2FwlpVopmE
.pdfдлину астрономической единицы в километрах и средний горизонтальный экваториальный параллакс Солнца.
Данные: a |
0, 7233 а.е., t |
4м36с 276с |
Найти: r |
? , a ? , |
? . |
Решение: на рис. 2.4(з) показано расположение Земли, Венеры и Солнца в нижнем соединении. Согласно радиолокации расстояние от Зем-
ли до Венеры получим по формуле:
r |
t c |
|
276 3 108 |
4,14 1010 |
м 41, 4 106 км . |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
Рис. 2.4(з)
Полученная величина расстояния соответствует 0, 2767 а.е., тогда для
1 а.е., соответствующей расстоянию от Земли до Солнца, то есть для, так называемой, астрономической единицы из пропорции получаем величину
a 149, 4 106 км .
Теперь рассчитаем параллакс Солнца:
a |
206265 |
R . |
|
|
|
||
|
|
||
Подставляя R 6378 км , получим |
8 , 754 . |
||
Ответ: 41, 4 106 км ; a 149, 4 106 км ; |
8 , 754 . |
71
Задача № 28
Чему равен горизонтальный экваториальный параллакс Луны при еѐ среднем (384 000 км), ближайшем (356 410 км) и наибольшем (406 740 км)
геоцентрическом расстоянии? Экваториальный радиус Земли – 6 378 км.
Данные: r0 |
384000 км, |
rmin 356410 км, rmax 406740 км, R 6378 км. |
||||
Найти: |
0 |
? ; |
1 |
? ; |
2 |
? |
|
|
|
|
Решение: На рис. 2.5(з) показана схема вычисления горизонтального
экваториального параллакса Луны. Угол мал и составляет минуты дуги,
поэтому можно синус угла заменить значением самого угла в радианной мере:
R |
sin |
рад. |
|
|
|||
r |
|||
|
|
Рис. 2.5(з)
Учитывая, что 1рад 570 ,3 и переводя в пропорции рад в секунды дуги, можно переписать:
3438 R . r
Таким образом, можно вычислить необходимые величины:
|
3438 |
6378 57 02 , |
0 |
384000 |
|
|
|
72
1
2
3438 |
|
6378 |
61 31 , |
|
356410 |
|
|||
|
|
|
||
3438 |
|
6378 |
53 55 . |
|
|
|
|||
406740 |
Ответ: |
0 |
57 02 ; |
1 |
61 31 ; |
2 |
53 55 . |
|
|
|
|
Задача № 29
Синодический период обращения астероида Эрота составляет
2,316 года. 23 января 1975 г., в эпоху великого противостояния, его гори-
зонтальный экваториальный параллакс был равен 58 , 26 , а радиус-вектор Земли мало отличался от еѐ перигельного расстояния (эксцентриситет зем-
ной орбиты – 0,017). На каком расстоянии от Земли прошѐл в этот день ас-
тероид и чему равны большая полуось и эксцентриситет его орбиты?
Данные: S |
2, 316 г., |
58 , 26 , e 0, 017 . |
Найти: r |
? a ? e1 |
? |
Решение: Зная синодический период астероида и период обращения Земли вокруг Солнца, найдѐм сидерический период астероида:
1 |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
||
S |
T |
T |
Подставляя численные значения, получим:
T |
T |
S |
1 2, 316 |
1, 76 |
г., |
||
|
|
|
|
||||
S |
T |
2, 316 1 |
|||||
|
|
|
это позволяет найти большую полуось орбиты астероида:
T 2 |
a3 , |
|||||
то есть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
A |
3 T 2 3 1,762 1, 458 а.е. |
||||
|
|
|
|
|
|
Теперь найдѐм расстояние между Землѐй и астероидом, учитывая, что по условию задачи оба они находятся вблизи точки перигелия рис. 2.6(з) для своих орбит:
73
r206235 6378 22580813 км. ,
58 , 26
что составляет 0,151 а.е. Расстояние Земли в перигелии:
rП 1 e 1 0,017 0,983 а.е. ,
тогда перигельное расстояние астероида будет равно:
rП rП |
r 0,983 0,151 1,134 а.е. |
Рис. 2.6(з)
Эксцентриситет орбиты астероида рассчитаем, воспользовавшись известной формулой:
rП aA 1 e1 ,
отсюда:
e1 0, 222.
Ответ: aA 1, 458 ; r 0,151; e1 0, 222 .
Задача № 30
Узнать линейные размеры большого диаметра Красного пятна на Юпитере и диаметр радиационного пояса планеты, если пятно видно с Земли под углом около 10 , а радиоизлучение планеты наблюдается из ок-
ружающего еѐ пространства вплоть до расстояния в от центра еѐ дис-
ка. Параллакс Юпитера принять равным 2 , 09 .
74
Данные: |
1 |
10 ; |
2 |
13 , 7 ; |
2 , 09 ; |
|
|
|
|
Найти: d , D ?
Решение: Зная параллакс Юпитера, можно найти расстояние до пла-
неты:
203235 R 203235 6378 629453669.9км .
J |
2 , 03 |
|
Теперь по известному расстоянию и угловым размерам красного пятна и радиоизлучения планеты можно определить размеры этих образо-
ваний
|
|
|
203265 |
d |
|
|
|
J |
10 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
d |
|
|
J 10 |
30000км |
|
||
203265 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
D |
|
|
J 2 13 , 7 |
5 106 |
км . |
||
3438 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Здесь было учтено, что размеры радиоизлучения планеты вдвое больше указанной величины радиуса.
Ответ: d 30000км ; D 5 106 км .
Задача № 31
На каких примерно расстояниях обращаются вокруг Марса его спут-
ники Фобос и Деймос, которые по наблюдениям с Земли при среднем про-
тивостоянии планеты удаляются от неѐ соответственно на 24 , 7 и 61 ,8 ?
Большая полуось орбиты Марса равна 1,524 а.е.
Данные: 1 24 , 7 ; 2 61 ,8 ; aM 1,524 ;
Найти: r1, r2 ?
Решение: учитывая, что указанные данные соответствуют среднему противостоянию, то расстояние до Марса находим из условия
1, 534 1 0, 524 а.е.
75
Результат вычисления выражается в астрономический единицах. По условию задачи его целесообразней перевести в км., то есть
0, 524a.e. 78390400км . Формула для вычисления запишется:
r 206265 .
Подставляя значения в формулу, получим: r1 9400км , r2 23500км .
Ответ: r1 9400км ; r2 23500км .
Задача № 32
Меркурий и Луна вращаются в направлении своего орбитального движения, первый с периодом 58d , 65 , а вторая с периодом 27d ,32 . Период обращения Меркурия вокруг Солнца равен 88d , а Луна обращается вокруг него вместе с Землѐй. Чему равна продолжительность солнечных суток на Меркурии и на Луне?
Данные: T1 58d , 65 ; T2 27d , 32 ; T
Найти: Td1,Td 2 ?
Решение: продолжительность суток на планетах найдѐм, используя
формулы:
1 |
1 |
|
|
1 |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Td1 |
|
T1 |
To1 |
|||||||
1 |
1 |
|
1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Td 2 |
|
|
T2 |
|
T |
Таким образом, продолжительность суток на этих планетах будет
равно:
Td1 |
|
T1 To1 |
|
58, 65 88 |
|
176c . |
|||
To1 |
T1 |
88 |
58, 65 |
|
|||||
|
|
|
|||||||
Td 2 |
|
T2 |
T |
|
27, 32 365 |
29, 53c |
|||
T |
T1 |
365 |
27, 32 |
||||||
|
|
||||||||
Ответ: Td1 |
176c ; Td 2 29,53c . |
76
Задача № 33
Вычислить скорость малых планет Ахиллеса и Гектора в перигелии и афелии, если их круговая скорость близка к 13,1 км/с, а эксцентриситеты орбит соответственно равны 0,148 и 0,024. Примерно на каком среднем гелиоцентрическом расстоянии находятся эти планеты?
Данные: vk |
13,1км / с ; e1 0,148 ; e2 |
0, 024 ; |
|
Найти: vП1, vА1, vП 2,vА2 |
? a1, a2 ? |
|
|
Решение: |
Скорость |
астероидов в |
перигелии и афелии найдѐм из |
формул:
vП |
vk |
|
1 |
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
e . |
|||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
vA |
vk |
1 |
e |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
e |
||||||||
|
|
Подставляя численные значения, имеем
|
|
|
1 |
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vП1 |
vk |
13,1 |
1 |
0,148 |
|
|
|
15, 2км / с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
e1 |
1 |
0,148 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vA1 |
vk |
1 |
e1 |
13,1 |
1 |
0,148 |
|
|
|
11,3км / с |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
e1 |
1 |
0,148 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
vП 2 |
vk |
|
1 |
e2 |
13,1 |
1 |
0, 024 |
|
13, 4км / с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
e2 |
1 |
0, 024 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
vA2 |
vk |
|
1 |
e2 |
|
13,1 |
1 |
0, 024 |
|
|
12,9км / с |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
e2 |
|
1 |
0, 024 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Теперь вычислим примерное гелиоцентрическое расстояние, на котором они находятся:
29,8 , vk r
здесь круговая скорость задаѐтся в км/с, а r в астрономических единицах:
|
29,8 |
2 |
29,8 |
2 |
r |
|
|
|
5, 2 а.е. |
vk |
|
13,1 |
||
|
|
|
||
Ответ: |
vП1 |
15, 2км / с ; vA1 11,3км / с ; vП 2 13, 4км / с ; vA2 12,9км / с ; |
r 5, 2 .
77
Задача № 34
Вычислить скорость астероидов Лидии и Адониса на их среднем, пе-
ригельном и афелийном расстояниях, а также круговую и параболическую скорость на этих расстояниях. Большая полуось и эксцентриситет орбиты
первого астероида равны 2,73 а.е. и 0,078, а второго – 1,97 а.е. и 0,778.
Данные: a1 2, 73 а.е. ; e1 0, 078 ; a2 1,97 а.е.; e2 0, 778 ;
Найти: v1,2 ;vП1,2 ;vA1,2 ;vk1,2 ;vp1,2 ?
Решение: Зная большую полуось и эксцентриситет, найдѐм предва-
рительно перигельное и афелийное расстояния по формулам:
rП |
a 1 |
e |
|
|
|
|
|
r |
a 1 |
e |
, |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
rП1 |
a1 |
1 |
e1 |
2, 73 1 |
0, 078 |
2,5a.e. |
|
rA1 |
a1 |
1 |
e1 |
2, 73 1 |
0, 078 |
2,9a.e. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
rП 2 |
a2 |
1 |
e2 |
1,97 1 |
0, 778 |
0, 44a.e. |
|
rA2 |
a2 |
1 |
e2 |
1,97 1 |
0, 778 |
3,5a.e. |
|
Вычислим круговую, а также скорости в перигелии и афелии орбит астероидов, а также круговую и параболическую скорость на этих рас-
стояниях по формулам:
vk |
29,8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vП |
vk |
1 |
e |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
e |
|
|||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
vA |
vk |
1 |
|
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
e |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
vp |
vk 2 |
|
|
|
Таким образом, имеем:
78
vk1 |
29,8 |
|
|
29,8 |
|
|
18, 0км / с |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a1 |
|
|
|
2, 73 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vП1 |
vk1 |
1 |
|
|
|
e1 |
|
18, 0 |
1 |
0, 078 |
|
19, 5км / с |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
e |
|
1 |
0, 078 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
vA1 |
vk1 |
1 |
|
|
|
e1 |
18, 0 |
1 |
0, 078 |
|
16, 6км / с |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
e |
1 |
0, 078 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
vkП1 |
29,8 |
|
|
|
|
|
|
|
29,8 |
|
18,8км / с; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
rП1 |
|
|
|
|
|
|
|
2, 52 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
vpП1 |
|
|
vkП1 |
2 |
|
|
|
|
|
26, 6км / с; |
|
|
|
|||||||||||||||
vkA1 |
29,8 |
|
29,8 |
|
|
17, 4км / с; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
rA1 |
|
|
|
|
|
|
|
2, 9 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
vpA1 |
|
vkA1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
24, 6км / с; |
|
|
|
Соответственно, для второго астероида по этим же формулам, под-
ставляя численные значения, получаются свои результаты.
Ответ: 18, 0;19, 5;и16, 7 км / с ; и18, и25, 4;18,8и26, 6;17, 4и24, 6 км / с ; для
первого астероида; 21, 2; 60, 0; и7,5 км / с ; и 21, 2, и30, 0; 45,1и63,8;15, 9и22, 5 км / с ;
для второго астероида.
Задача № 35
На каком расстоянии от Солнца прошла комета, если еѐ скорость на этом расстоянии равнялась 65 км/с и комета двигалась по параболической
орбите? |
|
Данные: v |
65км / с . |
Найти: r |
? |
Решение: по условию комета двигалась по параболической орбите.
Изначально формула для расчѐта расстояния относительно Солнца можно найти из интеграла энергии:
v2 |
G(M |
m) |
2 |
|
1 |
. |
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
a |
|
В |
этой |
формуле масса кометы намного меньше массы Солнца |
m M , поэтому ею можно пренебречь. G – постоянная тяготения, a –
79
большая полуось орбиты. В случае параболической орбиты r , поэтому
формула для вычисления расстояния до кометы перепишем в следующем виде:
v |
|
2GM |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получим: |
|
|
|
|
|
|||||||
r |
2GM |
|
|
2 6, 67 10 |
11 2 1030 |
6, 3 1010 |
м 0, 42а.е. |
|||||
|
v |
2 |
|
6, 5 10 |
4 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: r |
0, 42а.е. |
|
|
|
|
|
Задача № 36
Синодический период обращения астероида Колхиды равен 1,298
года, а его скорость в перигелии – 20,48 км/с. Чему равны сидерический период астероида, большая полуось и эксцентриситет его орбиты, пери-
гельное и афелийное расстояния, а также скорость на среднем гелиоцен-
трическом расстоянии и в афелии?
Данные: S |
1, 298 г.; |
vП |
20, 48 км/с. |
Найти: T, a, e, rП , rA , v a , vA |
? |
||
Решение: |
известен |
синодический период астероида, это даѐт воз- |
можность найти его сидерический период, зная период обращения Земли вокруг Солнца, исходя из формулы:
1 |
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
|||
S |
|
T |
T |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
T |
|
|
S T |
|
|
1, 298 1 |
|
4, 356г. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
S T |
|
|
1, 298 1 |
||||||
|
|
|
|
|
Далее можно найти большую полуось орбиты по формуле:
T |
2 |
a3 |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
a |
|
3 T 2 3 4,3562 2, 667a.e. |
Зная большую полуось, находим круговую скорость:
80