Задание 9. Пусть Х, Y непустые, ограниченные множества, Z – множество элементов вида z = x + y (х Х, y Y). Докажите, что inf Z = = inf X + inf Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 10 - 3n - n2 ≤ 0 для любого n ≥ 2, n N.

Вариант № 4 Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение множества, неограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X \ ( αUB A α ) = αIB (X \ A α ).

Задание 5. Найдите АВ, АВ, ВА, АВ, если А = { -1; 0; 1; 2; 3}, В=

= { -3; -2; -1; 0}.

Задание 6. Решите неравенство: | х + 2 | - | x – 3 | > -5.

20