Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский государственный институт искусств и культуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

из электронной библиотеки / 698713760357350.pdf

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2023

Размер:

1.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции космических систем, которые нельзя проверить на практике, но можно описать проверенными математическими моделями других теорий - скажем, ядерной физики.

Деление математики на теоретическую и прикладную хотя и традиционно, тем не менее, как отмечено выше, - часто лишь условное. Математика, наряду с созданием новых теоретических методов решения практических задач, изучает и оттачивает применяемый ею самой инструментарий, развивает математические теории и методы, ищет более широкие и естественные сферы ее применимости, эволюционирует сама для нужд эволюции других наук, которые, в свою очередь, эволюционируют, используя математику.

Те достижения математики, которые еще не нашли приложения, развивают внутреннюю сущность и структуру математики и могут обрести в дальнейшем самые неожиданные применения, вплоть до революционных для развития науки и техники.

Древнегреческими математиками была создана теория конических сечений, которая была использована лишь через 2000лет, когда Кеплер создавал теорию движения небесных тел. Эта теория, в свою очередь, затем помогла Ньютону создать классическую механику.

Математика реализует не только мировоззренческие, но и воспитательные, культурные и эстетические функции.

Мировоззренческая роль математики состоит, в частности, в том, что она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, особенно тех, что не лежат на поверхности, выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы.

Дифференциальные уравнения эволюционных систем различной природы и различного происхождения - часто одни и те же, что демонстрирует общность законов природы, общества, познания.

«Не зная математики, нельзя знать ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает ее ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки» (Ф.Бэкон).

Воспитательная роль математики состоит, в частности, в том, что ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи и др. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания.

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса. Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка. Математика полезна тем, что она трудна» (А.Д.Александров).

Культурная роль математики состоит, в частности, в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).

Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний. «Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой

незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше»

(Д.Юнг).

Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей <...>. Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики» (Г.Х.Харди).

Математизация сфер общества - характерная черта нашей эпохи. Математизации подвержены не только естественнонаучные области, но и социально-гуманитарные: история, филология, социология и др. Благодаря математизации развивается язык наук, следовательно, и сами науки. Математика также обогащается новыми идеями и приложениями вследствие этого.

Математика широко используется как в традиционных, естественнонаучных, областях (физика, биология, экономика и др.), так и в гуманитарных - истории, лингвистике, психологии, социологии и др. Она образует специальные ветви (математическая физика, математическая биология, математическая экономика и др.) или методы (математические методы лингвистики, социологии и др.).

Математизация - существенный фактор прокладывания и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность явлений, но и в их качественную сущность.

«Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой» (Леонардо да Винчи).

История математики складывается не из простой суммы математических знаний, а из цепочки преемственности достижений, нередко - преемственности ошибок, которые не смогли нарушить развитие и целостность математической мысли.

Эта история связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

«Высшее назначение математики <...> состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» (Н. Винер).

Современная математика в сочетании с информатикой и ЭВМ становится как бы междисциплинарным инструментарием, который выполняет две основные функции: обучает специалиста-профессионала формулировать цель того или иного процесса, определять условия достижения этой цели; позволяет анализировать, т.е. «проигрывать» возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью модели. Математическое моделирование должно стать обязательным этапом, предшествующим принятию любого решения.

Раздел 2. Элементы теории множеств

Множества. Числовые множества. Множества и операции над ними. Решение задач с использованием кругов Эйлера-Венна.

Одно из основных понятий современной математики – понятие множества. Оно является первичным, т. е. не поддается определению через другие, более простые понятия. С понятием множества мы встречаемся довольно часто: буквы русского алфавита, арабские цифры, римские цифры и т. д. образуют множества. Георг Кантор «Множество

– многое, мыслимое нами как единое» Приведенные примеры обладают одним существенным свойством: все эти

множества состоят из определенного конечного числа объектов, которые мы будем называть элементами множества. При этом каждый из объектов данного вида либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому множеству. Так, например, уква ф вне всякого-сомнения принадлежит множеству букв, образующих русский алфавит, в то время как буква f этому множеству не принадлежит.

Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или непринадлежность которых к тому или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами. Поскольку каждый рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы. Четким множествам противопоставлены нечеткие или «лингвистические» множества, включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности.

Понятие нечеткого множества можно проиллюстрировать на примере семантических полей прилагательных младенческий, детский, отроческий, юношеский, молодой, среднего возраста, старый. Чтобы определить границы семантических полей указанных слов и словосочетаний, произведем следующий эксперимент. Предложим большой группе испытуемых – носителей русского языка относить к той или иной возрастной группе мужчин различного возраста. При этом выясняется, что интервал от 10 до 14 лет одними испытуемыми будет квалифицироваться как детский, а другими – как отроческий возраст. Аналогичным образом период от 17 до 23 лет может считаться либо как юношеский, либо как относящийся к молодому возрасту. Таким образом, каждое из рассмотренных семантических полей представляет собой нечеткое подмножество с размытыми краями. Объекты, попадающие на эти размытые края, относятся к указанным множествам лишь с известной долей достоверности. Так, например, двадцатилетний мужчина может быть с достоверностью 50% отнесен к множеству юношей, и с той же достоверностью – к множеству молодых людей.

Аппарат нечетких множеств может применяться для описания процессов мышления, лингвистических явлений и вообще для моделирования человеческого поведения, при котором допускаются частичные истины, а строгий математический формализм не является категорически необходимым.

Определяющие признаки множества:

1)рассматривается некоторое собрание реально существующих или абстрактных объектов или явлений;

2)это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое;

3)природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;

4)все объекты множества должны отличаться друг от друга.

Множества, которые состоят из конечного числа элементов, называются конечными множествами. К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. Введение понятия пустого множества связано с тем, что, определяя тем или иным способом множество, мы не можем

знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, множество двухбуквенных комбинаций чы, бй, оъ, можно считать пустым, если иметь в виду только русские тексты, написанные на литературном языке и не содержащие опечаток.

Лингвистика чаще всего имеет дело с конечными множествами объектов. Однако приходится рассматривать и бесконечные множества. Например, бесконечным является множество всех словоупотреблений в текстах данного языка при условии, что этот язык беспрерывно порождает и будет порождать новые тексты без какого-либо ограничения во времени.

Способы задания множества Произвольные множества будем обозначать прописными, а элементы множества –

строчными буквами латинского алфавита, пустое множество – символом Ø. Пусть A и B – множества.

Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Обозначение: B A.

Знак называется знаком включения. Перечеркнутый знак включения говорит о том, что первое множество не является подмножеством второго.

Например, N Z, Z R, {2,3,5} {2,3,7,8}.

Подумай! Любое множество является подмножеством самого себя.

Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение: Ø.

Подумай! Пустое множество является подмножеством любого множества. Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же

элементов. Обозначение: A=B.

Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Существуют два различных способа задания множества. Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита, вместе с пробелом (его обозначают знаком ∆) запишется так: А = {а, б, в, ..., ю, я, ∆}.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, – характеристическим.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x –

означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x

А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву д как элемент х, а букву

Операции над множествами Для наглядного представления операций над множествами воспользуемся кругами

Эйлера-Венна.

Пусть A и B – произвольные множества.

Их пересечением называется множество C, состоящее из всех общих элементов множеств A и B, т.е. x C тогда и только тогда, когда x A и x B.

Обозначение: C = A ∩ B. Знак ∩ называется знаком пересечения множеств. Пример.

Пусть A – множество студентов исторического факультета, B – множество студентов второго курса. Тогда, A ∩ B – множество студентов второго курса, учащихся на историческом факультете.

Подумай! A ∩ U = A, A ∩ A = A

Объединением A и B называется множество C, состоящее из всех элементов A и всех элементов B.

Обозначение: C = A B. Знак называется знаком объединения множеств. Разностью A и B называется множество C,

U состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству B.

Обозначение: C = A \ B

Разность между универсальным множеством и множеством A называется дополнением к

множеству A. Обозначение: Ā=U \ A.

Следовательно, A ∩ Ā = Ø; A Ā = U. Задача.

Найти объединение, пересечение, разность, дополнения множеств. Дано:

A={5,6,7},

B={7,8,9},

4 A,

4 B

Где

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Решение A B={5,6,7,8,9}

A∩B={7}

A\B={5,6}

B\A={8,9}

Ā={4,8,9}

B={4,5,6}

Найти:

A B,A∩B,

A\B,B\A,

Ā,B

Разбиение множества на классы. Классификация В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно

сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и многих других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний.

Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на подмножества (классы). Например, классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических фигур и так далее.

Полученные подмножества должны обладать некоторыми свойствами:

1)они не должны быть пустыми;

2)не должны содержать общих элементов;

3)объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству. Определение: Классификацией или разбиением множества на классы называется

представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.

Для примера рассмотрим классификацию с помощью двух свойств.

Пусть U – множество студентов института, свойство α - «быть отличником», свойство β - «быть спортсменом». С помощью указанных свойств можно выделить следующие подмножества:

А – множество отличников;

–множество не отличников; В – множество спортсменов;

–множество не спортсменов.

Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса (подмножества):

I – множество отличников-спортсменов;

II – множество отличников - не спортсменов;

III – множество не отличников - спортсменов; IV – множество не отличников - не спортсменов;

Можно доказать, что если n – число свойств, то максимальное число классов в разбиении равно 2n.

Число элементов объединения и разности двух конечных множеств

Пусть A и B – конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A.

Определим численность объединения множеств A и B.

численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.

Если множества A и B пересекаются, то в сумме m(A) + m(B) число элементов

– в m(B). Поэтому, чтобы

Таким образом:

Определим теперь численность разности множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).

Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) -

\B) = m(A) - m(B).

Раздел 3. Элементы математического анализа

Введение в математический анализ. Числовые последовательности. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Интегральное исчисление функции одной переменной. Интегрирование некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка. Существование и единственность решения уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Введение в математический анализ. Предмет математического анализа. Декартова и полярная системы координат. Множество вещественных чисел и его свойства.

Числовые последовательности. Определение числовой последовательности. Действия над последовательностями. Предел последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теорема о вложенных отрезках.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Непрерывность функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций. Сложная и обратная функции. Понятие производной и дифференцируемости функции. Таблица производных. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной и обратной функции, логарифмическая производная. Производная неявной и параметрически заданной функции. Понятие дифференциала функции одной переменной. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Ло-питаля. Понятие локального экстремума, необходимые и достаточные условия существования экстремума и точек перегиба. Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков.

Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного

интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования (непосредственное, метод подстановки и замены переменных, интегрирование по частям). Интегрирование рациональных функций. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров. Понятие об асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Уравнение, неразрешенное относительно производной.

Раздел 4. Основы теории вероятностей и математической статистики

Практические занятия и семинары

СЕМИНАР №1 ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

1.1 период развития математики

2.2 период развития математики

3.3 период развития математики

4.4 период развития математики

5.Математика в издательском деле Список литературы:

1.Грес, П.В. Математика для гуманитариев [Текст] : Учебн. пособие для ст-тов вузов / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003 – 120 с.

2.Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. Учреждений сред.проф.образования / С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина.–М.:Издательский центр «Академия», 2014.– 416 с.

3.Жолков, С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев [Текст]: учебник / С.Ю. Жолков. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с.: ил.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

1.Запишите множество четных и нечетных чисел с помощью характеристического свойства.

2.Приведите пример пустого множества на множестве студентов.

3.Назовите несколько элементов из разностей Z \ N, Q \ R.

4.3. Пусть U={1,2,…9}, A = {1,2,3,4,5}. Найти X, если известно, что

a.X \ A = {6,7}, A ∩ X={1,3,5};

b.A X = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A \ X = {1,4,5};

c.A X = {1,2,3,4,5,6,7}, A∩X= {1,2}.

5. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

6.Из 40 студенток 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько студенток умеют плавать и играть в шахматы?

7.20 мальчиков поехали на пикник. При этом 5 из них обгорели, 8 были сильно покусаны комарами, а 10 остались всем довольны. Сколько обгоревших мальчиков не было покусано комарами? Сколько покусанных комарами мальчиков также и обгорели? (Сформулируйте эту задачу как лингвистическую, например: анализ наличия 2 предлогов в предложениях; и в общем виде, используя понятия: множество, подмножества и их элементы)

8.В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

9.Пусть R – множество букв современного русского алфавита,

A – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово аксиома,

B – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово скорость,

C – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово паспорт.

10. Задать способом перечисления следующие множества и найти количество их элементов:

а) A B б) B C в) C \ A г) A B C

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

по учебнику Воронов, М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ