2FwlpVopmE

3,219 а.е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?

Данные: Икар rП1	0.187	а.е.,	e1 0.827 ; Симеиза rП 2 3, 219 а.е.,
e2 0.181;
Найти: a1, a2 , rA1, rA2 ,	r1, r2 ,	r1 / rA1,	r2 / rA2 ?

Решение: Формула, связывающая перигельное расстояние и среднее

расстояния:

	rП		a 1 e ,
	для афелийного расстояния
	rA	a 1 e .
	Используя данные задачи, рассчитаем сначала средние расстояния
	для малых планет
	a1				0.187		1, 081	а.е.
		1			0.827
	a2				3, 219		3, 930	а.е.
		1			0.181

Таким образом, вычисление средних расстояний в астрономических

единицах (а.е.), позволяет в этих же единицах рассчитать наибольшие рас-

стояния планеты от Солнца

rA1	1,975 а.е.
rA2	4, 641 а.е.
Найдѐм пределы изменения радиус-векторов этих малых планет.
r1	rA1	rП1	1,975	0,187	1, 788 а.е.
r2	rA2	rП 2	4, 641	3, 219	1, 422 а.е.

Можно видеть, что наибольшие пределы изменения радиус-векторов

у Икара, имеющего больший эксцентриситет. Осталось найти относитель-

ное изменение радиус-векторов этих малых планет

	r1	1, 788		0, 91, для Икара,
	rA1	1, 975

61

	r2		1, 422		0, 31, для Симеизы.
	rA2	4, 641
Ответ:
a1		1, 081а.е., rA1				1,975а.е., r1	1, 788а.е.,	r1 / rA1	0,91 ;
a2		3,930а.е., rA2				4, 641а.е., r2	1, 422а.е.,	r2 / rA2	0,31

Задача № 19

Видимое с Земли суточное смещение Солнца по эклиптике в начале января достигает наибольшего значения 61 , а в начале июля – наименьше-

го значения 59 . Вычислить эксцентриситет земной орбиты и указать, ка-

кие еѐ точки Земля проходит в эти дни.

Данные: для движения Солнца в перигелии n1 61 , в афелии n2 59 .

Найти: эксцентриситет, e ?

Решение: Видимое движение Солнца отражает действительное дви-

жение Земли вокруг Солнца. Движение планеты по эллиптической орбите подчиняется законам Кеплера. Согласно второму закону радиус-вектор за равные промежутки времени описывает равновеликие площади рис. 2.1(з).

В силу этого условия отношение высот треугольников обратно пропор-

ционально отношению оснований:

rП		n2	.
rA		n1

С другой стороны это же отношение можно выразить через эксцен-

триситет орбиты:

rП	1		e
				.
rA	1		e

Из последней формулы находим выражение для расчѐта эксцентри-

ситета:

	e	rA	rП
		rA	rП .

62

	Отношение	n2			0, 967	, это даѐт связь между расстоянием в перигелии
		n1
	и афелии, то есть		rП		0, 967 . Тогда подстановка этого значения в формулу
			rA

для эксцентриситета, находим e 0, 017 .

Ответ: e 0, 017 .

Задача № 20

На каких предельных расстояниях от Земли могут находиться плане-

ты Меркурий ( a 0, 387 а.е.,		e	0, 206 ) и Марс ( a 0, 524 а.е., e	0, 093 )? Экс-
центриситетом земной орбиты пренебречь.
Данные: Меркурий		a1	0,387 а.е., e1 0, 206 ; Марс	a2 1,524 а.е.,
e2 0, 093 ; Земля a0	1а.е.
Найти: rmin , rmax	?

Решение: формулы для определения ближайшего перигельного и наиболее удалѐнного афелийного расстояний планеты по отношению к Солнцу находим по формулам:

rП	a 1		e
rA	a 1		e	,
то есть
rП1	a1	1		e1	0,387 1	0, 206	0,307a.e.
rП 2	a2	1 e2			1,524 1	0, 093	1,382a.e.
rA1	a1	1		e1	0,387 1	0, 206	0, 467a.e.
rA2	a2	1		e2	1,524 1	0, 093	1, 666a.e.

По условию необходимо определить минимальное и максимальное удаление этих планет относительно Земли. При этом можно видеть, что максимальное удаление Меркурия на внутренней орбиты относительно Земли вокруг Солнца будет тогда, когда он будет в афелии орбиты, но Земля в верхнем соединении относительно Меркурия, и для Марса, как

63

внешней планеты относительно Земли, при его движении вокруг Солнца,

он будет в афелии, но в противоположной точки орбиты за Солнцем отно-

сительно Земли.

rmin1	1	0, 467		0,533a.e.
rmax1	1	0, 467		1, 467a.e.
rmax 2	1, 666		1	2, 666a.e.
rmin 2	1,382		1	0,382a.e.
Ответ: rmin1			0,533a.e. ; rmax1 1, 467a.e. ; rmax 2 2, 666a.e.; rmin 2 0,382a.e.

Задача № 21

При каких значениях истинной аномалии скорость небесного тела,

обращающегося по эллиптической орбите, равна его круговой скорости?

Данные: vэ vк . Найти: ?

Решение: Интеграл энергии даѐт формулу для определения скорости

спутника движущегося относительно центрального тела по эллиптической орбите

v2	G M		m	2			1	.
э					r		a
G	6, 67 10		11 н м2				– численное значение гравитационной постоянной
				кг2
в системе СИ,		M , m – масса центрального тела и спутника, r, a – радиус-

вектор и большая полуось орбиты.

Круговая скорость движения спутника движущегося относительно центрального тела определяется первой космической скоростью:

vк2 G M m 1r

Так по условию скорость движения по эллипсу равна круговой ско-

рости, то приравнивая правые части, получим: a r .

64

Модуль радиус-вектора найдѐм из первого обобщѐнного закона Кеп-

лера:

a 1 e2

r 1 e cos .

Подставляя эту величину, окончательно имеем:

arccos e .

Ответ: arccos e .

Задача № 22

Найти примерные даты предыдущей и очередной наибольшей запад-

ной элонгации Венеры, если такая же еѐ конфигурация была 7 ноября

1975г. Большая полуось орбиты Венеры равна 0,726 а.е.

Данные: a 0, 726 а.е.

Найти: даты последующей и предыдущей одноимѐнной конфигура-

ции.

Решение: для решения задачи необходимо определить сидерический период Венеры по заданному условию. Воспользуемся третьим законом Кеплера:

T 2		a3	,
T 2		a3
0	0

где a0 ,T0 – соответственно большая полуось и период обращения Земли. Если их взять равным единице, то период обращения Венеры в го-

дах найдѐм из формулы T 2 a3 , то есть:

T a3 0.7263 0, 618 г.

В сутках это число равно 225.

Вторым шагом определим величину синодического периода наступ-

ления одноимѐнных конфигураций планет по формуле:

1	1			1	.
S	T		T0

65

Подставляя величину периода обращения Земли вокруг Солнца рав-

ной 365 суток, для синодического периода получаем: S 584 суток.

Теперь можно вычислить и даты наступления заданных моментов времени для конфигураций. Подсчѐт числа дней от 07.11.1975 к моментам до и после даѐт следующие даты 12.06.1977 и 03.04.1974.

Ответ: 12.06.1977; 03.04.1974.

Задача № 23

Определить гелиоцентрическую долготу планет Меркурия и Юпите-

ра 25 сентября 1975 г., если 9 марта этого же года гелиоцентрическая дол-

гота Меркурия была 2430, а Юпитера 3590. Среднее суточное движение Меркурия 40,09 и Юпитера 5',0.

Данные: даты 25.09.1975 и 09.03.1975, Меркурий l01 2430 , n1 40 , 03 ,

Юпитер l02 3590 , n2 5 , 0 .

Найти: l1,l2 ?

Решение: На момент даты 09.03.1975 известны начальная гелиоцен-

трическая долгота, как Меркурия, так и Юпитера, которые отсчитываются от направления на точку весеннего равноденствия. Определим число дней от начальной до конечной даты 25.09.1975. По календарю это 200 суток.

Теперь, зная суточное движение планет, вычислим величины дуг, ко-

торые прошли планеты за это время.

Меркурий:

l1 n1 200 40 , 09 200 8180 .

Юпитер:

l2 n2 200 5 , 0 200 1000 170 .

Конечные значения гелиоцентрической долготы находим по формуле

l l0 l ,

тогда

66

l	l	n	2430		8180	10610	10610 2 3600 3410
1	01	1					,
l	l	n	3590		170	3760	3760 3600 160
2	02	2					.
Ответ:		l	3410 ; l	2	160 .
		1

Задача № 24

29 марта 1975 г. гелиоцентрическая долгота Земли была равна 1870,

Юпитера 10 и Урана 2100. Когда произойдѐт ближайшее противостояние этих планет, если среднее суточное движение Земли равно 00,986, Юпитера

4',98 и Урана 0',72?
Данные: дата		29.03.1975 г.,	l	1870 ,	l	10 ,	l	2100 ,	n 00	,986	,
			01		02		03		1
n 4 , 98 00 , 083,	n	0 , 72 00 , 012 .
2	3
Найти: D1,2	?

Решение: на рис. 2.2(з) показаны начальные гелиоцентрические дол-

готы планет, отсчитываемые от направления на точку весеннего равноден-

ствия.

Рис. 2.2(з)

Напишем условия равенства долгот Земли и этих двух планет за вре-

мя одновременного движения, каждой со своей среднесуточной скоростью движения:

67

L1	l01	n1	t1 ,
L1	l02	n2	t1
L2	l01	n1	t2 .
L2	l03	n3	t2

Приравнивая в каждом из полученных выражений правые части, по-

лучим:

	t1	l02	l01		361	187	193	суток.
		n1	n2	0, 986		0, 083
	t1	l03	l01		210	187	24	суток.
		n1	n3	0, 986		0, 012

Теперь осталось только подсчитать по календарю даты совпадений долгот. Это 22.04.1975 и 08.10.1975, сначала для Сатурна, а потом для Юпитера.

Ответ: 22.04.1975, 08.10.1975.

Задача № 25

Противостояние астероида Ирмы произошло 23 сентября 1976 г., а

Лины – 2 декабря 1976 г. Большая полуось орбиты Ирмы равна 2,772 а.е., а

орбиты Лины – 3,139 а.е. Когда произойдѐт ближайшее соединение этих астероидов друг с другом?

Данные: даты 23.09.1976 г., 02.12.1976 г., a1 2, 772 а.е., a2 3,139 а.е.

Найти: D ?

Решение: рис. 2.3(з) показано положение Земли по отношению к ука-

занным астероидам в различные моменты времени. Это даѐт возможность подсчитать интервал времени между этими двумя событиями, равный

70 суток.

По условию задачи заданы большие полуоси орбит астероидов. Это позволяет рассчитать сидерические периоды обращения их вокруг Солнца:

T a3 .

Это время, выраженное в годах, тогда

68

T	2, 7723		4, 62	1686,3сут	.
1
T	3,1393		5, 56	2029, 4сут
2

Рис. 2.3(з)

Зная периоды обращения, найдем суточное движение астероидов при

движении по орбите.

n	3600				00 , 213
1	1686, 3
					.
	3600
n					00 ,177
2	2029, 4

Используя эти данные, определим градусную меру положения асте-

роида Ирмы на момент противостояния астероида Лины. Для этого ис-

пользуем условие равенства значений угловых положений Земли и асте-

роида Лины на момент противостояния астероида по отношению момента противостояния астероида Ирма:

l	00	00 , 986		t
1	x0	00 ,177		1 ,
l				t	1
1
отсюда получаем:
x0	n0	n0	t		00 ,986 00 ,177 70 560 , 63 ,
		2	1

где n0 суточное движение Земли по орбите вокруг Солнца.

69

Теперь есть все необходимые условия для нахождения времени для нахождения времени соединения этих астероидов:

l	00 n0		t		00			00 , 213	t			,
2	1			2						2
l	56, 630		n0		t		2	56, 630	00		,177 t	2
2			2
t2	56,63							1573 сут .
	0, 213		0,177

По календарю находим, что это соответствует дате 02.12.1980 г.

Ответ: 02.12.1980 г.

Задача № 26

Сидерический период обращения Меркурия равен 88д, а синодиче-

ский период – 116д. Примерно через сколько времени повторяются наи-

большие сближения Меркурия с Землѐй?

Данные: T 88c , S 116c . Найти: t – ?

Решение: Для решения задачи воспользуемся условием того, что при большом эксцентриситете орбиты (в данном случае это Меркурий), имеет место следующее соотношение между сидерическим и синодическим пе-

риодами:

mS nT , где m и n – целые числа.

Найдѐм наибольший общий делитель чисел 88 и 116. Это число 2 552

и это примерно 7 лет, но учитывая дополнительно 87 суток, как остаток от

116 получим дополнительно 0,26 года. Всего 7,26 года.

Ответ: 7,26 г.

Задача № 27

Радиоимпульс, направленный к Венере в еѐ нижнем соединении на среднем расстоянии от Солнца 0,7233 а.е., возвратился к Земле через 4м36с .

Вычислить геоцентрическое расстояние планеты во время радиолокации,

70